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高中数学第三章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.3两角和与差的正切导学案苏教版必修4课件


3.1.3 两角和与差的正切
课堂导学 三点剖析 1.两角和与差的正切公式应用初步 【例 1】计算下列各式的值. (1)tan15°+tan75°;(2)

tan 41 ? ? tan 19 ? . 1 ? tan 41 ? tan 19 ?

解析:观察各式的特点,设法化为特殊角的和、差正切公式计算. 解: (1)tan15°+tan75° =tan(45°-30°)+tan(45°+30°) =

1 ? tan 30? 1 ? tan 30? ? 1 ? tan 30? 1 ? tan 30?

3 1? 3 ? = 3 1? 1? 3 1?
=

3 3 3 3

3 ?1 1? 3 =4. ? 1? 3 3 ?1

(2)原式=tan(41°+19°)=tan60°= 3 . 温馨提示 要灵活运用和、 差角正切公式进行化简求值.当一个角能表示成两个特殊角的和或差时, 可用公式求值;若式子能转化成公式右边的形式,便可逆用公式求值. 2.两角和与差的正切公式的综合应用 【例 2】已知:A、B∈(0,

? ? ),且 A+B= . 2 4

求证: (1+tanA)(1+tanB)=2. 思路分析 1:从局部入手, tanB=tan(

? 1 ? tan A -A)= . 1 ? tan A 4

思路分析 2:从整体入手, (1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)+(1+tanAtanB) 〔此式由 tanA+tanB=tan(A+B)(1-tanAtanB)代换得到〕. 证法 1: ∵A+B=

? 1 ? tan A -A)= . 1 ? tan A 4 1 ? tan A 左边=(1+tanA)(1+ ) 1 ? tan A
∴tanB=tan(

? , 4

1

=(1+tanA)? 故原式成立.

2 =2=右边. 1 ? tan A
tan A ? tan B 得, 1 ? tan A tan B

证法 2:由 tan(A+B)=

tan(A+B)(1-tanA?tanB)=tanA+tanB. ∴原式左边=1+tanA+tanB+tanAtanB =tan(A+B)(1-tanA?tanB)+(1+tanA?tanB). 又∵A+B=

? , 4

∴tan(A+B)=1. ∴原式左边=1-tanAtanB+1+tanAtanB=2=右边. 故原式成立. 温馨提示 tanα ±tanβ =tan(α ±β ) (1 ? tanα tanβ )这一公式变形在解题中经常用到,只要题目 中有 tanα +tanβ 或 tanα -tanβ ,一般用正切公式的变形,整体代入都能奏效. 3.角的变换与角的范围的确定 【例 3】已知 α 、β 、γ 都是锐角,且 tanα = 值. 解:因为 tan(α +β )=

1 1 1 ,tanβ = ,tanγ = ,求 α +β +γ 的 2 5 8

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

1 1 ? 2 5 ? 7. = 1 1 9 1? ? 2 5
tan[(α +β )+γ ]=

tan( ? ? ? ) ? tan? 1 ? tan( ? ? ? ) tan?

7 1 ? = 9 8 =1. 7 1 1? ? 9 8
由已知 γ <β <α ,又因 0< 所以 0<γ <β <α < 得 0<α +β +γ < 故 α +β +γ = 温馨提示

1 3 < , 2 3

? . 4

? . 2

? , 6

2

本类问题通常会因为角的范围太大,导致产生不合题意的角,遇到本类问题,要根据已 知条件尽可能精确地确定角的范围. 各个击破 类题演练 1 计算下列各式的值.

(1)

1 ? tan 15 ? ; (2) 1 ? tan 15 ?

12 . ? 1 ? 3 tan 12

3 ? tan

?

解: (1)原式=

tan 45 ? ? tan 15 ? 3 =tan(45°-15°)=tan30°= . 1 ? tan 45 ? tan 15 ? 3

(2)原式=

12 ? tan( ? - ? )=tan ? =1. ? ? 3 12 4 1 ? an tan 3 12 3

tan

?

? tan

?

变式提升 1 求出下列各式的值,完成填空. (1)

tan 75 ? ? tan 15 ? =________________; 1 ? tan 75 ? ? tan 15 ?

(2)

3 ? tan15? 1 ? 3 tan15?

=______________.

思路分析: (1)原式=tan(75°-15°)=tan60°= 3 . (2)原式=

tan 60 ? ? tan 15 ? =tan45°=1. 1 ? tan 60 ? ? tan 15 ?
(2)1

答案: (1) 3 类题演练 2

求 tan50°-tan20°-

3 tan50°?tan20°的值. 3
tan 50? ? tan 20? 〕 ,于是抓住这一点作为突破口,用公 1 ? tan 50? tan 20?

解析:本题主要考查给角求值,观察式子的结构特点知,tan50°-tan20°是两角差正切公 式中的分子〔tan(50°-20°)=

式的变形,容易解决. 解:∵tan50°-tan20°=tan30°(1+tan50°?tan20°) , ∴tan50°-tan20°-

3 tan50°?tan20° 3 3 tan50°?tan20° 3

=tan30°(1+tan50°?tan20°)-

3

=tan30°+tan30°?tan50°tan20°-

3 tan50°?tan20° 3

=tan30°= 变式提升 2

3 . 3

? ? ? ? -θ )+tan( +θ )+3tan( -θ )?tan( +θ )的值. 6 6 6 6 ? ? ? 解析:∵tan[( -θ )+( +θ )]=tan =3, 6 6 3 ? ? tan( ? ? ) ? tan( ? ? ) 6 6 ∴ 3= ? ? 1 ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) 6 6 ? ? ? ? tan( -θ )+tan( +θ )= 3 [1-tan( -θ )?tan( +θ )]. 6 6 6 6 ? ? ? ? ∴原式= 3 [1-tan( -θ )?tan( +θ )]+3tan( -θ )?tan( +θ )= 3 . 6 6 6 6
求 tan( 类题演练 3 若 tanα =

3 1 ,tanβ = ,且 α 、β 都是锐角,求 α +β 的值. 4 7

解析:∵tan(α +β )=

tan? ? tan ? =1, 1 ? tan? ? tan ?

又根据已知 0<α < 得 0<α +β <π , ∴α +β =

? ? ,0<β < , 2 2

? . 4

变式提升 3 已知 tan(α +β )=5,tan(α -β )=3,求 tan2α ,tan2β ,tan(2α +

? ). 4
2α 、 2β , 即

思 路 分 析 : 先 利 用 α +β 、 α -β 构 造 出 2α =(α +β )+(α -β ),2β =(α +β )-(α -β ),再用公式解题. 解:tan2α =tan[ (α +β )+(α -β ) ] =

tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ?) 1 ? tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ?)
5?3 4 ?? . 1? 5?3 7

=

tan2β =tan[(α +β )-(α -β )] =

tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ?) 1 ? tan( ? ? ? ) ? tan( ? ? ?)
4

=

5?3 1 ? . 1? 5?3 8

4 ? tan 2? ? 1 7 ? 3. tan(2α + )= ? 4 11 4 1 ? tan 2? 1? 7 1?

5



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