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高二年级数学5月月考(文科)试卷


黄冈实验学校 2014-2015 学年度第二学期五月月考 高二年级数学(文科)试卷
(注意:请将答案填在答题卡上)
参考公式: ? 2 ?

7. 已知函数 f ( x) ? ? A.4

?4 x ? 4, x ? 1
2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1

,则函数 y=f(x)

的零点的个数是( D.1 )



B.3

C.2

8. 执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为( A. 2 B. 5 C. 11 D. 23

n(ad ? bc) (其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P( ? 2 ? k )

0.100 2.706

0.050 3.841

0.010 6.635

9. 已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x . 设 a ? f ( ) , b ? f ( ) , c ? f ( ) ,则( A. a ? b ? c B. b ? a ? c

k

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {2 , 0} , B ? {1 , 2} ,则如图阴影部分所表 示的集合为( ) A. {0} B. {1} C. {2} D. {0,1,2} 2. i 为虚数单位,则复数 i ? (1 ? i) 的虚部为( ) A. 1 3.下列命题中 B. ? i C. i D. ? 1

6 5

3 2

5 2

) D. c ? a ? b

C. c ? b ? a

10. 若关于 x 的方程 (sin x ? cos x) 2 ? 2 cos2 x ? m ? 0 在 [0, 值范围是( )

?
2

] 上有两解,则实数 m 的取

A. [1, 2 ) B. [?1,1] C. [?1, 2] D. [? 2,1] 二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,请把正确答案填在题中横线上) 11.已知 c >10, M ? c ? 1 ? c , N ? c ? c ? 1 ,则 M 、 N 的大小关系是 M 12.按照右图的工序流程,从零件到成品最少要经 过 m 道加工和检验程序,导致废品的产生有 n 种不同的途径,则 m ? n ? . 13.若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 1 在R上存在极值,

①对任意的 x ? 0且x ? 1, 都有 x ?

? 1 ? 2 ;②函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ) 不是偶函数; 2 x
2

N.

③存在 m ? R ,使 f ( x) ? (m ? 1) x m A.0 B.1 C.2 4.函数 f ( x) ?

?4m?1

是幂函数.真命题的个数是( D.3



1 的图象是( 1? x y y
1



y

1

y
2

则 a 的取值范围是

. 第 12 题图 y

-1 O A.
2

x

1 O

14.已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象如右图所示,

-1 B.

x

O
C.

x

-1 O D. ) D. x ? ?

x

且 f (6 ? a ) ? f (5a ) ,则实数 a 的取值范围是______.
2

f ?( x )

15. 设函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a, b ? R ,

5.使不等式 2 x ? 5 x ? 3 ? 0 成立的一个充分不必要条件是( A. x ? 0 B. x ? ?

1 2

C. x ? 0 或 x ? 2

1 或x?3 2

6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应数据:根据右表提供的数据,可求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.7x+0.35,那 么表中 t 的值为( ) x 3 4 5 6 A.3 B.3.15 y 2.5 t 4 4.5 C.3.5 D.以上答案都不对

? ab ? 0 ,若 f ( x) ? f ( ) 对一切 x ? R 恒成立,则 6 11? o ) ? 0; ① f( 12 ②函数 y ? f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数; 第 14 题 ? 2? ](k ? Z ); ③函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是[k ? ? ,k ? ?
④函数 y ? f ( x) 的对称轴为 x ?

x

?
6

6

3

? 2k? ( k ? Z ) .

以上结论正确的是______________(写出所有正确结论的编号).
高二数学(文科)试卷第 1 页(共 4 页)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答写出必要的文字说明、演算过程及步骤) 16. (本小题满分 12 分) 已知命题 p : f ( x) ? a x 是增函数;命题 q :函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2 在 R 上有零点.若命题 “ p 或 q ” 为假命题, 求实数 a 的取值范围. 17.(本小题满分 12 分)

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ? . (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)在△ABC 中, a, b, c 分别为△ABC 内角 A, B, C 所对的边,若 f ( A) ? 件: ① a ? 2 ②B ?

现对某校高二年级参加英语口语测试的 110 名学生的成绩进行调查,其中男生 60 名,女 生 50 名。男生和女生的成绩统计数据分别如下表 1 和表 2;
成绩分组 人数

?
4

1 ,现给出三个条 2

③ c ? 3b . 从中选出两个可以确定△ABC 的条件,写出你的选择,

?60,70?
8

表 1(男生)

?70,80?
m

?80,90?
17

?90,100?
10

并以此为依据,求△ABC 的面积.(只需写一个选定方案并完成即可) 20. (本小题满分 13 分) 如图所示, l1 , l2 , l 3 是宜春某县城开发区“两纵一横”的南北和东西走向的道路, l3与l1 , l 2 的交点 分别为 A, O ,连接 M , N 两地的绕城高速是以 O 为圆心,半径为 5km 的一段圆弧,若点 M 在 A 的正 北方向上,点 N 在 l 2 上,且 | OA |? 4km . (1)建立如图所示的直角坐标系,设 ?XOM ? ? ,求

成绩分组 人数

?60,70? ?70,80?
2 6

表 2(女生)

?80,90?
22

?90,100?
n

规定:大于或等于 90 分为优秀,小于 9 0 分为非优秀. (1)求 m, n 的值,并根据以上统计数据填写完成下面的 2 ? 2 列联表; (2)是否有 99%的把握认为 “英语口语成绩与性别有关系”. 优秀 男生 女生 合计 110 非优秀 合计

sin ? ? cos?

tan( ?? ) 4 (2) 若该县城某中学拟在点 A 的正东方向选址建校 (校址视为一点 P ) , 且绕城高速圆弧 MN 上
任意一点到校址 P 的距离不能小于 26km ,求该校址距离 A 的最短距离.

?

的值;

l1

l2 y
N

18. (本小题满分 12 分)
x ?x 设 f ( x ) ? 2 ? 2 , g ( x) ? 2 ? 2

x

?x

.根据下列等式: f (1) g (2) ? f (2) g (1) ? 2 g (3) , , 由此可归纳出关于 f ( x) 与

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (1)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的单调区间;

M
l3
A
0

f (2) g (4) ? f (4) g (2) ? 2 g (6) , f (3) g (4) ? f (4) g (3) ? 2 g (7) ,
g ( x) 的一个等式,使上面三个等式是你写出的等式的特例.
(1)写出这个恒等式,并给出证明;

O

x

(2)若函数 y ? f ( x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ,问:m 在什么范围内取值 时,对于任意的 t ? [1, 2] ,函数 g ( x) ? x3 ? x2 [

(2)设 h( x) ? f 2 ( x) ? g (2 x) ? 2 x ( x ? R ) ,求函数 h( x) 的最小值.

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值? 2

高二数学(文科)试卷第 2 页(共 4 页)

∴ f (m) g (n) ? f (n) g (m) ? 2 g (m ? n) 成立

……………… 6 分

高二数学(文科)参考答案与评分标准

(2) h( x) ? f 2 ( x) ? g (2 x) ? 2x ? 22 x ? 2?2 x ? 2 ? 22 x ? 2?2 x ? 2x

? 2 ? 22 x ? 2 x ? 2
一、选择题: BACCB ACDDA 12.7 13. a ? 3或a ? ?3 14. ?? 6,1? 15.①② 设 t ?2
x

…………8分

则 h( x) ? 2t 2 ? t ? 2 ? 2(t ? ) 2 ?

二、填空题:11.< 三、解答题:

1 4

15 (t ? 0) …………10分 8
……………………12 分

∴当 x ? ?2 时, h( x) 的最小值为 ????2 分
2

15 8

16. 解: 若 p 为真,则 a ? 1 若 q 为真,则 ? ? 0 , 4a ? 8 ? 0 ? a ?

19. (1)解:∵ f ? x ? ? ? cos x ? sin x ?? cos x ? sin x ?

2 或 a ? ? 2 ?????6 分
? cos 2 x ? sin 2 x
? cos 2 x ,
∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? (2) f ( A) ? cos 2 A ? ????2 分 ????4分

“ p 或 q ” 为假, ? p, q 均为假????8分 ∴ a ?1且 ? 2 ? a ?

2 ????10分

所以,实数 a 的取值范围为 ? 2 ? a ? 1??????????12 分

? 5? 1 ? 0 ? A ? ? ? A ? 或A ? ????8分 6 6 2
?
6 时 ,由正弦定理得

2? ?? . 2

????? 6 分

17.解析:⑴m ? 25, n ? 20 ????2 分 优秀 男生 女生 合计 ⑵ 根据列联表中的数据,得到 非优秀 合计

(注:只需写出一个确定△ABC 的条件方案①②或①③并求解正确即可得 6 分) 若选①②:若 A ?

10 20 30

50 30 80

60 50 110
………………6 分

b ? 2 2 , sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?
S?

2? 6 , ? ? 1 0 分 4

?2 ?

110(10 ? 30 ? 20 ? 50) 2 ? 7.487 ? 6.635. ????10分 60 ? 50 ? 30 ? 80

因此,有 99%的把握认为 “英语口语成绩与性别有关系” ????12 分

1 ab s i Cn? 3 ? 1 ????11分 2 5? 时 , A ? B ? ? ,∴ ?ABC 不存在。???????? 12 分 若A? 6 ? 1 若选①③:若 A ? 时 ,由余弦定理得 b ? 2, c ? 2 3 , s ? bc sin A ? 3 ?10分 6 2
若A?

, R ? 18.解: (1)这个恒等式为: f (m) g (n) ? f (n) g (m) ? 2 g (m ? n) , ( mn
证明如下: ∵左边= (2 ? 2
m ?m

)??3分

5? 4 1 3 时 ,由余弦定理得 b 2 ? ? S ? b ? 3b sin A ? ?? 12 分 7 6 2 7

)(2 ? 2 ) ? (2 ? 2 )(2 ? 2 ) = 2(2
n n m

?n

?n

?m

m? n

?2

m? n

) =右边

选②③:若 A ?

?
6

时 , c ? 3b, sin C ? 3 sin B ?

6 ? 1, 不成立, 2

∴ ?ABC 不存在。
高二数学(文科)试卷第 3 页(共 4 页)

若A?

5? 时 , A ? B ? ? ,∴ ?ABC 不存在。 6

从而只需? ?

2 ? ?? (0) ? ?t ? 1 ? 0 恒成立 2 ? ? ( ? 4 ) ? ? t ? 8 t ? 1 ? 0 ?

20.解: (1)由题意 知 M (?4,3), N (0,5) , sin ? ?

3 4 , cos ? ? ? ????2 分 5 5

? t ? 1或t ? ?4 ? 17 ????11 分
又 t ? ?4 ,∴ t ? 1 所以该校址 P 距离 A 的最短距离为 5km ,?????????13 分

sin ? ? cos ? tan( ? ?

?
4

?

)

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 7 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ??? 6 分 tan ? ? 1 sin ? ? cos ? 5 1 ? tan ? cos ? ? sin ?

21.解: f ?( x) ? (2)解法一:设校址点 P(t ,0), (t ? ?4) ,

a(1 ? x) ( x ? 0) x

????2分

(1)∵ a ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 时,解得 0 ? x ? 1 ,

MN 上任意一点 Q(5 cos ? ,5 sin ? )(
则 PQ
2

?
2

? ? ? ? ) ??7分

所以 f ( x) 在(0,1)上单调递增;????3分 令 f ?( x) ? 0 时,解得 x ? 1 ,所以 f ( x) 在(1,+∞)上单调递减. ,单调递减为(1,+∞) .?5分 ∴ f ( x) 的单调递增为(0,1) (2)因为函数 y ? f ( x) 的图象在点(2, f (2) )处的切线的倾斜角为 45 ,
o

? (5 cos ? ? t ) 2 ? (5 sin ? ) 2 ? 26 恒成立

? t 2 ? 10t cos? ? 1 ? 0 在 ? t ? 10t cos? ? 1 ? 0
2

?
2

? ? ? ? 上恒成立????9分 4 ? cos ? ? 0 上恒成立 5

在?

?t 2 ? 1 ? 0 2 ? ?t ? 1 ? ? ?? 2 ?2 4 ? ?t ? 8t ? 1 ? 0 ?t ? 10 ? t ? (? ) ? 1 ? 0 5 ?

所以 f ?(2) ? 1 ,得 a ? ?2 ,????7分

? t ? 1或t ? ?4 ? 17 ????11 分
又 t ? ?4 ∴ t ? 1 所以该校址 P 距离 A 的最短距离为 5km ,?????????13 分 解法二: 设校址点 P(t , 0) ,圆弧 MN 上任意一点 Q( x, y)(?4 ? x ? 0) 则

?2 ? 2 . ??????????????????8 分 x m 2 m g ( x) ? x3 ? x2 [ ? 2 ? ] ? x3 ? ( ? 2) x2 ? 2 x , 2 x 2 f ?( x) ?
g ?( x) ? 3x2 ? (4 ? m) x ? 2 ,
?????????????????10 分

因为任意的 t ? [1, 2] ,函数 g ( x) ? x3 ? x2 [

m ? f ?( x)] 在区间 (t ,3) 上总存在极值, 2

PQ ? ( x ? t ) ? y ? 26 恒成立 ? x ? y ? 2tx ? t ? 26 恒成立
2 2

2

2

2

2

? g ?(2) ? 0, 所以只需 ? ? g ?(3) ? 0,
解得 ?

????????????????????12 分



2tx ? t 2 ? 1 ? 0 在 x ? ?? 4,0? 恒成立

37 ? m ? ?9 . 3

?????????????????????14 分

令? ( x) ? 2tx ? t 2 ? 1 ,

高二数学(文科)试卷第 4 页(共 4 页)


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