tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

平面向量的数量积及其应用


平面向量数量
【三年高考全收录】
1. 【2014 大纲,文 6】已知 a、b 为单位向量,其夹角为 60 ? ,则(2a-b)· b =( A. -1 B. 0 C. 1 D.2 )

2. 【2014 湖北,文 12】若向量 OA ? (1,?3) , | OA |?| OB | , OA ? OB ? 0 ,则 | AB |? ___

_____.

O 为原点,A ? ?1,0? ,B 0,3 , C ? 3, 3. 【2014 湖南, 文 10】 在平面直角坐标系中, 动点 D 满足 CD ? 1 , 0? ,
则 OA ? OB ? OD 的取值范围是( A. ? 4, 6? )

?

?

,19+1? B. ? 19-1 ? ?

2 7? C. ? 2 3, ? ?

,7 +1? D. ? 7-1 ? ?

4. 【 2014 江苏 12】如图在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? 8, AD ? 5 , CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,则

AB ? AD 的值是

.

o s ?? 5. 【2014 江西, 文 12】 已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? , 且c

1 , 若向量 a ? 3e1 ? 2e2 , 则 | a |? _______. 3

6. 【2014 辽宁,文 5】设 a, b, c 是非零向量,已知命题 p :若 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q : 若 a / /b, b / /c ,则 a / / c ,则下列命题中真命题是( A. p ? q B. p ? q C. (?p) ? (?q) )

D. p ? (?q)

7. 【2014 全国 2,文 4】设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 ,则 a ? b ? ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 5

? ?

?

?

?

?

? ?



8. 【2014 山东,文 7】已知向量 a ? 1, 3 , b ? ?3, m? .若向量 a, b 的夹角为 (A) 2 3 (B) 3 (C)0 (D) ? 3

?

?

π ,则实数 m =( 6



9. 【2014 四川,文 14】平面向量 a ? (1, 2) , b ? (4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ) ,且 c 与 a 的夹角等于 c 与

b 的夹角,则 m ?

.
1

10. 【2014 天津,文 13】已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ?BAD ? 120? ,点 E , F 分别在边 BC 、 DC 上,

BC ? 3BE , DC ? ? DF .若 AE ? AF ? 1, ,则 ? 的值为________.
11. 【2014 浙江, 文 9】 设 ? 为两个非零向量 a 、b 的夹角, 已知对任意实数 t ,| b ? at | 的最小值为 1 ( A.若 ? 确定,则 | a | 唯一确定 C.若 | a | 确定,则 B.若 ? 确定,则 | b | 唯一确定 D.若 | b | 确定,则 )

? 唯一确定

? 唯一确定
,则 a ? b ? ____.

12. 【2014 重庆,文 12】已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ,且 a =(-2,-6) ,| b | ?1 0

13. 【2014 上海,文 17】如图,四个边长为 1 的正方形排成一个大正方形,AB 是在正方形的一条边,

P i (i ? 1, 2,
(A)7

,7) 是小正方形的其余各个顶点,则 AB ? AP i (i ? 1,2,
(B)5 (C)3 (D)1

,7) 的不同值的个数为(



14. 【2014 安徽,文 10】设 a , b 为非零向量, b ? 2 a ,两组向量 x1, x2 , x3, x4 和 y1, y2 , y3 , y4 均由 2 个 a 和 2 个 b 排列而成,若 x1 ? y1 ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? x4 ? y4 所有可能取值中的最小值为 4 a ,则 a 与 b 的夹角为 ( A. ? )
2

2 3

B.

? 3

C.

? 6

D.0

15. 【2013 湖北,文 7】已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影 为( A. )
3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

b 的夹角为 60 , 16. 【2013新课标I, 文13】 已知两个单位向量 a , 若b?c ? 0 , 则 t ? _____. c ? ta ? (1 ? t )b ,
17. 【2013 新课标Ⅱ,文 14】 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =_______. 18. 【2013 山东,文 15】在平面直角坐标系 xOy 中,已知 OA ? (?1, t ) , OB ? (2, 2) ,若 ?ABO ? 90 ,
o

则实数 t 的值为_____.
2

19. 【2013 福建,文 10】在四边形 ABCD 中, AC =(1,2) , BD = ? ?4, 2 ? ,则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 C. 5 D. 10



20. 【2013 湖南,文 8】 已知 a , b 是单位向量, a b ? 0 .若向量 c 满足 c ? a ? b ? 1 ,则 c 的取值范围是 ( )

, 2+1? A. ? 2-1, ? ?

, , 2+2? B. ? 2-1 ? ?

, 2+1? C. ?1, ? ?

, 2+2 ? D. ?1, ? ?

21. 【2013 安徽,文 13】若非零向量 a, b 满足 a ? 3 b ? a ? 2b ,则 a, b 夹角的余弦值为_______.

BE ? 1 , 则 22. 【2013 天津,文 12】在平行四边形 ABCD 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AC·
AB 的长为 .

23. 【2013 上海,文 14】 已知正方形 ABCD 的边长为 1.记以 A 为起点,其余顶 点为终点的向量分别为 a1 、

1, 2, 3?且 i≠j,k≠l,则 a2 、 a3 ;以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 c1 、 c2 、 c3 .若 i,j,k, l ∈ ?

? a ? a ? · ?c
i j

k

? cl 的最小值是

?

.

24. 【2013浙江,文17】设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 b ?

xe1 ? ye2 , x、y ? R,

若 e1 , e2 的夹角为

| x| ? ,则 的最大值等于_______. 6 |b|
24. 【2013 大纲,文 3】已知向量 m ? (? ? 1,1) , n ? (? ? 2,2) ,若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 ? =( A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 )

25.【2013 江苏,15】已知 a= (cos ? , sin ? ),b ? (cos ? , sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? . (1)若 | a ? b |?

2 ,求证: a ? b ;

(2)设 c ? (0,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值. 26. 【20 12 重庆,文 6】设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? (A) 5 (B) 10 (C) 2 5 (D) 10 )

27. 【2012 浙江,文 7】设 a,b 是两个非零向量,则下列命题正确的是( A.若|a+b|=|a|-|b|, 则 a⊥ b B.若 a⊥ b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b|

28. 【2012 陕西,文 7】设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于(


3

A

2 2

B

1 2

C .0

D.-1

29. 【2012 辽宁,文 1】已知向量 a = (1,—1), b = (2, x ).若 a ? b = 1,则 x = (A) —1 (B) —

1 2

(C)

1 2

(D)1

30. 【2012 广东,文 10】对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义 ? ? ?

? ?? . 若两个非零的平面向量 ? ??

?n ? ?? ? ? n ? Z  a , b 满足 a 与 b 的夹角 ? ? ? , ? ,且 a b 和 b a 都在集合 ?   ? 中,则 a b ? 2 4 2

?

?

?

?

A.

5 2

B.

3 2

C. 1

D.

1 2

31. 【2102 福建,文 3】已知向量 a =( x -1,2) , b =(2,1) ,则 a ⊥ b 的充要条件是 A.

x =-

1 2

B.

x -1

C.

x =5

D.

x =0

32. 【2012 天津, 文 8】 在△ABC 中, AB=1, AC=2, 设点 P, Q 满足 AP = ? AB ,AQ = (1 ? ? ) AC , ? A=90°,

? ? R ,若 BQ ? CP =-2,则 ? =
(A)
1 3

(B)

2 3

C)

4 3

(D)2

[来源:Zxxk.Com]

? 33. 【2012 新课标,文 15】已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____

34. 【2012 安徽,文 11】设向量 a ? (1,2m) , b ? (m ? 1,1) , c ? (2, m) ,若 (a ? c) ? b ,则 | a |? ______. 35. 【2012 湖南,文 15】 如图 4, 在平行四边形 ABCD 中 , AP⊥BD, 垂足为 P, AP ? 3 且 AP AC =

[

.

36. 【2012 浙江,文 15】在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ? AC =________. 37. 【2012 江西,文 12】设单位向量 m=(x,y) ,b=(2,-1) 。若 m ⊥ n ,则 | x ? 2 y | =_______________ 38. 【2012 江苏,9】如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上, 若 AB AF ? 2 ,则 AE BF 的值是 .

4

39. 【2012 上海,文 12】在矩形 ABCD 中,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点,且满足

BM BC

?

CN CD

,则 AM ? AN 的取值范围是

40. 【2012 湖北,文 13】已知向量 a =(1,0) , b =(1,1) ,则 (Ⅰ)与 2 a + b 同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量 b -3 a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。 41. 2102 北.京, 文 13】 已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则 DE ? CB 的值为________,

DE ? DC 的最大值为______。

【考点 1】平面向量数量积及其几何意义 【备考知识梳理】 1. 平面向量的数量积: (1) 已知非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则把 | a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,记作

a ? b =| a || b | cos ? ,规定 0 ? a =0.
注意平面向量的数量积是一个实数,既可以为正,也可以为负,也可以为 0,与向量其他运算区别开来. (2)已知 a =( x1 , y1 ) , b =( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 + y1 y2 . 2. 向量的投影:| b | cos ? 叫向量 b 在向量 a 方向上的投影,它是一个实数,而不向量. 向量 b 在向量 a 方向上的投影为 3.平面向量的数量积的几何意义

a?b . |a|

a ? b 等于 a 的模与 b 在向量 a 方向上的投影的乘积.
4.数量积的运算法则:
5

(1) a ? b = b ? a ; (2) a ? (b + c) = a ? b + a ? c , (3) (?a) ? b =. ? (a ? b) = a ? (?b) 【规律方法技巧】

[来源:学科网]

1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时, 充分利用向量的线性运算, 将所求向量用共同的基底表示出来, 在利用平面向量的数量积数量积运算法则求解. 2. 计算向量 b 在向量 a 方向上的投影有两种思路:思路 1,用| b | cos ? 计算;思路 2,利用

a?b 计算. |a|

3. 注意向量的数量积不满足消去率和结合律. 4. 在计算向量数量积时, 若一个向量在另一个向量上的投影已计算, 可以利用向量数量积的几何意义计算.
源:学,科,网 Z,X,X,K]

[来

【考点针对训练】 1. 正三角形 ABC 中, AB ? 3 , D 是边 BC 上的点,且满足 BC =2BD ,则 AB ? AD =( A. )

21 2

B.

27 4

C.

13 2

D.

9 2
.

2. 已知向量 a, b 满足 a ? 3, b ? 2 3 ,且 a ? a ? b ,则 b 在 a 方向上的投影为 【考点 2】向量垂直问题与向量夹角问题 【备考知识梳理】 1. 向量夹角 (1)定义:已知非零向量 a 、 b ,作 OA =

?

?

a , OB = b ,则 ?AOB 就是 a 与 b 的夹角,范围为 [0, ? ] ,当向

量 a 与 b 同向时, a 与 b 的夹角为 0,当向量 a 与 b 反向时, a 与 b 的夹角为 ? ,注意通过平移使两个向量 有共同的起点,向量所在的射线所成的角才是向量夹角. (2)若向量 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? =

a?b . | a || b |

(3)若已知向量 a =( x1 , y1 ) , b =( x2 , y2 ) ,向量 a 与 b 的夹角为 ? ,则 cos ? = 2.向量垂直 (1)概念:若 a 与 b 的夹角为 90 ,则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b .
o

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 x2 ? y2

.

6

(2)已知非零向量 a , b ,则 a ⊥ b ? a ? b =0. (3)已知非零向量 a , b , a =( x1 , y1 ) , b =( x2 , y2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 + y1 y2 =0. 【规律方法技巧】 1.用向量夹角处理夹角问题时,要注意所求角与向量夹角的关系. 2.在求夹角时要注意: (1)当 a , b 是非坐标形式时,需要先求出 a ? b 及| a |、| b |或它们的关系. (2)若已知向量 a , b 的坐标,直接利用公式求解. (3)若两个向量夹角为锐角,则 cos ? >0,反之,不一定;若两个向量夹角为钝角,则 cos ? 小于 0,反之, 不一定. 3.利用向量数量积研究垂直问题时注意给出的形式:可以用定义式,也可以用坐标式. 【考点针对训练】 3. 已知 AB 和 AC 是平面内两个单位向量,若 2 AB ? AC 与 CA 垂直,则 AB 和 AC 的夹角是 .

[来源:学科网]

0 4. 已知向量 AB 与 AC 的夹角为 60 ,且 AB ? 2, AC ? 3 ,若 AP ? ? AB ? AC 且 AP ? BC ,则实数 ? 的

值为( A.

) B. 13 C. 6 D.

3 7

12 7

【考点 3】平面向量模与向量的数量积的综合运用 【备考知识梳理】 1. 向量的模:向量 a 的模就是表示向量 a 的有向线段的长度,记作| a |,它表示向量 a 的大小,是非负数. 2. | a | ? a ? a ? a .
2 2

3.若向量 a =( x1 , y1 ) ,则| a |=

x12 ? y12 .
2 2

4.若 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) ,则 | AB | = ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) . 【规律方法技巧】 1. 对于长度问题,可以用向量的模来处理,若向量 a 是非坐标形式,用 | a | ? a ? a ? a 求模长;若给出
2 2

7

向量 a 的坐标,则用| a |= x1 ? y1 来求解.
2 2

2. 对向量与其他知识结合的综合问题,有两种思路,思路 1:需要将题中以向量形式给出的条件利用相关公 式化为代数代数条件或几何条件,结合相关知识解题;思路 2:将题中平行、垂直、角、长度等问题, 运用向量的相关知识,转化为向量问题去处理. 【考点针对训练】

5. 已知向量 a, b 满足 a ? 1, a ? b ? A.

3 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 b ? 2
C.

(

)

1 2

B.

1 3

1 4

D.

1 5

6. 已知点 P(2, 0) ,正方形 ABCD 内接于 O 旋转时, PM ? ON 的取值范围为(

O : x2 ? y 2 ? 2 ,M,N 分别为 AB,BC 中点,当正方形绕圆心
) D. ? ? 2 ,2 ? ? ?

, ? A. ??11

? ? B. ? ? 2, 2 ?

2? C. ? ?2,

?

2

2?

【两年模拟详解析】
1. 【2014 稳派信息卷(五)】在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(2,3) 和点 P(1, y ) 满足:向量 OP 在向量 OA 上 的投影为 ? 13 ,则 | AP | 的值为( A.5 B. 3 13 C.8 )

D. 65

2. 【2014 浙江东阳中学 3 月考】 已知 e1 , e2 为互相垂直的单位向量,若向量 ? e1 ? e2 与 e1 ? ? e2 的夹角等 于 60 ? ,则实数 ? = . .

3. 【2014 温州市上期期末十校联考】已知 a ? b ? a ? 2b ? 1 ,则 2a ? b ?

3. 【2014 重庆五区学业抽测(1)】 若向量 a ? (?1, k ) , b ? (3,1) ,且 a ? b 与 a 垂直,则实数 k 的 值为 .

8

4. 【湖北八校 2014 届高 三第二次联考数学(文)试题】如图,在半径为 R 的圆 C 中,已知弦 AB 的长为 5, 则 AB AC ? A. ( ) B.

5 2

25 2

C.

5 R 2

D.

25 R 2

5. 【2014 山东青岛 3 月质量检测 2】若 Ai ( i ? 1,2,3,?, n )是 ?AOB 所在的平面内的点,且

OAi ? OB ? OA ? OB .
给出下列说法:① | OA 1 |?| OA 2 |?

?| OAn |?| OA | ;② | OAi | 的最小值一定是 | OB | ;
) D. 3 个.

③点 A 、 Ai 在一条直线上.其中正确的个数是( A. 0 个. B. 1 个.

C. 2 个.

6. 【2014 福建毕业班质检】若 ?ABC 满足 ?A ? ③ CA CB 中为定值的式子的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )

?
2

, AB ? 2 ,则下列三个式子:① AB AC ,② BA BC ,

7. 【2014 东北三省二模】已知 ABC 中, BC ? 10, AB ? AC ? ?16 ,D 为 BC 边的中点,则 AD 等于 A.6 B.5 C.4 D.3

8. 【2014 浙江东阳中学 3 月考】 在 Rt△ABC 中, ∠BCA=90 ? , CA=CB=1,P 为 AB 边上的点, 且 AP ? ? AB , 若 CP ? AB ? PA ? PB ,则 ? 的取值范围是( A. [ ,1] )

1 2

B. [

2? 2 ,1] 2

C. [ ,

1 1? 2 ] 2 2

D. [

1? 2 1? 2 , ] 2 2

9. 【2014 山东烟台 3 月质检】若函数 f ( x) ? 2sin(

?

x ? )(?2 ? x ? 14) 的图象与 x 轴交于点 A ,过点 A 8 4


?

的直线 l 与函数的图象交于 B 、 C 两点,则 (OB ? OC) ? OA ? (其中 O 为坐标原点) ( A. ?32 B. 32 C. ?72 D. 72

10. 【 2014 河 北 衡 水 中 学 上 期 第 五 次 调 研 考 试 】 已 知 向 量 a , b , c 满 足 | a |=| b |= a ? b =2 ,

(a ? c) ? (b ? 2c) =0,则 | b ? c | 的最小值为(


9

A.

3 ?1 2

B.

7? 3 2

C.

3 2

D.

7 2 ? ?

11. 【2013 山东泰安上学期期考】设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a ? b ,则 tan ? ? ? A. ?

??

? 等于 4?

1 3

B.

1 3

C. ?3

D.3

12. 【2013 河南 三门峡一练】.在平面直角坐标系中,若定点 A(1,2)与动点 P( x , y )满足向量 OP 在向 量 OA 上的投影为 ? 5 ,则点 P 的轨迹方程是 A. x ? 2 y ? 5 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 5 ? 0 D. x ? 2 y ? 5 ? 0

13. 【2013 上海市闸北一模】已知向量 a , b 满足:| a |?| b |? 1,且 | k a ? b |? 3 | a ? k b | ( k ? 0 ).则向 量 a 与向量 b 的夹角的最大值为 ( (A) ? (B) ? 6 3 ) ? (C) 56
? (D) 23

14. 【2013 天津新华中学上期第三次月考】 已知向量 a, b 夹角为 45? , 且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ; 则 b ? ___ ___. 15. 【2013 上海徐汇一模】在△ABC 中,∠A=60? ,M 是 AB 的中点,若|AB|=2,|BC|=2 3 ,D 在线段 AC 上运动,则 DB ? DM 的最小值为 .

【一年原创真预测】 1. 已知平面向量 a , b 满足 a ? b ? 4 , (a + 2b) ? (a ? b) = ?8 ,则 a 在 b 上的投影为
2. 已知向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? x, y ? ,则“ x ? ?2 且 y ? 1 ”是“ a ? b ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )



3. 已知向量 a 、 b 满足 | a |? 2 , | b | =1 ,且 (a ?

5 b) ? (a ? b) ,则 a 、 b 的夹角 ? 为 2

. )

4. 已知 A(0,1), B(0, ?1), C(1,0) ,动点 P 满足 AP ? BP ? 2 | PC |2 ,则 | AP ? BP | 的最大值为( A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
[来源:学科网 ZXXK]

5. 在 ?ABC 中, AB ? 3, BC ? 2, ?ABC ? 60 .点 D 在边 AB 上,且满足

AD ? CB ? CD ? AC ? DA ? DC ,则 AC ? AD ?

2

2

.

10

11


推荐相关:

平面向量的数量积及应用(含答案)

平面向量的数量积及应用(含答案)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量的数量积及应用 [基础知识] 1.向量数量积的定义: ??? ? ??? ? (1)两个向量...


高考一轮复习平面向量的数量积及应用

高考一轮复习平面向量的数量积及应用_数学_高中教育_教育专区。年 级 高三 胡居化 学科 数学 内容标题 编稿老师 平面向量的数量积及应用 一、学习目标: 1. 理...


人教版平面向量的数量积及平面向量的应用

人教版平面向量的数量积及平面向量的应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。平面向量的数量积及平面向量的应用【知识梳理】1.平面向量的数量积 平面向量数量积的...


平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

平面向量的数量积及向量的应用习题及详解_数学_高中教育_教育专区。我们不做宣传,我们只做口碑! 平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题 1.(文)(...


平面向量的数量积教案(带答案)

用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 平面向量数量积的综合应用. 教学过程: 教学过程: 一、知识梳理 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零...


2014届福州高考数学一轮复习教学案平面向量的数量积与平面向量应用举例(含解析)

2014届福州高考数学一轮复习教学案平面向量的数量积与平面向量应用举例(含解析)_数学_高中教育_教育专区。2014届福州高考数学一轮复习教学案,福州五佳教育教研组www...


平面向量数量积,三角函数平面向量在高考中的应用

平面向量数量积,三角函数平面向量在高考中的应用_数学_高中教育_教育专区。平面向量数量积,三角函数,平面向量在高考中的应用二连浩特市第一中学高三年级(数学第一轮复...


平面向量的数量积教案

掌握平面向量的数量积及其几何意义. 2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算. 教学难点: 平面向量数量积的综合应用. 教具:多媒体. 教材教法分析: ...


《平面向量的数量积》的教学反思

平面向量的数量积》的教学反思 平面向量的数量积》简单回顾《平面向量的数量积...通过这节课的教学,我有以下几点体会: (1)让学生经历数学知识的形成与应用过程...


第26讲 平面向量的数量积及应用

第二十六讲—平面向量的数量积及应用 二十六讲一.课标要求: 课标要求: 1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义; ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com