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广东省培正中学2014-2015学年高二下学期期末考试理科数学试题


广州市培正中学 2014-2015 学年第二学期期末考试 高二数学(理科)试题
(本卷共 22 题,满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的一项。 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5,6,7,8? ,集合 A ? {1, 2,3,5} ,

B ? {2, 4, 6} ,则图中的阴影部分表 示的集合为( A. ?2? C. ?1,3,5? ) B. ?4, 6? D. ?4,6,7,8?

2 2.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 8 ? ? m ? 2 ? i 是纯虚数,则实数 m ? (

?

?



A.2

B. ?4 或-2

C. 2 或 ?4 )

D. ? 4

3. lg x, lg y, lg z 成等差数列是 y 2 ? xz 成立的( A. 充要条件 B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

4.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 , 满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 , 则下面结论一定正确的 是( A. l1 ? l4 ) B. l1 / / l4 C. l1 , l4 既不垂直也不平行 D. l1 , l4 的位置关系不确定 ) D.第二、三象限角

5.若 tan? ? m(m ? 0) ,且 sin ? ? A.第一、二象限角

m 1 ? m2

,则 ? 是 (

B.第一、三象限角

C.第一、四象限角 )
1

6.若 x ? ? 0,1? ,则下列结论正确的是(
1

开始 T=0,S=1 S=S -T


A. lg x ? x 2 ? 2 x C. x ? 2 ? lg x
x 1 2

B. 2 x ? lg x ? x 2 D. 2 ? x ? lg x
x 1 2

7.执行如右图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1

T≥0
?



T=T+S

8. 已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么 | a ? 3b | 等 于( A. )

? ?

?

否 输出S 结束

7

B. 10

C. 13

D. 4

9.若实数 x , y 满足 x ? ln y 1 O A x

1 ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 ( y
y 1 2 y

) y

O B

x

O C

1

x

O 1 2 D

x

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 10. 设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ( a ? 0 , b ? 0 )的最 ? x ? 0, y ? 0 ?
大值为 12,则 ab 的取值范围是( A. (0, ] ) C. [ , ??)

3 D. (0, ??) 2 ???? ? ???? ? M 总在椭圆内部,则椭圆离心 11.已知 F 、 是椭圆的两个焦点,满足 F MF ? MF 1 2 1 2 ? 0 的点
B. (0, ) 率的取值范围是( A. (0,1) ) B. (0,

3 2

3 2

2 ) 2

C. (0, ]

1 2

D. [

2 ,1) 2

12. 定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b(k , b 为常数 ) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对 一切实数 x 都成立,则称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个“承托函数”。现有如下命题:①对给定的 函数 f ( x) ,其承托函数可能不存在,也可能有无数个;② g ( x) ? 2 x 为函数 f ( x) ? 2 x 的一个 承托函数;③定义域和值域都是 R 的函数 f ( x) 不存在承托函数。其中正确的命题是( ). A.① B.② C. ①③ D. ①②③ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分, 共20分。 13.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 = 14.(2x ? ) 的展开式的常数项是
2 6

1 x

(用数字作答).

15.若不等式 x ? 2 ? x ? 5 ? m 的解集是 R,则实数 m 的取值范围是

16.已知椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交椭圆于 A、B a2 b2

两点,若 AB 的中点坐标为(1,-1),则椭圆 E 的方程为

三.解答题:本大题共6题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ?

?
3



(1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ;(2) 若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值.

18. (本题满分 12 分) 某楼盘开展套餐促销优惠活动,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 2 万元,选择套 餐二的客户可获得优惠 5 万元,选择套餐三的客户可获得优惠 3 万元.根据以往的统计结果绘 出参与活动的统计图如图 3 所示,现将频率视为概率. (1)求某两客户选择同一套餐的概率; (2)若用随机变量 ? 表示某两客户所获优惠金额的总和,求 ? 的分布列和数学期望.

19. (本题满分 12 分) 已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示,E 是侧棱 PC 上的动点. (1)求证:BD⊥AE (2)若点 E 为 PC 的中点,求二面角 D-AE-B 的大小.

20. (本题满分 12 分) 数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,且 an ? Sn ? ?2n ? 1 ( n ? N* ) . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log 2
n 1 1 ?1. ,证明: ? an ? 2 k ?1 bk bk ?1

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x ln x 和 g ( x) ? m( x ? 1) (m ? R) . x ?1 (1)当 m=1 时,求方程 f (x) = g(x)的实根;

(2)若对于任意的 x ? [1, ? ?), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求 m 的取值范围;
1007

(3)求证:

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 . ?1

22.(本小题 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值.
o

广州市培正中学 2014-2015 学年第二学期期末考试 高二数学(理科)参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 题号 1 答案 B 2 D 3 B 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 B 10 A 11 B 12 A

二.填空题:本大题共4小题,每小题5分, 共20分。 13. 24; 14.60 15. (??,?7) 16.

x2 y 2 ? ?1 18 9

三.解答题:本大题共 6 题,满分 70 分. 17. (本题满分 12 分)

1 1 3 ab sin C ? ab 推得 ab ? 4 ; 2 2 2 1 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2 ? 4 ? 又根据三角形余弦公式可知: cos C ? ? 推得 a 2 ? b2 ? 8 。 2 2ab 8 综上可得 a ? b ? 2 。 ????????????4 分
解: (I)根据三角形面积公式可知: S ? 3 ? (Ⅱ) sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

sin B cos A ? 2sin A cos A ????????????6 分 ? 当 cos A ? 0 时, A ? ????????????7 分 2 当 cos A ? 0 时, sin B ? 2sin A ,由余弦定理得 b ? 2a ,

?a 2 ? b2 ? ab ? 4 2 3 4 3 联立 ? ,得 a ? ????????????10 分 ,b ? 3 3 b ? 2a ?
?b2 ? a 2 ? c 2 ,? C ?
综上 A ?

?
3

,? A ?

?
6

, ????????????12 分

?
2

或A?

?
6



解二: sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,?sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A

sin B cos A ? 2sin A cos A ? 当 cos A ? 0 时, A ? 2
当 cos A ? 0 时, 2sin A ? sin B ? sin(

????????????6 分 ????????????7 分

2 3 1 ? ? A) ? cos A ? sin A , 3 2 2

?

3 3 sin A ? cos A ? 0 2 2

? 3 sin( A ? ) ? 0, 6 ? 0 ? A ? ? , ?? ?A?
综上 A ?

?

?
6

? A? .

?
6

?

5? , 6

?
6

? 0即A ?
或A?

?
6


?
2

?
6

????????????12 分

18. (本题满分 12 分) 解: (1)记“某两客户选择同一套餐”为事件 A ,则 P ? A? ? ? ? ? ? ? ?

1 1 8 8

1 1 3 3 13 . 2 2 8 8 32
??3 分

(2)由题意知某两客户可获得优惠金额 ? 的可能取值为 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 10 . ??4 分

1 1 1 1 3 6 3 3 3 9 , P ?? ? 5? ? C1 P ?? ? 4 ? ? ? ? ? ? , P ?? ? 6 ? ? ? ? , 2? ? 8 8 64 8 8 64 32 8 8 64 1 1 8 1 1 3 3 1 1 1 P ?? ? 7 ? ? C1 ? ? , P ?? ? 8? ? C1 ? ? , P ?? ? 10? ? ? ? . 2? ? 2? 8 2 64 8 2 8 8 2 2 4
??9 分 所以 ? 的分布列为

?

4
1 64

5

6

7

8

10

P

3 32

9 64

1 8

3 8

1 4
??10 分

所以 E? ? 4 ?

1 6 9 8 24 16 31 ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 8 ? ? 10 ? ? .??12 分 64 64 64 64 64 64 4

19. (本题满分 12 分) 解:(1)由三视图可知,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, 侧棱 PC⊥底面 ABCD,且 PC=2. ………………………………………………1 分 连结 AC,∵ABCD 是正方形, ∵PC⊥底面 ABCD,且 BD? 平面 ABCD, ∴BD⊥AC. ………………………2 分 ∴BD⊥PC. ………………………3 分

又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面 PAC. ………………………4 分 ∵AE? 平面 PAC. ∴BD⊥AE. ………………………5 分

(2)解法 1:在平面 DAE 内过点 D 作 DF⊥AE 于 F,连结 BF. ∵AD=AB=1,DE=BE= 12+12= 2,AE=AE= 3,

∴Rt△ADE≌Rt△ABE, 从而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE. ∴∠DFB 为二面角 D-AE-B 的平面角. ……………………………………………7 分 AD· DE 1× 2 6 6 在 Rt△ADE 中,DF= AE = = 3 , ∴BF= 3 . ………………………… 9 分 3 又 BD= 2,在△DFB 中,由余弦定理得

DF 2 ? BF 2 ? BD 2 1 ?? , cos∠DFB= 2 DF ? BF 2

…………………………………………11 分

2π 2π ∴∠DFB= 3 ,即二面角 D-AE-B 的大小为 3

.…………………12 分

解法 2:如图,以点 C 为原点,CD,CB,CP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标 系.则 D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),………………………………6 分 → → → → 从而DA=(0,1,0),DE=(-1,0,1),BA=(1,0,0),BE=(0,-1,1). 设
[Z#x

平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为

?? ?? ? n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? , n2 ? ? x2 , y2 , z2 ?
?? ??? ? ?? ? ? y1 ? 0 ? n1 ? DA ? 0 由 ? ?? ???? ,取 n1 ? ?1,0,1? ?? ? ?n1 ? DE ? 0 ?? x1 ? z1 ? 0 ?? ? ??? ? ?? ? ? ? x2 ? 0 ? n2 ? BA ? 0 由 ? ?? ,取 n2 ? ? 0, ?1, ?1? …………9 分 ?? ? ??? ? ? ?n2 ? BE ? 0 ?? y2 ? z2 ? 0 ?? ?? ? n1 ? n2 ?1 1 设二面角 D-AE-B 的平面角为 θ,则 cos ? ? ?? ?? ? ? ,…………11 分 ? ? 2 2? 2 n1 ? n2

2π 2π ,即二面角 D-AE-B 的大小为 3 3 ?? ? ? 注:若取 n2 ? ? 0,1,1? 算出 ? ? 可酌情给分。 3
∴θ= 20. (本题满分 12 分) 解: (1)因为 an ? Sn ? ?2n ? 1 ,所以 an?1 ? Sn?1 ? ?2n ? 3 , 两式相减,有 an?1 ? an ? Sn?1 ? Sn ? ?2 ,即 an?1 ? 所以 an?1 ? 2 ?

.…………12 分

1 an ? 1, 2
.…………3 分

an ?1 ? 2 1 1 ? . ? an ? 2? , a 2 2 n ?2
3 2

又因为当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?3 ,所以 a1 ? ? .

??4 分

所以数列 ?an ? 2? 是首项为 a1 ? 2 ?

1 1 ,公比为 q ? 的等比数列,所以 2 2
n n

an ? 2 ? ? a1 ? 2 ? q

n ?1

1 ?1? ? ?? ? 2 ?2?

n ?1

?1? ?1? ? ? ? ,所以 an ? ? ? ? 2 . ?2? ?2?

??7 分 ?? 9 分 ??10 分

(2)由(1)得 bn ? log 2 所以

1 ? log 2 2n ? n . an ? 2

1 1 1 1 ? ? ? . bn bn ?1 n ? n ? 1? n n ? 1

所以

1 1 1 1 1? ? 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn ?1 ? 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? ? n ?1 n ?
??12 分

n 1 ? 1 1 ?1 ?? ? ? 1 ? ? 1 ?1. ,即 ? ? n ?1 ? n n ?1? k ?1 bk bk ?1

21. (本题满分 12 分) 解: (1)m=1 时, f ( x) ? g ( x)即

x ln x ? x ?1 x ?1

而 x > 0,所以方程即为 ln x ? x ?

1 ?0 x

??????1 分
2

1 2 3 ? [( x ? ) ? ] 1 1 1 ? x ? x ?1 2 4 ?0, 令 h( x) ? ln x ? x ? ,则 h '( x) ? ? 1 ? 2 ? ? x x x x2 x2
而 h(1)=0,故方程 f(x)=g(x)有惟一的实根 x=1. ??????4 分

1 (2) ?x ?[1, ??), f ( x) ? g ( x),即ln x ? m( x ? ) , x 1 设 F ( x) ? ln x ? m( x ? ) ,即 ?x ? [1, ??), F ( x) ? 0 x

F '( x) ?

1 1 ?mx2 ? x ? m ????????????????5 分 ? m(1 ? 2 ) ? x x x2

①若 m ? 0 ,则 F '( x) ? 0 , F ( x) ? F (1) ? 0 ,这与题设 F ( x) ? 0 矛盾?6 分 ②若 m ? 0 ,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4m2 , 当 ? ? 0 ,即 m ?
1 时, F '( x) ? 0 , 2

∴ F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ F ( x) ? F (1) ? 0 ,即不等式成立???????????????????7 分 当0? m?
1 时,方程 ?mx 2 ? x ? m ? 0 有两正实根,设两根为 x1 , x2 , 2
1 ? 1 ? 4m 2 ? (0,1), 2m x2 ? 1 ? 1 ? 4m2 ? (1, ??) 2m

( x1 ? x2 ) x1 ?

当 x ? (1, x2 ), F '( x) ? 0, F ( x) 单调递增, F ( x) ? F (1) ? 0 与题设矛盾,

综上所述, m ?

1 。 2

所以,实数 m 的取值范围是 ? , ?? ? -------------8 分 (3)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 不妨令 x ? 所以 ln
1 1 1 时, ln x ? ( x ? ) 成立. 2 2 x

?1 ?2

? ?

2k ? 1 ? 1,(k ? N? ) , 2k ? 1

2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 4k , ? ( ? )? 2 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 1 4k ? 1 4k ,(k ? N? ) ??????????????10 分 4k 2 ? 1

ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ?

4 ? ?ln 3 ? ln1 ? 4 ? 12 ? 1 ? 4? 2 ? ????????????????11 分 ?ln 5 ? ln 3 ? 4 ? 22 ? 1 ? 4? n ? ln(2n ? 1) ? ln(2n ? 1) ? ? 4 ? n2 ? 1 ?

累加可得
ln(2n ? 1) ? ?
i ?1 n

4i (n ? N? ) . 4i ? 1
2

1007

取 n=1007,即得 22.(本小题10分)

? 4i
i ?1

2

4i ? ln 2015 ??????????????12 分 ?1

解: (1)曲线 C 的参数方程为: ?

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (2) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为

???5 分

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 d 2 5 ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? ? ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . 0 3 sin 30 5

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
????10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5


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