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1.2.1 排列(二)


复习巩固
1、排列的定义: 从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素(m 个元素不可重复取)按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数的定义: 从n个不同元素中,任取m( m ? n )个元素的 所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元
m 素的排列数 An

3.全排列的定义: n个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n个不 同元素的一个全排列.

4.有关公式:

?1?.阶乘:n! ?
(2)排列数公式:
m n

1? 2 ? 3 ? ? ? ? ?(n ? 1)? n
n! (n ? m)!

A ? n ?(n ? 1)? ? ?(n ? m ? 1) ? (m、n? N*, ? n) m

(3)全排列数公式: A ? n!
n n

课堂练习
1.计算:(1) 5 A53 ? 4 A42 ? 348
1

1 (2) A4 ? A42 ? A43 ? A44 ? 64

5 A5 ? 4 A4 ? 5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 348
3 2

A4 ? A4 ? A4 ? A4 ? 4 ? 4 ? 3 ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 64
2 3 4

2.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地 上进行试验,有 24 种不同的种植方法? 3 A4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 24 3.从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛, 并排定他们的出场顺序,有 60 种不同的方法? 3 A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 4.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能 打出不同的信号有( C )
A.  1种
3

B.3 种

C.6 种

D.27 种

A3 ? 3 ? 2 ?1 ? 6

1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加,每 队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共进 行多少场比赛?
解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛, 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列,因此,
2 比赛的总场次是 A14 ? 14 ?13 ? 182

2:(1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学,每 人各1本,共有多少种不同的送法? (2)有5种不同的书,买3本送给3名同学,每人各 1本,共有多少种不同的送法?

3:某信号兵用红,黄,蓝3面旗从上到下挂在竖 直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3 面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表 示多少种不同的信号?

4:用0到9这10个数字,可以组成多少个没有重复 数字的三位数?

解法一:对排列方法分步思考。
从位置出发

百位

十位

个位

A9 ?

1

A9 ?

1

A

1 8

? 9 ? 9 ? 8 ? 648

A ?A
9

1

2 9

? 9 ? 9 ? 8 ? 648

解法二:对排列方法分类思考。符合条件的三位数 可分为两类: 从元素出发分析
百位 十位 个位 百位 十位 个位 百位 十位 个位

0
A
3 9

0
A
2 9

A
3

2 9

根据加法原理 A 9 ? 2 A 9 ? 648 解法三:间接法. 逆向思维法
2

从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 A10 , 其中以0为排头的排列数为 A 9 . ∴ 所求的三位数的个数是
2

3

A ? A ? 10 ? 9 ? 8 ? 9 ? 8 ? 648 .
3
2

10

9

有约束条件的排列问题
5:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数, 其中小于50000的偶数共有多少个? 万位 千位 百位 十位 个位

A3
1

1

A

3 3

A

1 2

解法一:(正向思考法

)个位上的数字排列数 排列数有

有 A2 种(从 2、中选);万位上的数字 4 A3 种( 5不能选),十位、百位 有 A3 种,故符合题意的偶数
3 1 1 1 3

、千位上的排列数

有 A2 A3 A3 个。

有约束条件的排列问题
5:由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数, 其中小于50000的偶数共有多少个? 万位 千位 百位 十位 个位

解法二:(逆向思维法
5

)由 1、、、、组成无重复 2 3 4 5 数 A3 A4 个,再
1 4

数字的 5 位数有 A5 个,减去其中奇数的个 减去偶数中大于
5 1 4 1 3

50000 的数 A2 A3 个,符合题意的偶数
1 3

共有: A5 ? A3 A4 ? A2 A3 ? 36 个

有约束条件的排列问题
6:6个人站成前后两排照相,要求前排2人,后排4人,那 么不同的排法共有( C ) A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 例7:有4个男生和3个女生排成一排,按下列要求各有多少种 不同排法: (1)男甲排在正中间; (2)男甲不在排头,女乙不在排尾;

(3)三个女生排在一起; 对于相邻问题,常用“捆绑法”

对于不相邻问题,常用 “插空法” (4)三个女生两两都不相邻; (5)全体站成一排,甲、乙、丙三人自左向右顺序不变;
(6)若甲必须在乙的右边(可以相邻,也可以不相邻),有多少种站法?

有约束条件的排列问题
8:一天要排语、数、英、体、班会六节课,要求 上午的四节课中,第一节不排体育课,数学排在上 午;下午两节中有一节排班会课,问共有多少种不 同的排法?

小结: 1.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型: ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置; ⑵某些元素要求连排(即必须相邻); ⑶某些元素要求分离(即不能相邻);
2.基本的解题方法: (1)有特殊元素或特殊位置的排列问题,通 常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理 特殊元素(位置)法(优先法); 特殊元素,特殊位置优先安排策略

(2)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些 元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑 相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”; 相邻问题捆绑处理的策略 (3)某些元素不相邻排列时,可以先排其他 元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方 法称为“插空法”; 不相邻问题插空处理的策略



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