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2014-2015学年山东省潍坊市诸城市四县高二(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年山东省潍坊市诸城市四县高二(下)期末数学试 卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.设 i 是虚数单位,若复数 a﹣ A. ﹣3 B. ﹣1 (a∈R)是纯虚数,则 a 的值为( C. 1 ) D. 3

2.已知集合 A={1,a

},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B“的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.定积分 A. 9π 的值为( B. 3π ) C. D.

4.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,7) ,若 P(ξ>a+2)=P(ξ<a﹣2) ,则 a=( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



5.有 6 个大小相同的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,还有 4 个同样大小的白球,编号为 7,8,9,10,现从中任取 4 个球,有如下集中变量:①X 表示取出的最大号码;②Y 表 示取出的最小号码;③取出一个黑球记 2 分,取出一个白球记 1 分,ξ 表示取出的 4 个球的 总得分;④η 表示取出的黑球个数,这四种变量中服从超几何分布的是( ) A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 6.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 6 7 8 9 身高 y 118 126 136 144 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( ) A. 154 ﹣x) (1﹣ A. 3
4 3

B. 153 ) 展开式中 x 的系数是( B. 0
2

C. 152 ) C. ﹣3

D. 151

D . ﹣6

8.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取 到的 2 个数 均为偶数”,则 P(B/A)=( )

A.

B.

C.

D.

9.设 f (x)是奇函数,对任意的实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,当 x>0 时,f (x) <0,则 f (x)在区间[a,b]上( ) A. 有最大值 f(a) B. 有最小值 f(a) C. 有最大值 D. 有最小值

10.定义在区间[0,a]上的函数 f(x)的图象如图所示,记以 A(0,f(0) ) ,B(a,f(a) ) , C(x,f(x) )为顶点的三角形的面积为 S(x) ,则函数 S(x)的导函数 S′(x)的图象大 致是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上 11. 已知函数 f (x) =x﹣4lnx, 则曲线 y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为



12.设函数 f(x)=

,若 f(f(a) )=2,则 a=



13.观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是



14.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四 位数的个数为 . (用数字作答) 15.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f 3 (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数①y=﹣x +x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;③y=e +1;④f(x)= 的所有序号为 .
x

.以上函数是“H 函数”

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.设全集为 R,A={x|2<x≤5},B={x|3<x<8},C={x|a﹣1<x<2a}. (Ⅰ)求 A∩B 及 CR(A∪B) ; (Ⅱ)若(A∩B)∩C=?,求实数 a 的取值范围. 17.已知命题 p:?x∈[0,3],a≥﹣x +2x﹣ ,命题 q:?x∈R,x +4x+a=0,若命题“p∧q”是 真命题,求实数 a 的取值范围. 18.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示,椐统计,随机变量 ξ 的概率分布如 下: ξ 0 1 2 3 p 0.1 0.32a a (Ⅰ)求 a 的值和 ξ 的数学期望; (Ⅱ) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响, 求该企业在这两个月内共被消费 者投诉 2 次的概率. 19.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)
2 2

万元,且 R(x)=

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利 润=年销售收入﹣年总成本) 20.设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证: (Ⅰ)方程 f(x)=0 有实根. (Ⅱ)﹣2< <﹣1;设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则. .
2

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx ,g(x)= mx +x(m∈R) ,令 F(x)=f(x)+g(x) . (1)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值.

2

2

2014-2015 学年山东省潍坊市诸城市四县高二(下)期末 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1.设 i 是虚数单位,若复数 a﹣ A. ﹣3 B. ﹣1 (a∈R)是纯虚数,则 a 的值为( C. 1 ) D. 3

考点:复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:利用复数的运算法则把 a﹣ 义即可得到 a. 解答: 解:∵ 数, ∴a﹣3=0,解得 a=3. 故选 D. 点评:熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键. 2.已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B“的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用. 专题:简易逻辑. 分析:先有 a=3 成立判断是否能推出 A?B 成立, 反之判断“A?B”成立是否能推出 a=3 成立; 利用充要条件的题意得到结论. 解答: 解:当 a=3 时,A={1,3}所以 A?B,即 a=3 能推出 A?B; 反之当 A?B 时,所以 a=3 或 a=2,所以 A?B 成立,推不出 a=3 故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件 故选 A. 点评:本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件. 3.定积分 A. 9π 的值为( B. 3π ) C. D. =(a﹣3)﹣i 是纯虚 (a∈R)可以化为(a﹣3)﹣i,再利用纯虚数的定

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:本题利用定积分的几何意义计算定积分,即求被积函数 y= 所围成的图形的面积即可. 解答: 解:由定积分的几何意义知 是由曲线 故 = , ,直线 x=0,x=3 围成的封闭图形的面积, 与直线 x=0,x=3

故选 C. 点评:本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等基础知识,考查考查数形结 合思想.属于基础题. 4.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,7) ,若 P(ξ>a+2)=P(ξ<a﹣2) ,则 a=( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 )

考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题. 分析:由题意知随机变量符合正态分布,又知正态曲线关于 x=3 对称,得到两个概率相等 的区间关于 x=3 对称,得到关于 a 的方程,解方程即可. 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,7) , ∵P(ξ>a+2)=P(ξ<a﹣2) , ∴a+2 与 a﹣2 关于 x=3 对称, ∴a+2+a﹣2=6, ∴2a=6, ∴a=3, 故选 C. 点评:本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义, 本题解题的关键是理解正态曲线 的特点正态曲线关于直线 x=μ 对称,这是一部分正态分布问题解题的依据. 5.有 6 个大小相同的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,还有 4 个同样大小的白球,编号为 7,8,9,10,现从中任取 4 个球,有如下集中变量:①X 表示取出的最大号码;②Y 表 示取出的最小号码;③取出一个黑球记 2 分,取出一个白球记 1 分,ξ 表示取出的 4 个球的 总得分;④η 表示取出的黑球个数,这四种变量中服从超几何分布的是( ) A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 考点:超几何分布. 专题:应用题;概率与统计. 分析:根据超几何分布的定义,即可判断. 解答: 解: 超几何分布取出某个对象的结果数不定, 也就是说超几何分布的随机变量为实 验次数,即指某事件发生 n 次的试验次数,由此可知③④服从超几何分布. 故选:B.

点评:对超几何分布与二项分布关系的认识:共同点:每次试验只有两种可能的结果:成功 或失败.不同点:1、超几何分布是不放回抽取,二项分布是放回抽取;2、超几何分布需要 知道总体的容量,二项分布不需要知道总体容量,但需要知道“成功率”;联系:当产品的总 数很大时,超几何分布近似于二项分布. 6.一名小学生的年龄和身高(单位:cm)的数据如下表: 年龄 x 6 7 8 9 身高 y 118 126 136 144 由散点图可知,身高 y 与年龄 x 之间的线性回归方程为 =8.8x+ ,预测该学生 10 岁时的身 高为( ) A. 154

B. 153

C. 152

D. 151

考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析:先计算样本中心点,进而可求线性回归方程,由此可预测该学生 10 岁时的身高. 解答: 解:由题意, =7.5, =131 代入线性回归直线方程为 ∴ ∴x=10 时, =153 ,131=8.8×7.5+ ,可得 =65,

故选 B. 点评:本题考查回归分析的运用,考查学生的计算能力,确定线性回归直线方程是关键,属 于基础题. ﹣x) (1﹣ A. 3
4

) 展开式中 x 的系数是( B. 0

3

2

) C. ﹣3

D . ﹣6

考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 4 分析:把(1﹣x) 和(1﹣ 2 展开式中 x 的系数.
4

) 分别利用二项式定理展开,可得(1﹣x) (1﹣ ) =(
3

3

4



3

解答: 解:∵(1﹣x) (1﹣ ? + ?x﹣
2



?x+

?x ﹣

2

?x +

3

?x ) (

4



?x

) , ? + =﹣12+6=﹣6,

∴展开式中 x 的系数是﹣

故选:D. 点评:本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.

8.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,事件 B=“取 到的 2 个数 均为偶数”,则 P(B/A)=( ) A. B. C. D.

考点:相互独立事件的概率乘法公式. 专题:应用题;概率与统计. 分析:利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件 A 的概率,同样利用古典概 型概率计算公式求出事件 AB 的概率,然后直接利用条件概率公式求解. 解答: 解:P(A)= = ,P(AB)= = .

由条件概率公式得 P(B|A)=

= .

故选:B. 点评:本题考查了条件概率与互斥事件的概率, 考查了古典概型及其概率计算公式, 解答的 关键在于对条件概率的理解与公式的运用,属中档题. 9.设 f (x)是奇函数,对任意的实数 x、y,有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,当 x>0 时,f (x) <0,则 f (x)在区间[a,b]上( ) A. 有最大值 f(a) B. 有最小值 f(a) C. 有最大值 D. 有最小值

考点:函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义. 专题:常规题型. 分析: 利用函数单调性的定义,先设 x1<x2 得 x2﹣x1>0,结合题意得 f(x2﹣x1)<0, 再结合(x+y)=f(x)+f(y)得 f(x2﹣x1)=f(x2)+f(﹣x1)<0,最后利用函数为奇函数得到 f(x2)﹣f(x1)<0,得 到函数为 R 上的减函数.由此不难得到正确选项. 解答: 解:任取 x1<x2,x2﹣x1>0, ∵当 x>0 时,f (x)<0, ∴f(x2﹣x1)<0 即 f(x2)+f(﹣x1)<0; ∵f (x)是奇函数, ∴有 f(x2)﹣f(x1)<0 ∴f(x2)<f(x1) ∴f(x)在 R 上递减. ∴f(x)在区间[a,b]上有最大值 f(a) ,最小值 f(b) 故选 A 点评:本题以一个抽象函数为例,考查了函数单调性的判断与证明、函数奇偶性等知识点, 属于中档题.

10.定义在区间[0,a]上的函数 f(x)的图象如图所示,记以 A(0,f(0) ) ,B(a,f(a) ) , C(x,f(x) )为顶点的三角形的面积为 S(x) ,则函数 S(x)的导函数 S′(x)的图象大 致是( )

A.

B.

C.

D. 考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:数形结合;分类讨论. 分析:先分析出函数 S(x)的表达式为 |AB|?h,其中 h 为点 C 到直线 AB 的距离且|AB| 为定值,再利用 h 在区间[0,a]上的变化情况,得出函数 S(x)的增减变化,即可得到其导 函数 S′(x)的图象. 解答: 解:连接 AB,BC,CA,以 AB 为底,C 到 AB 的距离为高 h.让 C 从 A 运动到 B, 明显 h 是一个平滑的变化,这样 S(x)也是平滑的变化. 因为函数 S(x)= |AB|?h,其中 h 为点 C 到直线 AB 的距离.|AB|为定值. 当点 C 在(0,x1]时,h 越来越大,s 也越来越大,即原函数递增,故导函数为正; 当点 C 在[x1,x2)时,h 越来越小,s 也越来越小,即原函数递减,故导函数为负;变化率 的绝对值由小边大; 当点 C 在(x2,x3]时,h 越来越大,s 也越来越大,即原函数递增,故导函数为正;变化率 由大变小; 当点 C 在[x3,a)时,h 越来越小,s 也越来越小,即原函数递减,故导函数为负. 故选 D.

点评:本题主要考查导函数与原函数单调性之间的关系.它们之间的关系是,原函数递增, 导函数为正;原函数递减,导函数为负. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上 11.已知函数 f(x)=x﹣4lnx,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 3x+y ﹣4=0 . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题. 分析:在填空题或选择题中,导数题考查的知识点一般是切线问题. 解答: 解:函数 f(x)=x﹣4lnx,所以函数 f′(x)=1﹣ ,切线的斜率为:﹣3,切点为: (1,1) 所以切线方程为:3x+y﹣4=0 故答案为:3x+y﹣4=0 点评:考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程,考查计算能力,注意正确求导.

12.设函数 f(x)=

,若 f(f(a) )=2,则 a=



考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据分段函数的表达式,利用分类讨论的方法即可得到结论. 解答: 解:设 t=f(a) ,则 f(t)=2, 若 t>0,则 f(t)=﹣t =2,此时不成立, 2 若 t≤0,由 f(t)=2 得,t +2t+2=2, 2 即 t +2t=0,解得 t=0 或 t=﹣2, 即 f(a)=0 或 f(a)=﹣2, 2 2 2 若 a>0,则 f(a)=﹣a =0,此时不成立;或 f(a)=﹣a =﹣2,即 a =2,解得 a= . 2 2 若 a≤0,由 f(a)=0 得,a +2a+2=0,此时无解;或 f(a)=﹣2,即 a +2a+4=0,此时无解, 综上:a= , 故答案为: . 点评:本题主要考查分段函数的应用,利用换元法分别进行讨论即可. 13.观察分析下表中的数据: 多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱柱 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是 F+V﹣E=2 . 考点:归纳推理. 专题:归纳法;推理和证明.
2

分析:通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数 F、顶点数 V 和棱数 E,得到规律:F+V﹣E=2, 进而发现此公式对任意凸多面体都成立,由此得到本题的答案. 解答: 解:凸多面体的面数为 F、顶点数为 V 和棱数为 E, ①正方体:F=6,V=8,E=12,得 F+V﹣E=8+6﹣12=2; ②三棱柱:F=5,V=6,E=9,得 F+V﹣E=5+6﹣9=2; ③三棱锥:F=4,V=4,E=6,得 F+V﹣E=4+4﹣6=2. 根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数 F、顶点数 V 和棱数 E 满足如下关系:F+V﹣ E=2 再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立. 因此归纳出一般结论:F+V﹣E=2 故答案为:F+V﹣E=2 点评:本题由几个特殊多面体,观察它们的顶点数、面数和棱数,归纳出一般结论,得到欧 拉公式,着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识,属于基础题. 14.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四 位数的个数为 180 . (用数字作答) 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:压轴题. 分析:从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,这六个数字包含 0, 这是题目困难的地方,因此在解题时要把带零和不选零分开,既要分类讨论,含 0 的选择注 意 0 不能放在首位. 解答: 解:从六个数字中任取两个奇数和两个偶数, 2 2 4 当偶数不包含 0 时有 C2 C3 A4 =72, 1 2 1 3 当偶数中含 0 时有 C2 C3 C3 A3 =108, ∴组成没有重复数字的四位数的个数为 72+108=180, 故答案为:180. 点评:题目中出现有限制条件的元素, 偶数 0 若选择时要注意它不能放在首位, 解题时要先 考虑有限制条件的元素. 15.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f 3 (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数①y=﹣x +x+1; ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;③y=e +1;④f(x)= 的所有序号为 ②③ . 考点:函数单调性的性质. 专题:新定义;函数的性质及应用. 分析:不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立,
x

.以上函数是“H 函数”

即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. ①y=﹣x +x+1;y'=﹣3x +1,则函数在定义域上不单调. ②y=3x﹣2(sinx﹣cosx) ;y’=3﹣2(cosx+sinx)=3﹣2 满足条件. x ③y=e +1 为增函数,满足条件. ④f(x)= .当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减, sin(x+ )>0,函数单调递增,
3 2

不满足条件. 综上满足“H 函数”的函数为②③, 故答案为:②③. 点评:本题主要考查函数单调性的应用, 将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关 键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.设全集为 R,A={x|2<x≤5},B={x|3<x<8},C={x|a﹣1<x<2a}. (Ⅰ)求 A∩B 及 CR(A∪B) ; (Ⅱ)若(A∩B)∩C=?,求实数 a 的取值范围. 考点:交、并、补集的混合运算;集合关系中的参数取值问题. 专题:计算题. 分析:运用集合间的运算可直接求 A∩B 及 CR(A∪B) ;再借助于数轴可求出(Ⅱ)问中 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵A={x|2<x≤5},B={x|3<x<8}, ∴A∩B={x|3<x≤5},A∪B={x|2<x<8}, ∴CR(A∪B)={x|x≤2 或 x≥8}. (Ⅱ)∵A∩B={x|3<x≤5},如上图, 又∵(A∩B)∩C=?, ∴集合 C 应当在上图表示的区域两侧, ∴应有有 2a≤3 或 a﹣1≥5, 解得: .

点评:本题主要考查集合运算及含有参数的集合运算,这类问题通常借助数轴来解决问题. 17.已知命题 p:?x∈[0,3],a≥﹣x +2x﹣ ,命题 q:?x∈R,x +4x+a=0,若命题“p∧q”是 真命题,求实数 a 的取值范围. 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:结合二次函数的性质分别求出关于命题 p,q 的 a 的范围,从而求出 a 的范围.
2 2

解答: 解:设 f(x)=﹣x +2x﹣ , (0≤x≤3) , 则 f(x)=﹣(x﹣1) + , 又 0≤x≤3,∴当 x=1 时,f(x)max=f(1)= , 由已知得:命题 P:a≥ , 由命题 q:△ =16﹣4a≥0,即 a≤4, 又命题“p∧q”是真命题, ∴a≥ 且 a≤4 成立,即 ≤a≤4, 故实数 a 的取值范围是[ ,4]. 点评:本题考查了复合命题的判断,考查二次函数的性质,是一道基础题. 18.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示,椐统计,随机变量 ξ 的概率分布如 下: ξ 0 1 2 3 p 0.1 0.32a a (Ⅰ)求 a 的值和 ξ 的数学期望; (Ⅱ) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响, 求该企业在这两个月内共被消费 者投诉 2 次的概率. 考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:计算题. 分析: (1) 对于随机变量的所有可能的取值, 其相应的概率之和都是 1, 即 P1+P2+…=1. 借 此,我们可以求出 a 值,再利用数学期望的定义求解. (2) 由题意得, 该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的事件分解成两个互斥事件之和, 分别求出这两个事件的概率后相加即可. 解答: 解: (1)由概率分布的性质有 0.1+0.3+2a+a=1,解得 a=0.2, ∴ξ 的概率分布为 ξ 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ∴Eξ=0*0.1+1*0.3+2*0.4+3*0.2=1.7 (2)设事件 A 表示“两个月内共被投诉 2 次”事件 A1 表示“两个月内有一个月被投诉 2 次, 另外一个月被投诉 0 次”; 事件 A2 表示“两个月内每月均被投诉 1 次” 则由事件的独立性得 1 P(A1)=C2 P(ξ=2)P(ξ=0)=2*0.4*0.1=0.08 2 2 P(A2)=[P(ξ=1)] =0.3 =0.09 ∴P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17 故该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率为 0.17
2

2

点评:本题主要考查离散型随机变量的期望与方差, 通常情况下, 都是先求出随机变量取每 个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解;求复杂事件的概率通常 有两种方法: 一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和, 利用概率加法公式计算互斥事件 和的概率. 19.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投入 2.7 万元.设该公司一年内共生产该品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R(x)

万元,且 R(x)=

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大?(注:年利 润=年销售收入﹣年总成本) 考点:分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 专题:分类讨论. 分析: (1)由年利润 W=年产量 x×每千件的销售收入为 R(x)﹣成本,又由

,且年固定成本为 10 万元,每生产 1 千件需另投

入 2.7 万元.我们易得年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)由(1)的解析式,我们求出各段上的最大值,即利润的最大值,然后根据分段函数的 最大值是各段上最大值的最大者,即可得到结果. 解答: 解: (1)当 当 x>10 时,W=xR(x)﹣(10+2.7x)=98﹣ ﹣2.7x. ;

∴W=

(2)①当 0<x<10 时,由 W'=8.1﹣

=0,得 x=9,

且当 x∈(0,9)时,W'>0;当 x∈(9,10)时,W'<0, ∴当 x=9 时,W 取最大值,且 ②当 x>10 时, 当且仅当 ,

即 x= 故当 x=

时,W=38, 时,W 取最大值 38.

综合①②知当 x=9 时,W 取最大值 38.6 万元,故当年产量为 9 千件时,该公司在这一品 牌服装的生产中所获年利润最大. 点评:本题考查的知识点是分段函数及函数的最值, 分段函数分段处理, 这是研究分段函数 图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围 的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最 大值中的最大者. 20.设 f(x)=3ax +2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求证: (Ⅰ)方程 f(x)=0 有实根. (Ⅱ)﹣2< <﹣1;设 x1,x2 是方程 f(x)=0 的两个实根,则. .
2

考点:函数与方程的综合运用. 专题:证明题;压轴题. 分析: (Ⅰ)针对 a 进行分类讨论,若 a=0,f(0)f(1)≤0 显然与条件矛盾,a≠0 时,f 2 (x)=3ax +2bx+c 为二次函数,只需考虑判别式即可; (Ⅱ)利用根与系数的关系将(x1﹣x2) 转化成关于 的二次函数,根据 的范围求出值域 即可. 解答: 证明: (Ⅰ)若 a=0,则 b=﹣c, f(0)f(1)=c(3a+2b+c)=﹣c ≤0, 与已知矛盾, 所以 a≠0. 方程 3ax +2bx+c=0 的判别式△ =4(b ﹣3ac) , 由条件 a+b+c=0,消去 b,得△ =4(a +c ﹣ac)= 故方程 f(x)=0 有实根. (Ⅱ)由条件,知
2 2 2 2 2 2 2 2



, .

所以(x1﹣x2) =(x1+x2) ﹣4x1x2= 因为 所以 故 ,

点评:本题主要考查二次函数的基本性质、 不等式的基本性质与解法, 以及综合运用所学知 识分析和解决问题的能力.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣mx ,g(x)= mx +x(m∈R) ,令 F(x)=f(x)+g(x) . (1)当 m= 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,求整数 m 的最小值. 考点:利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)先求函数的定义域,然后求导,通过导数大于零得到增区间; (2)关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,即为 lnx﹣ mx +(1﹣m)x+1≤0 恒成立,令 h(x)=lnx﹣ mx +(1﹣m)x+1,求得导数,求得单调区间,讨论 m 的符号,由最大值小 于等于 0,通过分析即可得到 m 的最小值. 解答: 解: (1)当 m= 时,f(x)=lnx﹣ x , (x>0) ,
2 2 2

2

2

由 f′(x)= ﹣x=

>0,得

x<1,又∵x>0, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0,1) . (2)关于 x 的不等式 F(x)≤mx﹣1 恒成立,即为 lnx﹣ mx +(1﹣m)x+1≤0 恒成立,
2 2

令 h(x)=lnx﹣ mx +(1﹣m)x+1,h′(x)= ﹣mx+1﹣m= 当 m≤0 可得 h′(x)>0 恒成立,h(x)递增,无最大值,不成立; 当 m>0 时,h′(x)= ,



当 x> ,h′(x)<0,h(x)递减,当 0<x< ,h′(x)>0,h(x)递增, 则有 x= 取得极大值,且为最大值. 由恒成立思想可得 ln ﹣ + ≤0,

即为 2mlnm≥1, 4 显然 m=1 不成立,m=2 时,4ln2≥1 即有 2 ≥e 成立. 整数 m 的最小值为 2. 点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路, 不等式恒成立问题转化为函数最 值问题来解的方法.属于中档题.


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