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江西省九江一中2012-2013学年高一上学期期中考试 数学


九江一中高一年级期中测试卷 数 学 试卷
命题人:邵学兵 审题人:王贤华 (时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确 的,请把正确地选项填在答题卡上. 1.已知集合 M ? ? x ? 2 ? x ? 5 ? , N ?

?x ? 5 ? x ? 5 ? ,则 M ? N ? A. ? x ? 5 ? x ? 5 ? B. ? x ? 2 ? x ? 5 ? C. ? x ? 5 ? x ? 5 ? ( ) D. ? x ? 2 ? x ? 5 ? (
x
2

2.下列四个函数中,与 y ? x 表示同一函数的是
2 A. y ? ( x ) 3 B. y ? ( 3 x )

)

C. y ?

D. y ?

x

2

x

3.设 a ? 3

0 .8

,b ? 3

1 .2

, c ? 3 ,则

( C. b ? c ? a ,则 f ( f ( ? 1)) ? C. 1 0
?
1

)

A. a ? b ? c 4.若函数 f ( x ) ? ? A. ? 7

B. a ? c ? b
? 2 x ? 1?????? 0 ? x ? 1 ? ? 2 x ? 4 ???? 1 ? x ? 0

D. b ? a ? c ( D. 1 1 )
? 1 2



B. 3

5.已知点 ( 2 , 2 ) 在幂函数 f ( x ) ? x ( ? ? 0 ) 的图象上,则 f ( x ) 的表达式是 ( A. f ( x ) ? x
2

B. f ( x ) ? x
x

?2

C. f ( x ) ? x 2

D. f ( x ) ? x (
y

6.已知函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ,则函数 y ? f ( x ) 的图象可能是
y
y



y

1
?1

1

1

1

O1

x

? 1O

1

x

?1

O 1
C

x

?1

O 1

x

A

B

D

7.已知函数 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 上减函数,若 f (lg x ) ? f (1) ,则 x 的取值范围是( A. ( 0 ,1) B. (1, 1 0 ) C. ( ? ? ,1 0 ) D. ( 0 , 1 0 ) ( C. k ? 0 D. 0 ? k ? 1 ( C. [ ,1]
2 1

)

8.函数 f ( x ) ? x ? k 有两个零点,则 A. k ? 0 9.函数 f ( x ) ? A. [ 0 , 1]
x? x
2

)

B. k ? 0 的单调递增区间为 B. ( ? ? , ]
2
5 3



1

D. [ 0 , ]
2

1

10. 已知函数 f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 5 x ? 3 ,若 f ( a ) ? f ( a ? 2 ) ? 6 ,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. a ? 1 B. a ? 3 C. a ? 1 D. a ? 3



第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写在答题卡上. 11. lo g 5 1 0 ? lo g 5 0 .5 ? _____________. 12.函数 f ( x ) ? lo g ( x ? 3)的 定 义 域 为 ______________. 2
? 13 . 函 数 f ( x ) ? l o g (x ? 3 ) 1a( ? a 0 , a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 P , 则 P 点 的 坐 标 是 且

________. 14. f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 若 15.给出定义:若 m ?
1 2

a 在区间[1,2]上都是减函数, a 的取值范围是_______. 则 x+1
1 2

? x ? m ?

(其中 m 为整数),则 m 叫做离实数 x 最近的整数,记

作 { x } ? m .在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) ? x ? { x } 的四个结论: ①函数 y ? f ( x ) 的定义域为 R ,值域为 [ 0 , ] ;②函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线
2
x ? k 2 ( k ? Z ) 对称;③函数 y ? f ( x ) 是偶函数;④函数 y ? f ( x ) 在 [ ? 1 1 , ] 上是增函数. 2 2

1

其中正确的结论的序号是________. 三、解答题:本大题 6 个小题,共 74 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知集合 U ? ? x 1 ? x ? 7 ? , A ? ? x 2 ? x ? 5 ? , B ? ? x 3 ? x ? 7 ? ,求: (1) A ? B ; (2) ( C U A ) ? B .

17.(本小题满分 12 分) 二次函数 f ( x ) ? 2 x ? 3 x ? 1 ,
2

(1)写出它的单调区间; (2)求函数 f ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上的最大值及最小值.



18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?
1 a ? 1 x (a ? 0, x ? 0) .

(1)求证: f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上是增函数; (2)若 f ( x ) 在 ?
?1 ?2 ,2 ? ?1 ? 上的值域是 ? , 2 ? ,求 a 的值. ? ? ?2 ?

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? log a (1 ? x ) ? log a ( x ? 3 ) ( 0 ? a ? 1 ) . (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)求函数 f ( x ) 的零点; (3)若函数 f ( x ) 的最小值为 ? 2 ,求 a 的值.



20.(本小题满分 13 分) 已知变量 t , y 满足关系式 lo g a 关系式 lo g a t ? x . (1)求 y 关于 x 的函数表达式 y ? f ( x ) ; (2)若(1)中确定的函数 y ? f ( x ) 在区间 [ 2 a , 3 a ] 上是单调函数,求实数 a 的取值范围. (换底公式: lo g a b ?
lo g c b lo g c a ( a ? 0 , a ? 1, c ? 0 , c ? 1, b ? 0 ) )

t a
3

? lo g t

y a
3

( a ? 0 且 a ? 1, t ? 0 且 t ? 1) ,变量 t , x 满足

21.(本小题满分 14 分) 定义在 D 上的函数
| f ( x ) |? M 成立,则称 f
x

f (x)

,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有

? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的上界.已知函
x

数 f ? x? ? 1? a ?? (1)当 a

?1 ? ?1 ? ? ?? ? . ? 2? ? 4?

? 1 时,求函数 f

? x ? 在 ? ? ? , 0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ? ? , 0 ? 上是否为有

界函数,请说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围;



九江一中 2012-2013 年度上学期高一年级期中考试卷





答案

命题人:邵学兵 审题人:王贤华 一、选择题(本题共有 10 小题, 只要求直接填写结果, 每题填对得 5 分. 本题满分 50 分.) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号 选 B B C D A B D C D A 项 二、填空题(本题共有 5 小题.每题填对得 5 分.本题满分 25 分.) 11. 13. 1 12. 14.

? 3, ? ? ? ? 0 ,1 ?
15. ①②③

? ? 2 ,1 ?

三、解答题:本大题 6 个小题,共 74 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.解: (1) A ? B ? { x | 2 ? x ? 5} ? { x | 3 ? x ? 7}
? { x | 3 ? x ? 5}

…………6 分 ……9 分

(2)? C U A ? { x | 1 ? x ? 2 , 或 5 ? x ? 7}
? (C U A ) ? B ? { x | 1 ? x ? 2

,或 5 ? x ? 7} ? ? x | 3 ? x ? 7 ?

? { x | 1 ? x ? 2 , 或 3 ? x ? 7} ……12 分
? ? 3 ? ?3 ? ? ,单调递增区间是 ? , ? ? ? 4 ? ?4 ?

17.解: (1)函数的单调递减区间是 ? ? ? , (2) x ?
3 4

时, f ( x ) m in ? ?

1 8

x ? 2 时, f ( x ) m a x ? 3

18.解:(1)证明:设 x 2 ? x 1 ? 0 ,则 x 2 ? x 1 ? 0 , x 1 x 2 ? 0 .
? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ( 1 x1 1 a ? 1 x2 ? 1 x2 ? )?( 1 a x 2 ? x1 x1 x 2 ? 1 x1 ? 0 , )

? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ,∴ f ( x ) 在 ( 0 , ? ? ) 上是增函数.…………6 分

(2)∵ f ( x ) 在 ? 又 f (x) 在?
?1 ?2 ,2

?1 ?2

,2

? ?1 ? 上的值域是 ? , 2 ? , ? ? ?2 ?

? 上单调递增, ? ?



1 ?1 1 1 ? 2 ? ? ? f ( ) ? 2 ?a ? 2 ∴? 2 解得 a ? .………………12 分 2 ,即 ? 5 ? f (2) ? 2 ?1 ? 1 ? 2 ? ?a 2 ?

19.解: (1)要使函数有意义:则有 ?

?1 ? x ? 0 ?x ? 3 ? 0

,解之得: ? 3 ? x ? 1 ,

所以函数的定义域为: ( ? 3 , 1 )

……4 分

2 (2)函数可化为 f ( x ) ? log a (1 ? x )( x ? 3 ) ? log a ( ? x ? 2 x ? 3 )

由 f ( x ) ? 0 ,得 ? x ? 2 x ? 3 ? 1 ,
2 2 即 x ? 2x ? 2 ? 0 , x ? ?1 ?

3

……6 分
3 ……8 分

? ?1 ?

3 ? ( ? 3 ,1 ) ,? f ( x ) 的零点是 ? 1 ?

(3)函数可化为:
f ( x ) ? lo g a (1 ? x ) ( x ? 3 ) ? lo g a ( ? x ? 2 x ? 3 ) ? lo g a [ ? ( x ? 1) ? 4 ]
2
2

∵ ?3 ? x ? 1

∴ 0 ? ? ( x ? 1) ? 4 ? 4
2

……10 分
4 ,即 f ( x ) mim ? log

? 0 ? a ? 1 ,? log

a

[ ? ( x ? 1 ) ? 4 ] ? log
2

a

a

4

?2 由题知, lo g a 4 ? ? 2 , ? a ? 4

?a ?

1 2

……………………12 分
t a
3

20.解:(1)由 lo g a

? lo g t

y a
3

得 lo g a t ? 3 ?

lo g a y ? 3 lo g a t

由 x ? lo g a t ( x ? 0 ) ,代入上式得 x ? 3 ?
2 ∴ lo g a y ? x ? 3 x ? 3 ,即 y ? a x
2

lo g a y ? 3 x

,? …………………3 分 ……………………6 分

?3 x?3

( x ? 0) .
u

(2)令 u=x2-3x+3=(x-

3 2 2

)+

3 4

(x≠0),则 y ? a …………………………7 分

3 3 ? ? 1 ? 3a ? ?2a ? 解法一:若函数是增函数,则有 ? 2 或? 2 ? 0 ? a ? 或 a ? 1 …9 分 2 ?0 ? a ? 1 ? a ?1 ? ?

若函数是减函数,则有 ?

3 ? ?3a ? 2 ? a ?1 ?
2 4

或?

3 ? 3 ? 2a ? ? a ?1 2 ? 4 ?0 ? a ? 1 ?

综合得 a 的取值范围: ( 0 , 1 ] ? [ 3 ,1) ? (1, ? ? ) ………………………………13 分



解法二:函数是单调函数 ?

3 2

? (2a, 3a )

3 ?3 1 3 ? 3a ? ? 2 a或 ? ?2 ? a ? ( 0 , ] ? [ ,1) ? (1, ? ? ) 2 2 4 ? a ? 0且 a ? 1 ?
x x

21.解: (1)当 a

? 1 ? ? 1 ? ? 1 时, f ( x ) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 4?

因为 f ( x ) 在 ? ? ? , 0 ? 上递减,所以

f ( x ) ? f (0 ) ? 3



即 f ( x ) 在 ? ? ? , 0 ? 的值域为 ? 3 , ? ? ? ,故不存在常数 M ? 0 ,使 | f ( x ) |? M 成立. 所以函数 f ? x ? 在 ? ? ? , 0 ? 上不是有界函数。 ………5 分(没有判断过程,扣 3 分) (2)由题意知, f ( x ) ? 3 在 ?1, ? ? ? 上恒成立。
? 3 ? f (x) ? 3 ,

?1? ? 4 ?? ? ?4?
x

x

?1? ? a ?? ? ?2?
x

x

?1? ? 2?? ? ?4?

x



? 4?2

x

?1? ?? ? ?2?

? a ? 2?2
x

x

?1? ? ? ? 在 ? 0 , ? ? ? 上恒成立 ?2?
x



? ? ?1 ? ? ?1 ? ? x x ? a ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ?2? ? ?2? ? ? ? ? ? m ax ? ? m in
x

………8 分

设 2 ? t , g (t ) ? ? 4 t ? 设1 ?
t1 ? t 2

1 t

, h (t ) ? 2 t ?

1 t

,由 x ? ? 0 , ? ? ? 得 t≥1,



g ( t1 ) ? g ( t 2 ) ?

? t2

? t1 ? ? 4 t1 t 2 ? 1 ? t1 t 2

? 0

h ( t1 ) ? h ( t 2 ) ?

? t1 ? t 2 ? ? 2 t1 t 2
t1 t 2

? 1?

? 0

所以 g ( t ) 在 ?1, ? ? ? 上递减, h ( t ) 在 ?1, ? ? ? 上递增,……11 分
( h ( t ) 单调性不证,不扣分)
g ( t ) 在 ? 1, ? ? ? 上的最大值为 g (1) ? ? 5 , h ( t ) 在 ? 1, ? ? ? 上的最小值为 h (1) ? 1

所以实数 a 的取值范围为 ? ? 5 ,1 ? .…………………………………14 分

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