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APHO2013中文试题2


问题2 GPS ?系统的相对论校正 全球定位系统 (GPS) 是用卫星确定物体(例如飞机)的导航系统。然而,卫

星的高速运动产生误差需用狭义相对论校正,卫星高轨道产生误差需用广义相对 论校正。 两种校正看起来微不足道,实际对精确定位十分重要 。我们在此问题中 将研究这两种校正。

首先研究加速运动质点的狭义相

对论效应。考虑两个参考系,起初相对质 点静止的静止系S和 瞬时相对质点静止的 完美系 ′ 。 注意完美系是始终作匀速 = 0 (t 为S系时间 , 为 ′ 系时间)。 运动,在一瞬间与质点速度相同的参考系。 在这瞬间,完美系与质点的时间流逝

速度相同。显然每瞬间的完美系不同。 起初将质点与静止系时间调到零点, =

综合两方面,我们可以校正GPS 来提供准确定位。

应用 平权原则, 不需要矢量代数即可从狭义相对论推导出广义相对论。

可能有用的数学公式 ? ? ? ? ? sinh = cosh = tanh =
! ! ! ! !! ! ! ! ! ! !! ! !"#$ ! !"#$ !

1 + sinh! = cosh! sinh( ? ) = sinh cosh ? cosh sinh

? ?

!"
! !! ! ! !

=

! !! ! ! !! ! !! !

+ +

!" !!! ! ?

= ln

A. ?单个质点 ?(2.8 ?分) ?
原点( x =0 )。 考虑静止质量 m,受x正方向力F (相对S系) 的质点。 起初 (t ,= ?0) ?质点位于 1. 计算从S系看,质点速度 v时,质点的加速度 a 。(0.5 分) 2. 用 F,m,t,c表示t时刻S系中质点 的() =v (t) (0.5分) c

3. 用F, m, t , c表示t时刻质点的位置 x(t) (0.3 分) 加速度(0.7 分)。

! 4. 证明完美加速度 ≡ = /。 完美加速度是质点相对瞬时完美参考系的

5. 计算质点速度()用 g, ,c表示。(0.4 分) 6. 用g, , c表示静止系中的时间t。(0.4 分)

?B. ?传输时间 ?(2.0 ?分) ?

只在B部分考虑传输信息需要的时间。 质点运动情况与A相同。 1. 求出质点 时刻看见的位于 (x= 0 )处的固定钟读数 ! ?。 长时间后, !是否趋 近于一个值? 若是,求趋近值。(1.2 分) 考虑相反的情况。 位于 (x ?= ?0) ?处的观察者在t时刻观察到的质点上的时钟的 读数 ! 长时间后,读数是否趋近于一值?若是,求出此值。(0.8分)

2.

C. ?Minkowski ?图 ?(1.0分) ?
很多时候,用Minkowski 图表示相对论现象很有用。我们将 S和 S’ ( 相对S系, = ) 进行Lorentz变换即可制作此图。

! = ? . = 1 1? ! !

! = ? ,

= + , x

= ! + ! ,
! !

ct

ct’

x’

S系对应点与原点连线定义为x'轴。 S’系中点( x’, ct’) ?= ?(0,1) ?对应S系中点 (x, ct) = (, )。这对应点与原点连线 定义为ct'轴。 ! x 与x’ ?轴夹角, tan =. ?S’ ?系中单位长度为 1 + 为更好理解 Minkowski 空间, 看下面的例子。考虑 S’系中长度为L的棍,为求

选择x, ct作为坐标轴。S'系中点(x’, ct’) = (1,0) 对应S系中点 ?(x, ct) =( , ?)。这

其在S系中的长度,看下面的图。

S 系中棍长度等于 AB = AD ? BD ? ? ? ? ? ? ?= 1 ? !

棍用AC 表示。S系中 ?AC ?长度为

!! ! ! !! ! !



? ? ? ? ? ? ?= cos ? sin tan

1. 用 Minkowski 图计算S系中长为L棍在S’系中长度。(0.5分) 2. 在同一图中作出 考虑A 的情况。作出质点的c t 与 x 的对应图像。
!" = !

注意单位长度为(!/g) 。(0.5 分)

1 时的 x’ 和 ct’ 轴。

D两个加速质点(2.3 ?分) ?
这一部分,考虑 两个在x方向有相同完美加速度 g 的加速质点A,B。 起初A质点 在 x = 0, B质点在 x = L。 1. 运动片刻后,静止系的观察者看到A质点时钟读数!求它看到B质点读数 !。(0.3 分)

2

A质点上的观察者看到自己的时钟读数 !同时看到B质点时钟读数 !. 证 明 sinh C1 为常量,求 C1。(1.0分) ! ! ? ! = ! sinh ,

3. A质点将认为B质点远离它。 证明A质点认为的两质点距离变化速率为 sinh ! , cosh (! ? ! ) 其中 C2 为守恒量,计算 C2。(1.0 分) ′ = ! !

?E. ?一致加速参考系(2.7 ?分) ?
本问题中我们将选择A,B质点的超完美参考系,以使两质点各自认为的相互距 离 相等。起初,在静止系看,A 位于x ?= ?0处,B位于 x L处。

1.

x=xp静止点,在A看来,静止点与自身距离恒定。求xp。(0.8 分)

A质点 完美加速度恒为 g1 位于x 正方向。运动中,存在静止系中的位于

2. 已知 A质点完美加速度 g1, 确定B质点的完美的完美加速度 g2以使A质点认为 两质点间距离恒定。(1.3 分) 3. 导出在2的情况下,A质点认为的两质点时间流逝速度比。

dτ 2 , (0.6 分) dτ 1

?F. ?校正GPS ?(2.2 ?分) ?
以上分析 说明,尽管不存在相对论性运动,不同纬度的时钟走 速不同。

根据广义相对论的 平权原则, 观察者无法分辨引力拉扯 g 和加速度为 g的加速参 期12小时的 GPS 卫星。

考系的虚拟力。因此可以推出所处引力势不同的钟走时不同。考虑绕地球轨道周

1.

半径和运行速度的数值。(0.6 分)

若地球表面重力加速度9.78 m.sn 2地球半径 6380 km,求GPS 卫星的轨道

2.

正如本题开头所述,地面和卫星的钟会产生误差。计算两钟一天后的误 差,并指出哪个钟更快。(1.2分)

3. 估算一天后相对论效应造成的位置误差。(GPS系统以电磁波测距)(0.4 分)


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