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2011届高三数学模拟冲刺检测试题2


2011 广东高考数学模拟冲刺(二) 一、选择题(共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (理)若复数

a ? 3i (a∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i



A.-2 B.4 C.-6 D.6 (文).公差不为零的等差数列第 2、3、6 项构成等比数列,则公比为 A.1 B.2 C.3
2

D.4

2.若集合 M ? {x | x ? x ? 0} ,函数 f ( x) ? log 2 (1? | x |) 的定义域为 N ,则 M ? N ? ( ) B. (0,1) C. [0,1] D. (?1,0]

A. [0,1)

3.已知函数 y=Asin( ω x+ ? )+b 的一部分图象如图所示,如图 A>0, ω >0, | ? |<

π ,则 ( 2 π π A. ? = ? B. ? = ? 6 3

) C.

?=

π 3

D. ? =

π 6

4. 设 a∈R,函数 f(x)=e +a·e 的导函数是 f ′( x) ,且 f ′( x)是奇函数,若曲线 y=f(x) 的一条切线的斜率是 A. ?

x

-x

3 ,则切点的横坐标为 2
B. -ln2

( C. ln2

) D.

ln 2 2

ln 2 2

5.在平行四边形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,DE 交 AF 于 H,记 AB 、 BC 分别 为 a、b,则 AH =( A. )

2 4 a- b 5 5
A H F

B.

2 4 a+ b 5 5

C.-

2 4 a+ b 5 5

D.-

2 4 a- b 5 5

D

B

E

C

6. 某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计所有考生的数学成绩服从正态分布。 已知数学成绩平均分为 90 分,60 分以下的人数占 5%,则数学成绩在 90 分至 120 分之 间的考生人数所占百分比约为 ( ) A.10% B.15% C.30% D.45% 7. 某农科院在 3×3 的 9 块试验田中选出 3 块种植某品种水稻进行试验, 则每行每列都有一 块试验田种植水稻的概率为 ( )
[来源:高考资源网]

A.

1 56
n

B.

1 7

C.

1 14
2 n

D.

3 14

8. 若 (5 ? 4 x) 展开式中各项二项式系数之和为 an , (3x ? 9 x ) 展开式中各项系数之和 为 bn ,则 lim

an ? 2bn =( n ?? 3a ? 4b n n
B. ?



A.

1 2

1 2

C.

1 3

D. ?

1 7

9. 由 0 到 9 这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中,满足千位、百位、十位上 的数字成递增等差数列的五位数共有( ) A. 720 个 B. 684 个 C. 648 个 D.744 个 2 2 10. 已知直线 l 交椭圆 4x +5y =80 于 M、N 两点,椭圆与 y 轴的正半轴交于 B 点,若△BMN 的重心恰好落在椭圆的右焦点上,则直线 l 的方程是 ( ) A.6x-5y-28=0 B.6x+5y-28=0 C.5x+6y-28=0 D.5x-6y-28=0 11.已知 | 2 x ? y ? m |? 3 表示的平面区域包含点(0,0)和( ?1 ,1) ,则 m 的取值范围是 A. ?3 ,6) ( B. (0,6) C. (0,3) D. ?3 ,3) (

12. 如图,下列四个几何体中,它们的三视图(正视图、侧视图、俯视图)有且仅有两个相 同的是( )

(2)底面直径和高均为 2 的圆柱 (1)棱长为 2 的正方体

(3)底面直径和高均为 2 的圆锥 A. (2) (1) B. (3) (1)

(4)长、宽、高分别为 2、3、4 的长方体 C. (3) (2) D. (4) (1)

二、填空题(共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)

13、设函数 f ? x ? ? ?

?2 x ? 2, x ? ?1,?? ?
2 ? x ? 2 x, x ? ?? ?,1?

,则函数 y ? f (x) 的零点是

.

14、一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有 1,2,3,4 这四个数字.若 连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是 . 15、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若

a2 ? ?b ? c ? bc

2

? ?1 ,且

??? ??? ? ? AC ? AB ? ?4 ,则 ?ABC 的面积等于
2

.

16、已知函数 f(x)=x +2︱x︱-15,定义域是 [a, b]( a, b ? Z ) ,值域是[-15,0], 则满足条件的整数对 (a, b) 有 对.

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分) 17.设复数 z ? ?3 cos? ? 2i sin? (1)当 ? ?

4 ? 时,求 z 的值; 3

(2)若复数 z 所对应的点在直线 x ? 3 y ? 0 上,求

2 cos2

?
2

?1

2 sin(? ?

?
4

的值。

)

18.(本题满分 12 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) (文)若四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 2 的正方形, PA ⊥ 底面 ABCD ( 如图 ), 且 PA ? 2 3 . (1)求异面直线 PD 与 BC 所成角的大小; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积. P

A

D C

B (理)

如图 ,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 底面是矩形 , D1C ? 平面ABCD , AB ? 1 ,

BC ? D1C ? 2 ,E 为 A1C 的中点.
(1)求证:直线 C1C ∥平面 BDE ; (2)求二面角 E ? BD ? C 的正切值.
D1 A1 B1

C1

E

D A B

C

19. 已知 F1 , F2 分别是椭圆

x2 y2 a2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点,已知点 N (? , 0) ,满足 c a2 b uuur u uuur uuur u F1F2 = 2NF1 且?| F1F2 |= 2 ,设 A、B 是上半椭圆上满足 NA ? ? NB 的两点,其中

? ?[ , ] .

1 1 5 3

[来源:Ks5u.com]

(1)求此椭圆的方程; (2)求直线 AB 的斜率的取值范围.

20. 为了降低能源损耗, 最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层. 某幢建筑物 要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源 消耗费用 C 单位: ( 万元) 与隔热层厚度 x(单位: 满足关系: ? x ? ? cm) C

k ? 0 ? x ? 10 ? , 3x ? 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f ? x ? 为隔热层建造费用与 20 年的能源消 耗费用之和. (1)求 k 的值及 f ? x ? 的表达式;

(2)隔热层修建多厚时,总费用 f ? x ? 达到最小,并求最小值.

21 (理)已知点 P (a1 , b1 ) , P2 (a2 , b2 ) ,…, Pn (a n , bn ) ( n 为正整数)都在函数 1

y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图像上,其中 {a n } 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列。
(1)求数列 {a n } 的通项公式,并证明数列 {bn } 是等比数列; (2)设数列 {bn } 的前 n 项的和 S n ,求 lim (3) Qn (a n ,0) , a ? 设 当

n??

Sn ; S n ?1

2 时, ?OPn Qn 的面积是否存在最大值?若存在, 问 求出最大值; 3

若不存在,请说明理由; (文) 某企业投资 1000 万元于一个高科技项目,每年可获利 25%,由于企业间竞争激烈,每年底 需要从利润中取出资金 100 万元进行科研投入, 方能保持原有的利润增长率, 问经过多少年 后, 该项目的资金 (在扣除 100 万元的科研投入后) 可以达到或超过翻两番 倍) (4 的目标? (参考数据: 1.25 = 4.77,??1.25 = 5.96,??1.25 = 7.45,??1.25
7 8 9 10

= 9.31 )

22.(文) 已知函数 f(x)=2+

1 1 ? 2 ,实数 a ? R 且 a ? 0 。 a a x

(1)设 mn ? 0 ,判断函数 f (x) 在 [m, n] 上的单调性,并说明理由;

(2)设 0 ? m ? n 且 a ? 0时, f(x)的定义域和值域都是 [m, n] ,求 n ? m 的最大值; (3) 若不等式 | a f ( x) |? 2 x 对 x ? 1恒成立,求 a 的范围;
2

(理)

已知函数 f ( x) ? e

2x

? 2tx , g ( x) ? ? x 2 ? 2te x ? 2t 2 ?

1 . 2

(1)求 f (x) 在区间 [0,??) 的最小值; (2)求证:若 t ? 1,则不等式 g (x) ≥

1 对于任意的 x ? [0,??) 恒成立; 2

(3)求证:若 t ? R ,则不等式 f (x) ≥ g (x) 对于任意的 x ? R 恒成立.

参考答案 一 1-10 C(C)ADCB 11-12 CC

DCBDA

二 13、0,1 14、

3 4

15、 2 3 16、7 三 17

又在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, C1C ∥ A1 A , ∴ C1C ∥ EF ,

z

∴ EF ? 平面ABCD ,过点 F 作 FG 垂直 BD 于点

D1 A1 B1

C1

G ,连结 EG . 根据三垂线定理有 EG ? BD ,故 ?EGF 是二面角 E ? BD ? C 的平面角………8 分 在 Rt?BCD

E

D A x B

C

y



,

sin ?DBC ?

CD 1 1 ? ? 2 2 BC 5 1 ?2
, ∴







Rt?F

G 中 B



1 FG ? FB ? s ?D n B? C i 5



Rt?E

F 中G



t

EF 1 ?EGF ? n a ? ? 5 . ……………..12 分 1 FG 5

解法二: ∵平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面是矩形,且 D1C ? 平面ABCD , ∴ CB, CD, CD1 两两垂直.建立如图所示的直角坐标系. ∵ AB ? 1 ,BC ? D1C ? 2 ,

…………………………………………………. 12 分 19. 解:(1)由于 F1 F2 ? 2 NF1 , | F1 F2 |? 2 ,

?2c ? 2 ? 2 ? 2 ?a ? 2 ? a ∴ ?2( , ? c) ? 2c ,解得 ? 2 c ?b ? 1 ? ? ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?

∴椭圆的方程是

x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………………………………3 分 2

设 ? (? ) ?

(1 ? ? ) 2

?

???

1 1 ? 2 ,当 ? ? [ , ] 时, ? (? ) 是减函数, ? 5 3

1



16 36 16 8 36 , ∴ , ? ? (? ) ? ? 2 ? 3 5 3 2k ? 1 5
2 2 1 1 1 ?k? , 得 ? k 2 ? ,又由 0 ? k ? 2 6 2 18 4

解得

∴直线 AB 的斜率的取值范围是

[

2 1 , ] ……………………………………………13 分 6 2

20

(2)因为 ?bn ?是等比数列,且公比 a ? 1 ,? S n ?
2

S 1 ? a 2n a(1 ? a 2 n ) , n ? 。 S n ?1 1 ? a 2 n ? 2 1? a2

…………………………………………………. 6 分 当 0 ? a ? 1 时, lim

Sn ?1 ; n ?? S n ?1
…………………………………………………. 7 分



5 n-1 ) ≥6,解得 n≥10. 4
答:至少要过 9 年后才能达到目标。

22(文)

? 2 a2 ? a?2 x ? 1 ? x 1 2 ?2 x ? 2a ? a ? ? 2 x 即不等式 ? 2 a 2 ? a ? 1 ? 2 x ? x x ?

,对 x ? 1恒成立,………. 12 分

1 1 令 h(x)= 2 x ? x ,易证 h(x)在 [1, ??) 递增,同理 g ( x) ? ? 2 x [1, ??) 递减。…

x

14 分

? h( x)min ? h(1) ? 3, g ( x)max ? g (1) ? ?1 ,…………………………. 16 分

??

?

2 a2 ? a ?3 2 a2 ? a ??1

3 ?? ? a ? 1 。……………………. 18 分 2
2x

(理)(1)解: f ?( x) ? 2e

? 2t ? 2(e 2 x ? t )

①若 t ? 1 ∵ x ? 0 ,则 e
2x

? 1 ,∴ e 2 x ? t ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 .

∴ f (x) 在区间 [0,??) 是增函数, f (x) 在区间 [0,??) 的最小值是 f (0) ? 1 ……2 故 分

则当 t ? R 时, h(t ) ≥

e 2 x ? 2 xe x ? x 2 ? 1 2 (e x ? x ) 2 ? 1 ? ,……………………………………………………11 2

分 令 F ( x) ? e ? x ,则 F ?( x) ? e ? 1 ,
x x

当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , 则 F ( x) ? e ? x 在 (??, 0] 是减函数,在 (0,??) 是增函数,
x

∴ F ( x) ? e ? x ? F (0) ? 1 ,
x



(e x ? x ) 2 ? 1 ? 0, 2

∴ h(t ) ? 0 ,即不等式 f (x) ≥ g (x) 对于任意的 x ? R 恒成立………………………13 分


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