全国高中数学竞赛二试模拟训练题(5)

加试模拟训练题（5）
1．⊙O 过△ABC 顶点 A，C，且与 AB， BC 交于 K，N(K 与 N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M.求证：∠BMO=90°.

A K B M N G O C

2、设正数 a1 , a 2 , ? , a n ，其和为 s ，求证：

?2?a

i ?1

n

ai

?
i

ns 2n ? s

-1-

3、在议会中，1600 名议员组成 1600 个委员会，每个委员会由 80 人组成．证明：可以找出两 个委员会，它们的共同成员不少于 4 位．

4、设正整数 a, b, c 的最大公约数是 1，并且

ab ? c ，证明 a ? b 是一个完全平方数。 a?b

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加试模拟训练题（5） 1．⊙O 过△ABC 顶点 A，C，且与 AB， BC 交于 K，N(K 与 N 不同).△ABC 外接圆和△BKN 外接圆相交于 B 和 M.求证：∠BMO=90°. (第 26 届 IMO 第五题) 证明：连接 OC，OK，MC，MK，延长 BM 到 G.易得∠GMC= ∠BAC=∠BNK=∠BMK.而∠COK=2·∠BAC=∠GMC+ ∠BMK=180°-∠CMK， ∴∠COK+∠CMK=180° ? C，O，K，M 四点共圆. 在这个圆中，由 OC=OK ? OC=OK ? ∠OMC=∠OMK. 但∠GMC=∠BMK，故∠BMO=90°.

A K B M N G O C

2、设正数 a1 , a 2 , ? , a n ，其和为 s ，求证： 证明：
n

?2?a
i ?1
n

n

ai

?
i

ns 2n ? s

?2?a ? ?
i ?1 i i ?1

n

ai

n

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2

n n ?n 2 ? 4 2 (? 2) ? ?? (?i ? )? ? (? ?i )(? 2 ) ?i ? i ?1 i ?1 i ?1 ?i ? i ?1 2 令 ?i ? 2(2 ? ai ) (i ? 1,2, ? , n) ，则： 2

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i ?1

n

2 i

? ? 2(2 ? ai ) ? 2(2n ? s ) ，又 (? 2) 2 ? 4n 2
i ?1 i ?1

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n

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n

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i

4n 2n ? 2(2n ? s ) 2n ? s

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2

n ai ? (2 ? ai ) ? 2 2 2n 2 ns ? ? ? n ? ? ? n ? ? ? ? ? 2 ? ai 2n ? s 2n ? s i ?1 2 ? a i i ?1 i ?1 2 ? a i n

3、在议会中，1600 名议员组成 1600 个委员会，每个委员会由 80 人组成．证明：可以找出两 个委员会，它们的共同成员不少于 4 位． 【证】 设议会中有 N 个委员会． 将每位议员所参加的委员会，每两个组成一对。如果某个人参加了 k

设 k1，k2，…，k1600 分别为这 1600 名议员所参加的委员会的个数．那么，上述对数之和应为

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如果任意两个委员会都不存在 3 名以上的公共成员，那么总的对数

这与题设相矛盾．因此本题结论成立． 4、设正整数 a, b, c 的最大公约数是 1，并且

ab ? c ，证明 a ? b 是一个完全平方数。 a?b

证明： 设 ( a, b) ? d ， 则 a ? a1 d ，b ? b1 d ， 其中 (a1 , b1 ) ? 1 ， 由于 (a, b, c) ? 1 ， 故 (b, c) ? 1 ， 现在问题中的等式可以转化为 da1b1 ? ca1 ? cb1 ①

由此可见 a1 整除 cb1 。因为 (a1 , b1 ) ? 1 ，故 a1 | c ，同样可得 b1 | c ，再由 (a1 , b1 ) ? 1 便可以推 出 a1b1 | c 。设 c ? a1b1 k ，其中 k 是一个正整数。一方面，显然 k 整除 c ；另一方面，结合① 式，得 d ? k (a1 ? b1 ) ，故 k | d ，从而 k | (c, d ) ，但 (c, d ) ? 1 ，故 k ? 1 。 因此， d ? a1 ? b1 ，故 a ? b ? d (a1 ? b1 ) ? d ，这样就证明了 a ? b 是一个完全平方数。
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