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数列综合题


2 1.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ?

A.38

B.20

C.10

D.9

2.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

3.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?

4.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为______.

5.设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16=

.

6.等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,则 ? an ? 的公比 为 .

7. S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若 a2 n ? 4n ? 1 ,则 S2n =
an 2n ? 1
Sn



? 8.等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N

,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

9.数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 (1) 求 S n ; (2) bn ?

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n

10.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== {bn}的前 n 项和 Sn

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列 2 2 2 2n

11.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ?

1 1 且 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? ,数列 ?bn ? 满足 4 2

b1 ? ?

119 ? 且 3bn ? bn ?1 ? n (n ? 2且n ? N ) . 4

(1)求 ?a n ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值.

12.已知数列 {a n }是首项为a1 ?

1 1 , 公比q ? 的等比数列,设 4 4 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? a n ? bn 。
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn; (3)若 c n ?

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

n 2 13.设数列 {an } 的前 n 项和 sn ? (?1) (2n ? 4n ? 1) ? 1 , n ? Ne ? 。

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ;(2)记 bn ?

( ?1) n ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn an

2 1.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ?

A.38 【答案】C

B.20

C.10

D.9

2 【解析】因为 ? an ? 是等差数列,所以, am ?1 ? am ?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:

2 a m - a m =0, 所以, a m =2, S 2 m ?1 ? 38 , 又 即
2

(2m ? 1)( a1 ? a 2 m ?1 ) =38, (2m-1) 即 2

×2=38,解得 m=10,故选.C。 2.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则

S9 ? S5

解析 ??an ? 为等差数列,? 答案 9

S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

3.等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ?
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案
1 3

4.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S4 ? 10, S5 ? 15 ,则 a4 的最大值为______. 答案 4 .

5.设 Sn=是等差数列{an}的前 n 项和,a12=-8,S9=-9,则 S16= 答案 -72

6.等比数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S2 , 3S3 成等差数列,则 ? an ? 的公比 为 答案 .

1 3
an 2n ? 1

7. S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若 a2 n ? 4n ? 1 ,则 S2n =
Sn



答案

4

解析: 由 a2 n ? 4n ? 1 ,即 an ? nd ? 4n ? 1 ,得 an ? 2n ? 1 d , a1 ? d .
an 2n ? 1 an
2

2n ? 1

2

2

Sn ?

n(a1 ? an ) n d , S2 n ? (2n) d ? 4Sn .故 S2n =4. ? 2 2 2 Sn
2

8.等比数列{ an }的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N ?

,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解:因为对任意的 n ? N ? ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的
n 图像上.所以得 S n ? b ? r ,

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b
n n ?1

? r ) ? b n ? b n ?1 ? (b ? 1)b n ?1 ,
n ?1 所以 an ? (b ? 1)b

又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b n ?1 ? 2n ?1 , 则 Tn ?

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n?1 ? n? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 23 n ?1 3 1 n ?1 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2 n? n? 9.数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2 ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 S n . 3 3
(1) 求 S n ;

S3 n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? n? 2n? 解: (1) 由于 cos 2 ,故 ? sin 2 ? cos 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) , ? ??? ? 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? ? ? , n ? 3k ? 2 ? 3 6 ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

( k?N )
*

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 9n ? 4 1 9n 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 4 4 ? n ] ? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 , 1 2 4 4 4 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n 故 Tn ? ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2
10.已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列, 且满足 a3a6=55, a2+a7=16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== {bn}的前 n 项和 Sn

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列 2 2 2 2n

解(1)解:设等差数列 ? an ? 的公差为 d,则依题设 d>0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7 d ? 16 由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55 ① ②

由①得 2a1 ? 16 ? 7 d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 。即 256 ? 9d 2 ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)令 cn ?

bn , 则有an ? c1 ? c2 ? ? ? cn , an ?1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?1 2n an ?1 ? an ? cn ?1 ,由(1)得a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2
n ?1

两式 相减得 ? cn ?1 ? 2, cn ? 2(n ? 2), 即当n ? 2时,bn ? 2

又当n=1时,b1 ? 2a1 ? 2

?2, (n ? 1) ? bn ? ? n ?1 ?2 (n ? 2)
于是 Sn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? bn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 4 n ?1

= 2 ? 2 ? 2 ? 2 ??? 2
2 3 4

n?1

-4=

2(2n ?1 ? 1) ? 4 ? 2n ? 2 ? 6,即Sn ? 2n ? 2 ? 6 2 ?1
1 1 且 Sn ? Sn ?1 ? an ?1 ? ,数列 ?bn ? 满足 4 2

11.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ?

b1 ? ?

119 ? 且 3bn ? bn ?1 ? n (n ? 2且n ? N ) . 4

(1)求 ?a n ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值. 解: (1)由 2Sn ? 2Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 得 2an ? 2an ?1 ? 1 , an ? an ?1 ? ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ?

1 ……2 分 2

1 1 ……………………………………4 分 n? 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn ?1 ? n ,∴ bn ? bn ?1 ? n , 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an ? bn ?1 ? n ? n ? ? bn ?1 ? n ? ? (bn ?1 ? n ? ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn?1 ? an?1 ? bn?1 ? (n ? 1) ? ? bn?1 ? n ? 2 4 2 4

∴由上面两式得

bn ? an 119 1 1 ? ? ?30 ? ,又 b1 ? a1 ? ? 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

1 为公比的等比数列.…………………8 分 3 1 1 1 1 1 (3)由(2)得 bn ? an ? ?30 ? ( ) n ?1 ,∴ bn ? an ? 30 ? ( )n ?1 ? n ? ? 30 ? ( )n ?1 3 3 2 4 3
∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项,
bn ? bn ?1 ? 1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ? 30 ? ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 = ? 30 ? ( )n?2 (1 ? ) ? ? 20 ? ( ) n?2 ? 0 ,∴ ?bn ? 是递增数列 ………11 分 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 ? ? 时, b4 ? 且 S3 ?

119 3 5 10 <0;当 n=2 时, b2 ? ? 10 <0;当 n=3 时, b3 ? ? <0;当 n=4 4 4 4 3

7 10 ? >0,所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小. 4 9

1 10 1 (1 ? 3 ? 5) ? 30 ? 10 ? ? ?41 …………………………13 分 4 3 12

12.已知数列 {a n }是首项为a1 ?

1 1 , 公比q ? 的等比数列,设 4 4 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? a n ? bn 。
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {c n } 的前 n 项和 Sn;

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4 1 解: (1)由题意知, a n ? ( ) n (n ? N *) ……………………1 分 4 ? bn ? 3 log 1 an ? 2, b1 ? 3 log 1 a1 ? 2 ? 1
(3)若 c n ?
4 4

? bn ?1 ? bn ? 3 log 1 a n ?1 ? 3 log 1 a n ? 3 log 1
4 4 4

a n ?1 ? 3 log 1 q ? 3 an 4

∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列……………………4 分 (2)由(1)知, a n ? ( ) n , bn ? 3n ? 2(n ? N *)

1 4

1 ? cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) …………………………5 分 4 1 1 1 1 1 ? S n ? 1 ? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 4

3 1 1 1 1 1 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 1 1 n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) . 2 4 2 12 n ? 8 1 n?1 ? Sn ? ? ? ( ) (n ? N *) ……………………8 分 3 3 4 1 1 (3)? cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n 4 4 1 ? 9(1 ? n) ? ( ) n?1 , (n ? N *) 4 1 ∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ? 4
两式相减得 当 n ? 2时, cn ?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ∴当 n=1 时, c n 取最大值是 又 cn ?

1 4

1 2 m ? m ? 1对一切正整数n恒成立 4 1 1 ? m2 ? m ?1 ? 4 4
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 ……………………12 分
2
n 2 13.设数列 {an } 的前 n 项和 sn ? (?1) (2n ? 4n ? 1) ? 1 , n ? Ne ? 。

( ?1) n (1)求数列 {an } 的通项公式 an ;(2)记 bn ? ,求数列 ?bn ? 前 n 项和 Tn an
n 2 解: (1)数列 ? an ? 的前 n 项之和 sn ? (?1) (2n ? 4n ? 1) ? 1 1 在 n=1 时, a1 ? s1 ? (?1) (2 ? 4 ? 1) ? 1 ? ?8

在 n ? 2 时, an ? sn ? sn ?1

? (?1)n (2n2 ? 4n ? 1) ? (?1) n?1[2(n ? 1) 2 ? 4(n ? 1) ? 1] ? (?1)n ? 4n(n ? 1)
n 而 n=1 时, a1 ? ?8 满足 an ? (?1) 4n(n ? 1) n 故所求数列 ? an ? 通项 an ? (?1) 4n(n ? 1) ………………………………(7 分)

(2)∵ bn ?

(?1) n 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an 4n(n ? 1) 4 n n ? 1

因此数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?

1 1 4n (1 ? )? ) ………………………(12 分) 4 n ?1 n ?1



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