tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高考数学一轮 知识点各个击破 第一章 集合与常用逻辑用语课件 文 新人教A版


目 录
第一章 集合与常用逻辑用语

第一节
第二节 第三节

集合
命题及其关系、充分条件与必要条件 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第一章 集合与常用逻辑用语

[知识能否忆起] 一、元素与集合 1.集合中元素的三个特性: 确定性 、 互异性、无序性 .

r />
2.集合中元素与集合的关系:元素与集合之间的关系
有 属于 和 不属于两种,表示符号为 ∈ 和 ? .

3.常见集合的符号表示: 自然 数集 N

集合

正整数集 整数集 有理数集 实数集 N*或N+ Z Q R

表示

4.集合的表示法: 列举法 、 描述法 、 韦恩图 .

二、集合间的基本关系 描述 文字语言 关系 相 集合A与集合B中的所有元素都 等 相同 集合 子 间的 A中任意一元素均为B中的元素 集 基本 真 关系 A中任意一元素均为B中的元素, 子 且B中至少有一个元素A中没有 集 空集是任何集合的子集 空集 空集是任何 非空集合 的真子集

符号语言

A=B
A?B 或 B?A
? A?B 或 ? B?A

??B
? ??B(B≠?) __________

三、集合的基本运算
集合的并集 符号 表示 A∪B A∩B 集合的交集 集合的补集 若全集为U,则集 合A的补集为?UA

图形
表示

{x|x∈A, 意义
或x∈B}

{x|x∈A,
且x∈B}

{x|x∈U,且x?A}

[小题能否全取] 1.(2012· 大纲全国卷)已知集合A={x|x是平行四边形},B ={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形}, 则 ( )

A.A?B
C.D?C

B.C?B
D.A?D

解析:选项A错,应当是B?A.选项B对,正方 形一定是矩形,但矩形不一定是正方形.选项C错, 正方形一定是菱形,但菱形不一定是正方形.选项D

错,应当是D?A.
答案: B

2.(2012· 浙江高考)设集合A={x|1<x<4},集合B= {x|x2-2x-3≤0},则A∩(?RB)= A.(1,4) B.(3,4) ( )

C.(1,3)

D.(1,2)∪(3,4)

解析:因为?RB={x|x>3,或x<-1},所以A∩(?RB) ={x|3<x<4}.

答案:B

3.(教材习题改编)A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,
a∈A},则A∩B=B时a的值是 A.2 C.1或3 B.2或3 D.1或2 ( )

解析:验证a=1时B=?满足条件;验证a=2时B={1}

也满足条件.
答案:D

4.(2012· 盐城模拟)如图,已知U={1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,4,5,6,8},B ={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举

法写出图中阴影部分表示的集合为________.
解析:阴影部分表示的集合为A∩C∩(?UB)={2,8}. 答案: {2,8}

5.(教材习题改编)已知全集U={-2,-1,0,1,2},集合A=
? ? ? 2 ?x?x= ,x,n∈Z? ,则?UA=________. n-1 ? ? ? ? ? ? 2 解析:因为A=?x?x=n-1,x,n∈Z? , ? ? ?

当n=0时,x=-2;n=1时不合题意; n=2时,x=2;n=3时,x=1; n≥4时,x?Z;n=-1时,x=-1; n≤-2时,x?Z. 故A={-2,2,1,-1}, 又U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}.

答案:{0}

1.正确理解集合的概念

研究一个集合,首先要看集合中的代表元素,然后
再看元素的限制条件,当集合用描述法表示时,注意弄 清其元素表示的意义是什么.注意区分{x|y=f(x)}、{y|y =f(x)}、{(x,y)|y=f(x)}三者的不同. 2.注意空集的特殊性

空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子
集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到集 合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑A=?和A≠?

两种可能的情况.

[例1] (1)(2012· 新课标全国卷)已知集合A= {1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B 中所含元素的个数为 ( )

A.3
C.8

B.6
D.10

(2)已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M= N,则(m-n)2013=________.

[自主解答]

(1)∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-

y∈A},A={1,2,3,4,5}, ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3; x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},
∴B中所含元素的个数为10.

(2)由 M=N 知
?n=1, ? ? ?log2n=m ? ?n=1, ? ∴? ?m=0 ? ?n=m, ? 或? ?log2n=1, ? ?m=2, ? 或? ?n=2, ?

故(m-n)2 013=-1 或 0.

[答案]

(1)10

(2)-1或0

1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足

的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要
注意检验集合的元素是否满足互异性. 2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合 中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解, 要注意检验是否满足互异性.

1.(1)(2012· 北京东城区模拟)设P、Q为两个非空实数集 合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P= {0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为( A.9 B.8 )

C.7

D.6

(2)已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a= ________.

解析:(1)∵P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},P={0,2,5},Q
={1,2,6},∴当a=0时,a+b的值为1,2,6;当a=2时,a +b的值为3,4,8;当a=5时,a+b的值为6,7,11, ∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11},∴P+Q中有8个元素.

(2)∵-3∈A, ∴-3=a-2 或-3=2a2+5a. 3 ∴a=-1 或 a=- . 2 当 a=-1 时,a-2=-3,2a2+5a=-3, 与元素互异性矛盾,应舍去. 3 7 当 a=- 时,a-2=- ,2a2+5a=-3. 2 2 3 ∴a=- 满足条件. 2 3 答案:(1)B (2)- 2

[例2]

(1)(2012· 湖北高考)已知集合A={x|x2-3x+2=0,

x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A?C?B的集合C
的个数为 A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

(2)已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,

则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=________.
[自主解答] ∴A={1,2}. 由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C可为{1,2}, {1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. (1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,

(2)由log2x≤2,得0<x≤4,
即A={x|0<x≤4},而B=(-∞,a),由于A?B,如图所 示,则a>4,即c=4. [答案] (1)4 (2)4

1.判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集
合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表 示各集合,从元素中寻找关系. 2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集 合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足 的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析.

2. (2012· 郑州模拟)已知集合A={2,3},B={x|mx-6 =0},若B?A,则实数m的值为 A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3 解析:当 m=0 时,B=??A;
当 m≠0 时,由 6 6 m=2 或m=3, 解得 m=3 或 m=2, 综上可得实数 m=0 或 2 或 3. 答案:D
?6? ? ? B=?m??{2,3}可得 ? ? ? ?

(

)

[例3]

(1)(2011· 江西高考)若全集U={1,2,3,4,5,6},M= ( ) B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

{2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于 A.M∪N C.(?UM)∪(?UN)

(2)(2012· 安徽合肥质检)设集合A= {x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影 部分表示的集合为 A.{x|x≥1} C.{x| - 8<x<1} ( B.{x|-4<x<2} D.{x|1≤x<2} )

[自主解答]

(1)∵M∪N={1,2,3,4},

∴(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6}.
(2)∵x2+2x-8<0, ∴-4<x<2, ∴A={x|-4<x<2}, 又∵B={x|x<1},

∴图中阴影部分表示的集合为A∩(?UB)={x|1≤x<2}.
[答案] (1)D (2)D

将例3(1)中的条件“M={2,3}”改为“M∩N=N”,试求 满足条件的集合M的个数. 解:由M∩N=N得M?N. 含有2个元素的集合M有1个,含有3个元素的集合M有 4个, 含有4个元素的集合M有6个,含有5个元素的集合M有 4个, 含有6个元素的集合M有1个.

因此,满足条件的集合M有1+4+6+4+1=16个.

1.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图
和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时 用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴 表示时注意端点值的取舍. 2.在解决有关A∩B=?,A?B等集合问题时,一

定先考虑A或B是否为空集,以防漏解.另外要注意分
类讨论和数形结合思想的应用.

3. (2013· 锦州模拟)已知全集U=R,集合A={x|x2-
2x>0},B={x|y=lg(x-1)},则(?UA)∩B等于( A.{x|x>2,或x<0} C.{x|1<x≤2} B.{x|1<x<2} D.{x|1≤x≤2} )

解析:A={x|x(x-2)>0}={x|x>2,或x<0},

B={x|y=lg(x-1)}={x|x-1>0}={x|x>1},
?UA={x|0≤x≤2}. ∴(?UA)∩B={x|1<x≤2}. [答案] C

以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新

型试题的一个热点,此类题目常常以“问题”为核心,
以“探究”为途径,以“发现”为目的,常见的命题形 式有新定义、新运算、新性质,这类试题只是以集合为 依托,考查考生理解问题、解决创新问题的能力.

1.创新集合新定义

创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合,
对集合的知识加以深入地创新,结合原有集合的相关知 识和相应数学知识,来解决新定义的集合创新问题. 1 [典例 1] 若 x∈A,则x∈A,就称 A 是伙伴关系
集合,集合
? ? 1 ? ? ?-1,0, ,2,3?的所有非空子集中 M= 2 ? ? ? ?

具有伙伴关系的集合的个数是

(

)

A.1
C.7

B.3
D.31

[解析]

1 具有伙伴关系的元素组是-1; ,2, 2
?1 ? ? ? ? ,2?, 个:{-1},?2 ? ? ?

所以具有伙伴关系的集合有 3
? ? 1 ? ? ?-1, ,2?. 2 ? ? ? ?

[答案]

B 该题是集合新定义的问题,定义了

[题后悟道]

集合中元素的性质,此类题目只需准确提取信息并加 工利用,便可顺利解决.

2.创新集合新运算 创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求

给出新的集合运算规则,并按照此集合运算规则和要求
结合相关知识进行逻辑推理和计算等,从而达到解决问 题的目的. [典例2] 设P和Q是两个集合,定义集合P-Q= {x|x∈P,且x?Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},

那么P-Q=
A.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2}

(
B.{x|0<x≤1} D.{x|2≤x<3}

)

[解析] 由log2x<1,得0<x<2,所以P={x|0<x<2}; 由|x-2|<1,得1<x<3,所以Q={x|1<x<3}.由题意,得P

-Q={x|0<x≤1}.
[答案] B [题后悟道] 解决创新集合新运算问题常分为三步:

(1)对新定义进行信息提取,确定化归的方向;
(2)对新定义所提取的信息进行加工,探求解决方法; (3)对定义中提出的知识进行转换,有效地输出.其中

对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键,也是解题
的难点.

3.创新集合新性质

创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义
与性质来处理问题,通过创新性质,结合相应的数学知 识来解决有关的集合性质的问题.
[典例 3] 对于复数 a,b,c,d,若集合 S={a,b,

c,d}具有性质“对任意 x,y∈S,必有 xy∈S”,则当 ?a=1, ? 2 ?b =1, 时,b+c+d 等于 ?c2=b ? A.1 B.-1

(

)

C.0

D.i

[解析] ∵S={a,b,c,d},由集合中元素的互异
性可知当a=1时,b=-1,c2=-1,∴c=±i,由“对 任意x,y∈S,必有xy∈S”知±i∈S,∴c=i,d=-i或 c=-i,d=i, ∴b+c+d=(-1)+0=-1.

[答案] B [题后悟道] 此题是属于创新集合新性质的题目,

通过非空集合S中的元素属性的分析,结合题目中引入的 相应的创新性质,确定集合的元素.

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.现有含三个元素的集合,既可以表示为
? ? b ?a, ,1? a ? ?

,也可

表示为{a2,a+b,0},则a2 013+b2 013=________. b 解析:由已知得 a =0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a

=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍 去,因此a=-1,故a2 013+b2 013=(-1)2 013=-1.
答案:-1

2.集合S={a,b,c,d,e},包含{a,b}的S的子集 共有 A.2个 C.5个 B.3个 D.8个 ( )

解析:包含{a,b}的S的子集有:{a,b};{a,b,c},
{a,b,d},{a,b,e};{a,b,c,d},{a,b,c,e}, {a,b,d,e};{a,b,c,d,e}共8个. 答案: D

3.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小
组,每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物 理、化学小组的人数分别为26、15、13,同时参加数 学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有 4人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 解析:由题意知,同时参加三个小组的人 数为0,设同时参加数学和化学小组的人

数为x,Venn图如图所示,
∴(20-x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得x=8. 答案:8

4.已知集合A={x|x2+2x+a≤0},B={x|a≤x≤4a-9}, 若A,B中至少有一个不是空集,则a的取值范围是 ________.

解析:若A,B全为空集,则实数a满足4-4a<0且a>4a
-9,即1<a<3,则满足题意的a的取值范围为 (-∞,1]∪[3,+∞). 答案:(-∞,1]∪[3,+∞)

5.(2012· 重庆高考)设平面点集

? ? 1? ? ?y- ?≥0?, A=(x,y)(y-x)· x? ? ? ?

B={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面 图形的面积为 ( )

3 A. π 4 4 C. π 7

3 B. π 5 π D. 2

解析:A∩B 表示的平面图形为图 中阴影部分,由对称性可知,SC= SF,SD=SE.因此 A∩B 所表示的平 面图形的面积是圆面积的一半,即 π 为 . 2

答案:D

[知识能否忆起] 一、命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的,可以 判断真假 的
陈述句叫做命题.其中 判断为真 的语句叫做真命题,判断

为假 的语句叫做假命题.

二、四种命题及其关系 1.四种命题 命题 原命题 逆命题 否命题 表述形式 若p,则q 若q,则p
若非 p,则非 q

逆否命题

若非 q,则非 p

2.四种命题间的逆否关系

3.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同 的真假性; (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系 . 三、充分条件与必要条件

1.如果p?q,则p是q的 充分条件,q是p的 必要条件.
2.如果p?q,q?p,则p是q的 充要条件 .

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)下列命题是真命题的为
1 1 A.若x=y ,则 x=y C.若 x=y,则 x= y

(

)

B.若 x2=1,则 x=1 D.若 x<y,则 x2<y2

1 1 解析:由x=y得 x=y,A 正确,易知 B、C、D 错误.

答案:A

π 2.(2012· 湖南高考)命题“若 α= ,则 tan α=1”的逆否 4 命题是 ( )

π A.若 α≠ ,则 tan α≠1 4

π B.若 α= ,则 tan α≠1 4

π π C.若 tan α≠1,则 α≠ D.若 tan α≠1,则 α= 4 4 解析:以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的 π 命题为逆否命题,即“若 α= ,则 tan α=1”的逆否命 4 π 题是“若 tan α≠1,则 α≠ ”. 4 答案:C

3.(2012· 温州适应性测试)设集合A,B,则A?B是A∩B

=A成立的
A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件

(

)

D.既不充分也不必要条件

解析:由A?B,得A∩B=A;反过来,由A∩B=A, 且(A∩B)?B,得A?B.因此,A?B是A∩B=A成立的充

要条件.
答案:C

4.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A、∠B都是锐角”
的否命题为:____________________. 解析:原命题的条件:在△ABC中,∠C=90°, 结论:∠A、∠B都是锐角.否命题是否定条件和结论. 即“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是锐

角”.
答案:“在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A、∠B不都是 锐角”

5.下列命题中所有真命题的序号是________.
①“a>b”是“a2>b2”成立的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”成立的必要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”成立的充要条件.
解析:①由 2>-3?/ 22>(-3)2 知,该命题为假;②由 a2>b2?|a|2>|b|2?|a|>|b|, 知该命题为真; ③a>b?a+c>b +c,又 a+c>b+c?a>b,∴“a>b”是“a+c>b+c”的 充要条件为真命题.

答案:②③

1.充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件, 即“p?q”?“q?p”;

(2)传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分
(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件. 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分 不必要条件是q”两者的不同,前者是“p?q”而后者是 “q?p”.

2.从逆否命题,谈等价转换 由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假 性,因而,当判断原命题的真假比较困难时,可转

化为判断它的逆否命题的真假,这就是常说的“正
难则反”.

[例1] 下列命题中正确的是
②“正多边形都相似”的逆命题;

(

)

①“若 x2+y2≠0,则 x,y 不全为零”的否命题; ③“若 m>0,则 x2+x-m=0 有实根”的逆否命题; ④“若 x-3 是有理数,则 x 是无理数”的逆否命题.
1 2

A.①②③④
C.②③④ [自主解答]

B.①③④
D.①④ ①中否命题为“若x2+y2=0,则x=y

=0”,正确;③中,Δ=1+4m,当m>0时,Δ>0,原 命题正确,故其逆否命题正确;②中逆命题不正确; ④中原命题正确故逆否命题正确.

[答案]

B

在判断四个命题之间的关系时,首先要分清命题的

条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关
系.要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为 原命题,也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命 题”;判定命题为真命题时要进行推理,判定命题为假命 题时只需举出反例即可.对涉及数学概念的命题的判定

要从概念本身入手.

1.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正 确命题的序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定

义域内是减函数”是真命题;
②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则 ab≠0”;

③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命
题为真命题; ④命题“若a∈M,则b?M”与命题“若b∈M,则a?M” 等价.

解析:对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)

=logax在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依
据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③, 原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是 假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正 确;对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b?M”与命题

“若b∈M,则a?M”是互为逆否命题,因此二者等价,所
以④正确.综上可知正确的说法有②④. 答案:②④

[例2] (1)(2012· 浙江十校联考)设x∈R,那么“x<0” 是“x≠3”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(2)(2012· 北京高考)设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的 ( )

A.充分而不必要条件
C.充分必要条件

B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件

[自主解答]

(1)取x=0,则x2-2x=0,故由x<2不

能推出x2-2x<0;由x2-2x<0得0<x<2,故由x2-2x<0

可以推出x<2.所以“x<2”是“x2-2x<0”的必要而不充
分条件. (2)当a=0,且b=0时,a+bi不是纯虚数;若a+bi 是纯虚数,则a=0.故“a=0”是“复数a+bi是纯虚数” 的必要而不充分条件.

[答案] (1)B

(2)B

充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“ 若p,则q”及其逆命题的真假进行区分,在具体解题中,

要注意分清“谁是条件”“谁是结论”,如“A是B的什么条
件”中,A是条件,B是结论,而“A的什么条件是B”中, A是结论,B是条件.有时还可以通过其逆否命题的真 假加以区分.

2.下列各题中,p是q的什么条件?

(1)在△ABC中,p:A=B,q:sin A=sin B;
(2)p:|x|=x,q:x2+x≥0. 解:(1)若 A=B,则 sin A=sin B,即 p?q.
又若 sin A=sin B,则 2Rsin A=2Rsin B,即 a=b. 故 A=B,即 q?p. 所以 p 是 q 的充要条件. (2)p:{x||x|=x}={x|x≥0}=A,
q:{x|x2+x≥0}={x|x≥0,或 x≤-1}=B, ∵A? B, ∴p 是 q 的充分不必要条件.

[例3] 已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,
且q是p的充分而不必要条件,则a的取值范围为

______.

[自主解答]

设 q,p 表示的范围为集合 A,B,

则 A=(2,3),B=(a-4,a+4). 由于 q 是 p 的充分而不必要条件,则有 A? B,
?a-4≤2, ? 即? ?a+4>3 ? ?a-4<2, ? 或? ?a+4≥3, ?

解得-1≤a≤6.

[答案]

[-1,6]

利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范 围,其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是: (1)若p是q的充分不必要条件,则p?q且q? p; / (2)若p是q的必要不充分条件,则p? q,且q?p; /

(3)若p是q的充要条件,则p?q.

3.(2013· 兰州调研)“x∈{3,a}”是不等式2x2-5x-3≥0 成立的一个充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (
A.(3,+∞)
? 1? C.?-∞,-2? ? ? ? 1? ?? ? B.?-∞,-2?∪?3,+∞?? ? ? ? 1? ?? ? D.?-∞,-2?∪?3,+∞?? ? ?

)

1 解析:由 2x -5x-3≥0 得 x≤- 或 x≥3. 2
2

∵x∈{3,a}是不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个充分不 必要条件,又根据集合元素的互异性 a≠3, 1 ∴a≤- 或 a>3. 2

[答案] D

[典例] (2012· 山东高考)设a>0且a≠1,则“函数f(x) =ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增 函数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

[常规解法] 件是p:0<a<1.

“函数f(x)=ax在R上是减函数”的充要条

因为g′(x)=3(2-a)x2,而x2≥0,所以“函数g(x)=(2-
a)x3在R上是增函数”的充要条件是2-a>0,即a<2. 又因为a>0且a≠1,所以“函数g(x)=(2-a)x3在R上是 增函数”的充要条件是q:0<a<2且a≠1. 显然p?q,但q?/ p,所以p是q的充分不必要条件,

即“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在
R上是增函数”的充分不必要条件. [答案] A

1.充分、必要条件的判定方法有定义法、集合法 和等价转化法. 2.三种不同的方法各适用于不同的类型,定义法

适用于定义、定理判断性问题,而集合法多适用于命题
中涉及字母的范围的推断问题,等价转化法适用于条件 和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来 判断.

[巧思妙解]

p:“函数f(x)=ax在R上是减函数”等

价于0<a<1.q:“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”等 价于2-a>0,即a<2.而{a|0<a<1}是{a|a<2}的真子 集.故答案为充分不必要.

?针对训练
1 命题 p: |x+2|>2; 命题 q: >1, 则綈 q 是綈 p 的( 3-x )

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:解|x+2|>2,即 x+2<-2 或 x+2>2,得 x<-4 1 或 x>0, 所以 p: x<-4 或 x>0, 故綈 p: -4≤x≤0; 解 3-x >1,得 2<x<3,所以 q:2<x<3,綈 q:x≤2 或 x≥3.显然{x| -4≤x≤0}? {x|x≤2,或 x≥3},所以綈 q 是綈 p 的必要不 充分条件.

答案:B

教师备选题(给有能力的学生加餐) 1.(2012· 济南模拟)在命题p的四种形式的命题(原命题、 逆命题、否命题、逆否命题)中,正确命题的个数记

为f(p),已知命题p:“若两条直线l1:a1x+b1y+c1=
0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0”.那 么f(p)= A.1 C.3 B.2 D.4 ( )

解析:若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0与l2:a2x+b2y+c2
=0平行,则必有a1b2-a2b1=0,但当a1b2-a2b1=0时, 直线l1与l2不一定平行,还有可能重合,因此命题p是真命 题,但其逆命题是假命题,从而其否命题为假命题,逆 否命题为真命题,所以在命题p的四种形式的命题(原命 题、逆命题、否命题、逆否命题)中,有2个正确命题, 即f(p)=2.

答案: B

π π 2.条件 p: <α< ,条件 q:f(x)=logtan αx 在(0,+∞)内 4 2 是增函数,则 p 是 q 的 ( )

A.充要条件
C.必要不充分条件

B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

解析:∵f(x)=logtan αx 在(0,+∞)内是增函数, ∴tan α>1,得
?π ? ?π π? π α∈?4+kπ,2+kπ?,k∈Z,而?4, 2 ? ? ? ? ?

?π ? π ? ?4 +kπ,2 +kπ?(k∈Z). ? ?

∴p 是 q 的充分不必要条件. 答案: B

3.判断命题“若a≥0,则x2+x-a=0有实根”的逆否命
题的真假.
解:法一:写出逆否命题进行判断. 原命题:若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根. 逆否命题:若 x2+x-a=0 无实根,则 a<0. 判断如下: ∵x2+x-a=0 无实根, 1 ∴Δ=1+4a<0,∴a<- <0, 4 ∴“若 x2+x-a=0 无实根, a<0”为真命题. 则

法二:利用原命题与逆否命题同真同假(即等价关系) 判断∵a≥0,∴4a≥0,∴4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 的判别式 Δ=4a+1>0, ∴方程 x2+x-a=0 有实根. 故原命题“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”为真. 又因原命题与其逆否命题等价, 所以“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”的逆否命题 为真.

法三:利用充要条件与集合关系判断. 令 A={a∈R|a≥0}, B{a∈R|方程 x +x-a=0 则 A? B. ∴“若 a≥0,则 x2+x-a=0 有实根”为真,其逆否命 题也为真.
2

? 1? ? ? 有实根}=?a∈Ra≥-4?, ? ? ? ?

[知识能否忆起] 一、简单的逻辑联结词 1.用联结词“且”联结命题p和命题q,记作 p∧q , 读作“ p且q ”.

2.用联结词“或”联结命题p和命题q,记作 p∨q , 读作“ p或q ”.

3.对一个命题 p 全盘否定记作 綈 p ,读作“非 p”或 “p 的否定”.
4.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p∧q 中 p、q 有一假为 假 ,p∨q 有一真为真,p 与 非 p 必定是 一真一假 .

二、全称量词与存在量词

1.全称量词与全称命题
任意一个 所有的 ”“ (1)短语“ ? 做全称量词,并用符号“ ”在逻辑中通常叫

”表示.

(2)含有 全称量词 的命题,叫做全称命题. (3)全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可 ?x∈M,p(x) 用符号简记为 对任意x属于M,有 ,读作“

p(x)成立 ”.

2.存在量词与特称命题
至少有一个 存在一个 ”“ (1)短语“ ? 通常叫做存在量词,并用符号“ ”在逻辑中

”表示.

(2)含有 存在量词 的命题,叫做特称命题. (3)特称命题“存在M中的一个x0,使p(x0)成立” ?x0∈M,P(x0) 可用符号简记为 素x0,使p(x0)成立”. ,读作“ 存在M中的元

三、含有一个量词的命题的否定
命题 ?x∈M,p(x) ?x∈M,p(x) 命题的否定

?x∈M,綈 p(x)
?x∈M,綈 p(x)

[小题能否全取] 1.(2011· 北京高考)若p是真命题,q是假命题,则( A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 )

C.綈p是真命题
答案:D

D.綈q是真命题

2.(教材习题改编)下列命题中的假命题是(
1 A.?x0∈R,x0+ =2 x0 C.?x∈R,x2>0

)

B.?x0∈R,sin x0=-1 D.?x∈R,2x>0

答案:C

3.(2012· 湖南高考)命题“?x0∈?RQ,x 3 ∈Q”的否 0 定是
A.?x0??RQ,x3∈Q 0 C.?x??RQ,x3∈Q

(
B.?x0∈?RQ,x3?Q 0 D.?x∈?RQ,x3?Q

)

解析:其否定为?x∈?RQ,x3?Q.

答案:D

4.(教材习题改编)命题 p:有的三角形是等边三角形.命 题綈 p:__________________.

答案:所有的三角形都不是等边三角形
5.命题“?x0∈R,2x2-3ax0+9<0”为假命题,则实数 a 0 的取值范围为________.
解析: 0∈R,2x2-3ax0+9<0 为假命题, ?x 则?x∈R, 0 2x2-3ax+9≥0 恒成立,有 Δ=9a2-72≤0,解得- 2 2≤a≤2 2.

答案:[-2 2,2 2 ]

1.逻辑联结词与集合的关系 “或、且、非”三个逻辑联结词,对应着集合运算中的 “并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意 义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题.

2.正确区别命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p,则q”的条件和结论分别加 以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定其结论;

“命题的否定”即“非p”,只是否定命题p的结论.
命题的否定与原命题的真假总是对立的,即两者中有 且只有一个为真,而原命题与否命题的真假无必然联系.

[例 1]

(2012· 齐齐哈尔质检)已知命题 p:?x0∈R,

使 tan x0=1,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, 给出下列结论:

①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假

命题;③命题“(綈 p)∨q”是真命题;④命题“(綈
q)”是假命题.其中正确的是( )

A.②③ C.①③④

B.①②④ D.①②③④

[自主解答]

命题 p:?x0∈R,使 tan x0=1 是真命

题,命题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题, 故①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈 q)”是假命

题;③命题“(綈 p)∨q”是真命题;④命题“(綈 p)∨(綈 q)”是假命题.

[答案]

D

1.“p∧q”“p∨q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤
(1)准确判断简单命题 p、q 的真假;
(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈 p”命题的真假.

2.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律

(1)p∨q:p、q中有一个为真,则p∨q为真,即一真
全真; (2)p∧q:p、q中有一个为假,则p∧q为假,即一假 即假; (3)綈 p:与 p 的真假相反,即一真一假,真假相反.

1.(1)如果命题“非p或非q”是假命题,给出下列四个结论:
①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③ 命 题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题. 其中正确的结论是 ( )

A.①③
C.②③

B.②④
D.①④

(2)(2012· 江西盟校联考)已知命题p:“?x∈[0,1],a≥ex”,
命题q:“?x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命 题,则实数a的取值范围是 A.(4,+∞) C.[e,4] ?p与q均为真命题. “p∧q”是真命题,则p与q都是真命题.p真则?x∈[0,1], B.[1,4] D.(-∞,1] ( )

解析: “非p或非q”是假命题?“非p”与“非q”均为假命题

a≥ex,需a≥e;q真则x2+4x+a=0有解,需Δ=16-4a≥0,
所以a≤4.p∧q为真,则e≤a≤4. 答案: (1) A (2) C

[例2] 下列命题中的假命题是

(

)

A.?a,b∈R,an=an+b,有{an}是等差数列
B.?x 0 ? (-?,,x 0 ? 3 x 0 0) 2

C.?x∈R,3x≠0 D.?x0∈R,lg x0=0

[自主解答]

对于 A,an+1-an=a(n+1)+b-(an+

b)=a 常数.A 正确;对于 B,注意到 sin x+cos x= 2
? π? sin?x+4?≤ ? ?

2<2, 因此不存在 x0∈R, 使得 sin x0+cos x0

=2,B 不正确;对于 C,易知 3x≠0,因此 C 正确;对 于 D,注意到 lg 1=0,因此 D 正确.

[答案]

B

1.全称命题真假的判断方法
(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的 集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立; (2)要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集 合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可. 2.存在性命题真假的判断方法 要判断一个存在性命题是真命题,只要在限定的集

合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这一
存在性命题就是假命题.

2.(2012· 湖南十二校联考)下列命题中的真命题是( 3 A.?x0∈R,使得 sin x0cos x0= 5
B.?x0∈(-∞,0),2x0>1 C.?x∈R,x2≥x-1

)

D.?x∈(0,π),sin x>cos x 3 6 解析:由 sin xcos x= ,得 sin 2x= >1,故 A 错误;结 5 5
合指数函数和三角函数的图象,可知 B,D 错误;因为 x
2

? 1 ?2 3 -x+1=?x-2? + >0 4 ? ?

恒成立,所以 C 正确.

答案:C

[例3]

(2013· 武汉适应性训练)命题“所有不能被2整

除的整数都是奇数”的否定是 ( )

A.所有能被2整除的整数都是奇数 B.所有不能被2整除的整数都不是奇数

C.存在一个能被2整除的整数是奇数
D.存在一个不能被2整除的整数不是奇数

[自主解答]

命题“所有不能被2整除的整数都

是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不 是奇数”,选D. [答案] D

若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”,

其否定为________.
答案:所有能被2整除的整数都不是奇数

1.弄清命题是全称命题还是存在性命题是写出命
题否定的前提. 2.注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题 的含义加上量词,再进行否定.
3.要判断“綈 p”命题的真假,可以直接判断,也 可以判断“p”的真假,p 与綈 p 的真假相反.

4.常见词语的否定形式有: 至少有 至多有 一个 一个 对任意x∈A 使p(x)真

原语 是 都是 句
否定 不都 不是 是

>

形式



一个也 至少有 没有 两个

存在x∈A 使p(x)假

3.(2012· 辽宁高考)已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)- f(x1))(x2-x1)≥0,则綈 p 是 ( )

A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0
解析:命题 p 的否定为“?x1,x2∈R,(f(x2)-f( x1))(x2 -x1)<0”.

答案:C

[典例]

(2012· 湖北高考)命题“存在一个无理数,

它的平方是有理数”的否定是
A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数

(

)

[尝试解题]

特称命题的否定为全称命题,即将

“存在”改为“任意”,并将其结论进行否定.原命 题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理 数”. [答案] B

1.因只否定量词不否定结论,而误选A. 2.对含有一个量词的命题进行否定时,要明确否定

的实质,不应只简单地对量词进行否定,应遵循否定的
要求,同时熟记一些常用量词的否定形式及其规律.

?针对训练 1.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是_____.

解析:全称命题的否定是存在性命题,全称量词“任 何”改为存在量词“存在”,并把结论否定. 答案:存在x∈R,使得|x-2|+|x-4|≤3 2.命题“能被5整除的数,末位是0”的否定是________.

解析:省略了全称量词“任何一个”,否定为:有些可
以被5整除的数,末位不是0. 答案:有些可以被5整除的数,末位不是0

教师备选题(给有能力的学生加餐)
1.(2012· 济宁模拟)有下列四个命题: p1:若a· b=0,则一定有a⊥b;

p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y; p3:?a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=a1-2x+1都恒
?1 ? 过定点?2,2?; ? ?

p4:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充 要条件是D2+E2-4F≥0.其中假命题的是( )

A.p1,p4 C.p1,p3

B.p2,p3 D.p2,p4

解析:对于p1:∵a· b=0?a=0或b=0或a⊥b,当a=
0,则a方向任意,a,b不一定垂直,故p1假,否定B、 D,又p3显然为真,否定C. 答案: A

2. 若命题 p: 关于 x 的不等式 ax+b>0

? b? ? ? ?xx>- ?, 的解集是 a? ? ? ?

命题 q:关于 x 的不等式(x-a)(x-b)<0 的解集是 {x|a<x<b},则在命题“p∧q”“p∨q”“綈 p”“綈

q”中,是真命题的有________.

解析: 依题意可知命题 p 和 q 都是假命题, 所以“p∧q” 为假、“p∨q”为假、“綈 p”为真、“綈 q”为真.
答案:綈 p,綈 q

3.已知p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;q:方
程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为 假,求m的取值范围.
解:若方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根 x1,x2, ?Δ>0, ? 则?x1+x2<0, ?x x >0, ? 1 2
?Δ=m2-4>0, ? 即? ?m>0. ?

解得 m>2,即 p:m>2. 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,

则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0. 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假, ∴p、q 两命题应一真一假,即 p 为真、q 为假或 p 为假、q 为真.
?m>2, ? ∴? ?m≤1或m≥3 ? ?m≤2, ? 或? ?1<m<3. ?

解得 m≥3 或 1<m≤2. ∴m 的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).


推荐相关:

高考数学复习第1课 集合的概念与运算

高考数学复习第1课 集合的概念与运算_数学_高中教育...要点导学 各个击破 集合间的基本关系 例1 已知...第一章1课一、 填空题 集合与常用逻辑用语集合...


【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课 集合的概念与运算 文

【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语1课 集合的概念与运算 _数学_高中教育_教育专区。第1课 集合的概念与运算页) (本...


【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2课 四种命题和充要条件 文

【南方凤凰台】2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第2课 四种命题和充要条件 _数学_高中教育_教育专区。第2课 四种命题和充要条件页) (...


2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 文

2017版高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 _数学_高中教育_教育专区。第3课 简单的逻辑联结词、全称...


2016年高考数学(理科)考点解析及考点分布表

数学高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、...分类与整合就是“化整为零,各个击破,再积零为整...集合的概念 一、集合与常用逻辑用语二、函数概念与...


09高考英语重点词法各个击破

2012大纲全国卷高考数学(... 2012年高考新课标理科...09 高考英语重点词法各个击破1】 that 】 引导...(请对方部分重复时常用的表达用语。还可表示惊奇,...


高三数学(文科)复习备考计划

多层 次复习重点知识内容,既要“各个击破”,也要...通过研究今年高三的教学模式,探求高中数学复习的新...集合与常用逻辑用语、函数与基本初等函数 第一周月...


名师传招:2010北京高考9门学科各个击破术

2012大纲全国卷高考数学(... 2012年高考新课标理科...名师传招:2010 北京高考 9 门学科各个击破术 语文...1.“集合”与“常用逻辑用语”:强调了集合在表述数...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com