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第一讲 集合


第一章

集合与函数概念
知识网络
集合与函数概念

集合

映射

函数

集 合 表 示 法

集 合 的 关 系

集 合 的 运 算

映 射 的 概 念

函 数 及 其 表 示

函 数 基 本 性 质

列 举 法

描 述 法

图 示 法

包 含

相 等

交 集

并 集

补 集

子集与真子集

函 数 的 概 念

函 数 的 表 示 法

单 调 性 与 最 值

函 数 的 奇 偶 性

第一讲

集合

★知识梳理
一:集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的 3 种表示方法:列举法、描述法、韦恩图; 3.集合中元素与集合的关系:

文字语言 属于 不属于

符号语言 ?

?
正整数集
? N 或N?

4.常见集合的符号表示
数集 符号 自然数集 整数集 有理数集
Q

实数集

复数集

N

Z

R

C

二: 集合间的基本关系
表示 关系 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素 都相同 子集 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元 素 A 中任意一元素均为 B 中的元 素,且 B 中至少有一元素不是 A 的元素 空集 空集是任何集合的子集,是任 何非空集合的真子集 文字语言 符号语言

A ? B且B ? A ?
A ?B

A ? B 或B ? A
A B

? ? A ,?

B (B ? ? )

三:集合的基本运算 ①两个集合的交集: A ? B =

?x

x ? A且 x ? B ? ;

②两个集合的并集: A ? B = ? x x ? A或 x ? B ? ; ③设全集是 U,集合 A ? U ,则 C U A ? ? x x ? U 且 x ? A? 交
?
A ? B ? { x | x ? A, 且 x ? B}


?
A ? B ? { x | x ? A, 或 x ? B}


C U A ? ? x x ? U 且 x ? A?

方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.

★重、难点突破
重点:集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点:正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化,准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点: 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性,要特别注意集合中元素的互异性, 在解题过程中最易被忽视,因此要对结果进行检验; 2.集合的表示法 (1)列举法要注意元素的三个特性; (2)描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的 性质,如 ?x y ? f ( x )? 、 ?y y ? f ( x )? 、 ?( x , y ) y ? f ( x )? 等的差别,如果对集合中代表元 素认识不清,将导致求解错误:

? x2 y2 ? ? x y ? ? ? 1? , N ? ? y ? ? 1? , 则 M ? N= ( 问题:已知集合 M ? ? x 4 ? 3 2 ? ? 9 ?



A. ? ;B. ?(3,0 ), ( 0 , 2 )? ;C.

? ? 3, 3 ? ;D. ?3, 2?
x
2

[错解]误以为集合 M 表示椭圆

9

?

y

2

4

? 1 ,集合 N 表示直线

x 3

?

y 2

? 1 ,由于这

直线过椭圆的两个顶点,于是错选 B
[正解] C; 显然 M ? ?x ? 3 ? x ? 3? , N ? R ,故 M ? N ? [? 3,3]

(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法,在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常 用 Venn 图。
3.集合间的关系的几个重要结论 (1)空集是任何集合的子集,即 ? ? A (2)任何集合都是它本身的子集,即 A ? A (3)子集、真子集都有传递性,即若 A ? B , B ? C ,则 A ? C 4.集合的运算性质 (1) 交集: A ? B ? B ? A ; A ? A ? A ; A ? ? ? ? ; A ? B ? A ,A ? B ? B ① ② ③ ④ ⑤A? B ? A ? A? B; (2) 并集: A ? B ? B ? A ; A ? A ? A ; A ? ? ? A ; A ? B ? A ,A ? B ? B ① ② ③ ④ ⑤A? B ? A ? B ? A; (3)交、并、补集的关系 ① A ? CU A ? ? ; A ? CU A ? U ② C U ( A ? B ) ? (C U A ) ? (C U B ) ; C U ( A ? B ) ? (C U A ) ? (C U B )

★热点考点题型探析
考点一:集合的定义及其关系 题型 1:集合元素的基本特征 [例 1](2008 年江西理)定义集合运算: A ? B ? ? z | z ? xy , x ? A , y ? B ? .设
A ? ?1, 2? , B ? ? 0, 2? ,则集合 A ? B 的所有元素之和为(



A.0;B.2;C.3;D.6 [解题思路]根据 A ? B 的定义,让 x 在 A 中逐一取值,让 y 在 B 中逐一取值, xy 在值就是

A ? B 的元素

[解析]:正确解答本题,必需清楚集合 A ? B 中的元素,显然,根据题中定义的集合运算知
A ? B = ?0 , 2 , 4? ,故应选择 D

【名师指引】 这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平, 所以成为高考的一个热点, 这时要充分理解所定义的运算即可,但要特别注意集合元素的互异性。 例 2 已知 A ? {a ? 2, ( a ? 1) , a ? 3 a ? 3} ,若 1 ? A ,求实数 a 的值。
2 2

题型 2:集合间的基本关系 [例 2].数集 X ? ?( 2 n ? 1)? , n ? Z ? 与 Y ? ?( 4 k ? 1)? , k ? Z ? 之的关系是( )

A. X Y ;B. Y X ; C. X ? Y ;D. X ? Y [解题思路]可有两种思路:一是将 X 和 Y 的元素列举出来,然后进行判断;也可依选择支 之间的关系进行判断。 [解析] 从题意看,数集 X 与 Y 之间必然有关系,如果 A 成立,则 D 就成立,这不可能; 同样,B 也不能成立;而如果 D 成立,则 A、B 中必有一个成立,这也不可能,所以只能是 C 【名师指引】 新定义问题是高考的一个热点, 解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义, 逐个进行检验,不方便进行检验的,就设法举反例。 [新题导练] 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A={参加北京 奥运会比赛的运动员},集合 B={参加北京奥运会比赛的男运动员},集合 C={参加北京奥运 会比赛的女运动员},则下列关系正确的是( ) A. A ? B B. B ? C C. A ? B ? C D. B ? C ? A [解析] D;因为全集为 A ,而 B ? C =全集= A 2 . (2006 ? 山 东 改 编 ) 定 义 集 合 运 算 : A ? B ? z ? x y ? xy , x ? A, y ? B , 设 集 合
2 2

?

?

A ? ?1,0 ? , B ? ?2 ,3? ,则集合 A ? B 的所有元素之和为
[解析]18,根据 A ? B 的定义,得到 A ? B ? ?0 ,6 ,12 ?,故 A ? B 的所有元素之和为 18 3.(2007· 湖北改编)设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? ?x | x ? P , 且 x ? Q ? ,如果
P ? ?x log 3 x ? 1?, Q ? ?x x ? 1? ,那么 P ? Q 等于

[解析]

?x 1 ? x ? 3? ;因为 P ? ?x log

3

x ? 1? ? ( 0 ,3) , Q ? ?x x ? 1? ? ( ? 1,1) ,所以

P ? Q ? (1,3)

4.研究集合 A ? ?x y ? x ? 4?, B ? ?y y ? x ? 4? , C ? ?( x , y ) y ? x ? 4?之间的关系
2 2 2

[解析] A 与 C , B 与 C 都无包含关系,而 B

A ;因为 A ? x y ? x ? 4 表示
2 2

?

?

2 2 y ? x ? 4 的定义域,故 A ? R ; B ? y y ? x ? 4 表示函数 y ? x ? 4 的值域,

?

?

可见,B B ? [ ? 4 , ?? ) ;C ? ( x , y ) y ? x ? 4 表示曲线 y ? x ? 4 上的点集,
2
2

?

?

A, A 而

与 C , B 与 C 都无包含关系

考点二:集合的基本运算 [例 3] 设集合 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , B ? x x ? 2 ( a ? 1) x ? ( a ? 5 ) ? 0
2 2 2

?

?

?

?

(1) 若 A ? B ? ?2? ,求实数 a 的值; (2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围 [解题思路]对于含参数的集合的运算, 首先解出不含参数的集合, 然后根据已知条件求参数。 [解析]因为 A ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 ? ?1, 2? ,
2

?

?

(1)由 A ? B ? ?2? 知, 2 ? B ,从而得 2 ? 4 ( a ? 1) ? ( a ? 5 ) ? 0 ,即
2 2

a ? 4 a ? 3 ? 0 ,解得 a ? ? 1 或 a ? ? 3
2

当 a ? ? 1 时, B ? x x ? 4 ? 0 ? ?2 , ? 2 ? ,满足条件;
2

?

?

当 a ? ? 3 时, B ? x x ? 4 x ? 4 ? 0 ? ?2? ,满足条件
2

?

?

所以 a ? ? 1 或 a ? ? 3 (2)对于集合 B ,由 ? ? 4 ( a ? 1) ? 4 ( a ? 5 ) ? 8 ( a ? 3)
2 2

因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ①当 ? ? 0 ,即 a ? ? 3 时, B ? ? ,满足条件; ②当 ? ? 0 ,即 a ? ? 3 时, B ? ?2? ,满足条件;

1 ③当 ? ? 0 ,即 a ? ? 3 时, B ? A ? ? , 2? 才能满足条件,
5 ? ?1 ? 2 ? ? 2 ( a ? 1) ?a ? ? ? ? 由根与系数的关系得 ? 2 ,矛盾 2 2 ?1 ? 2 ? a ? 5 ?a ? 7 ?

故实数 a 的取值范围是 a ? ? 3 【名师指引】对于比较抽象的集合,在探究它们的关系时,要先对它们进行化简。同时,要 注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6.若集合 S ? y y ? 3 , x ? R , T ? y y ? x ? 1, x ? R ,则 S ? T 是(
x 2

?

?

?

?



A. S ;B. T ;C. ? ;D. 有限集
x [解析] A;由题意知,集合 S ? y y ? 3 , x ? R 表示函数 y ? 3 , x ? R 的值域,故

?

x

?

2 集合 S ? ( 0 , ?? ) ; T ? y y ? x ? 1, x ? R 表示函数 y ? x ? 1, x ? R 的值域,

?

2

?

T ? [ ? 1, ?? ) ,故 S ? T ? S

7.已知集合 M ? ?( x , y ) x ? y ? 2? , N ? ?( x , y ) x ? y ? 4? ,那么集合 M ? N 为( A. x ? 3, y ? ? 1 ;B. ( 3, ? 1) ;C. ?3, ? 1? ;D. ?( 3, ? 1)?



[解析]D; M ? N 表示直线 x ? y ? 2 与直线 x ? y ? 4 的交点组成的集合,A、B、C 均不 合题意。 8.集合 A ? { x | ax ? 1 ? 0} , B ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0? ,且 A ? B ? B ,求实数 a 的值. [解析] 0,1,
1 2

;先化简 B 得, B ? ?1, 2? .由于 A ? B ? B ? A ? B ,故 1 ? A 或 2 ? A .
1

因此 a ? 1 ? 0 或 2 a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ?

. 2 容易漏掉的一种情况是: A ? ? 的情形,此时 a ? 0 . 1 故所求实数 a 的值为 0,1, . 2 备选例题 1:已知 M ? ?y y ? x ? 1? , N ? ( x , y ) x ? y ? 1 ,则 M ? N 中的元素个数
2 2

?

?

是( ) A. 0 ;B. 1 ;C. 2 ;D.无穷多个 [解析]选 A;集合 M 表示函数 y ? x ? 1 的值域,是数集,并且 M ? R ,而集合 N 表示满足
x ? y ? 1 的有序实数对的集合,即表示圆 x ? y ? 1 上的点,是点集。所以,集合 M 与集
2 2 2 2

合 N 中的元素均不相同,因而 M ? N ? ? ,故其中元素的个数为 0 [误区分析]在解答过程中易出现直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1 有两个交点误选 C;或者误
2 2

认为 y ? x ? 1 中 y ? R ,而 x ? y ? 1 中 ? 1 ? y ? 1 ,从而 M ? N ? [? 1,1] 有无穷多个解
2 2

而选 D。注意,明确集合中元素的属性(是点集还是数集)是准确进行有关集合运算的前提 和关键。 备选例题 2:已知集合 A 和集合 B 各有 12 个元素, A ? B 含有 4 个元素,试求同时满足下 面两个条件的集合 C 的个数: (Ⅰ) C A ? B ,且 C 中含有 3 个元素; (Ⅱ) C ? A ? ? ( ? 表示空集) [解法一]因为 A 、 B 各有 12 个元素, A ? B 含有 4 个元素, 因此, A ? B 的元素个数是 12 ? 12 ? 4 ? 20 故满足条件(Ⅰ)的集合 C 的个数是 C 20 上面集合中,还满足 C ? A ? ? 的集合 C 的个数是 C 8
3 3 因此,所求集合 C 的个数是 C 20 ? C 8 ? 1084
3

3

[解法二]由题目条件可知,属于 B 而不属于 A 的元素个数是 12 ? 4 ? 8 1 2 因此,在 A ? B 中只含有 A 中 1 个元素的所要求的集合 C 的个数为 C 12 C 8

2 1 含有 A 中 2 个元素的所要求的集合 C 的个数为 C 12 C 8

含有 A 中 3 个元素的所要求的集合 C 的个数为 C 12
1 2 1 3 所以,所求集合 C 的个数是 C 12 C 82 ? C 12 C 8 ? C 12 ? 1084

3

★抢分频道
基础巩固训练: 1. (09 年吴川市川西中学 09 届第四次月考)设全集
U ? R , A ? ? x x ( x ? 3) ? 0? , B ? ? x x ? ? 1? , 则右图中阴

U

A

B

影部分表示的集合为 (

)

A. ? x x ? 0? ;B. ? x ? 3 ? x ? 0? ;C. ? x ? 3 ? x ? ? 1? ;D. ? x x ? ? 1? [解析]C;图中阴影部分表示的集合是 A ? B ,而 A ? ?x ? 3 ? x ? 0? ,故
A ? B ? ?x ? 3 ? x ? ? 1?

2. (韶关 09 届高三摸底考)已知 A ? ? x x (1 ? x ) ? 0? , B ? ? x log 2 x ? 0? 则 A ? B = A. (0,1) ;B. (0, 2) ;C. (?? , 0 ) ;D. ( ?? , 0) ? (0, ? ? ? [解析] A;因为 A ? ?x 0 ? x ? 1? , B ? ?x 0 ? x ? 1? ,所以 A ? B ? ?x 0 ? x ? 1? 3. (苏州 09 届高三调研考)集合 { ? 1, 0,1} 的所有子集个数为
3 [解析]8;集合 { ? 1, 0,1} 的所有子集个数为 2 ? 8

4. 09 年无锡市高三第一次月考) ( 集合 A 中的代表元素设为 x , 集合 B 中的代表元素设为 y , 若 ? x ? B 且 ? y ? A ,则 A 与 B 的关系是 [解析] B ? A 或 A ? B ? ? ;由子集和交集的定义即可得到结论 值范围是( ) A. ? 3 ? a ? ? 1 ;B. ? 3 ? a ? ? 1 C. a ? ? 3 或 a ? ? 1 ;D. a ? ? 3 或 a ? ? 1 5.(2008 年天津)设集合 S ? ?x | x ? 2 ? 3?, T ? ?x | a ? x ? a ? 8?, S ? T ? R ,则 a 的取

[解析]A; S ? ?x | x ? 2 ? 3? ? ?x x ? ? 1或 x ? 5? , T ? ?x | a ? x ? a ? 8? , S ? T ? R
?a ? ?1 所以 ? ,从而得 ? 3 ? a ? ? 1 ?a ? 8 ? 5 综合提高训练:

6. P ? ?m ? 1 ? m ? 0?, Q ? m ? R mx ? 4 mx ? 4 ? 0 对于任意实数 x 恒成立
2

?

?

则下列关系中立的是( ) A. P Q ; B. Q P ;C. P ? Q ;D. P ? Q ? ?
?m ? 0 [解析]A;当 m ? 0 时,有 ? ,即 2 ?? ? (4m ) ? 4 ? m ? (?4) ? 0

Q ? ?m ? R ? 1 ? m ? 0? ;当 m ? 0 时, mx 2 ? 4 mx ? 4 ? 0 也恒成立,故

Q ? ?m ? R ? 1 ? m ? 0? ,所以 P

Q

7.设 f ( n ) ? 2 n ? 1( n ? N ) , P ? ?1, 2 ,3, 4 ,5? , Q ? ?3, 4 ,5,6 ,7? ,记
? ? ? ? ? ? P ? ?n ? N f ( n ) ? P ? , Q ? n ? N ? f ( n ) ? Q ,则 ( P ? C N Q ) ? ( Q ? C N P ) =(

?

?

)

1 A. ?0 ,3? ; B. ?1, 2 ? ; C. ?3, 4 ,5? ; D. ? , 2 ,6 ,7?
? ? ? ? [解析] A;依题意得 P ? ?0 ,1, 2? , Q ? ?1, 2 ,3? ,所以 ( P ? C N Q ) ? ?0? , ? ? ( Q ? C N P ) ? ?3?,故应选 A

8. (09 届惠州第一次调研考)设 A、B 是非空集合,定义
A ? B ? { x x ? A ? B 且 x ? A ? B } ,已知 A= { x | y ?
2 x ? x } ,B= { y | y ? 2 , x ? 0} ,
2
x

则 A×B 等于(



A. ? 0, ?? ? ;B. ? 0,1? ? ? 2, ?? ? ;C. ? 0,1? ? ? 2, ?? ? ;D. ? 0,1? ? (2, ?? ) [解析]D; 2 x ? x 2 ? 0 ? 0 ? x ? 2 ,∴A=[0,2], x ? 0 ? 2 x ? 1 ,∴B=(1,+∞) , ∴A∪B=[0, +∞) ,A∩B=(1,2],则 A×B= ? 0,1? ? (2, ?? )
b ? b ? 9. 设 a , b ? R ,集合 ?1, a ? b , a ? ? ? 0 , , b ? , 则 的值是 a ? a ?



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