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选修2-2《导数及其应用》


定积分的概念(一)
引入
回顾圆的 面积知识

以直代曲的 思想求圆的 面积

以直代曲的思 想求曲边图形 的面积

思考 3

本课小结

作业:课本 P

定积分的概念(一)
许多函数(例如 y ? x 2 , y ? x 等

)的图象都在某 一区间 I 上的图像是一条连续不断的曲线. 一般地,如果函数 y ? f ( x ) 在某一区间 I 上的图 像是一条连续不断的曲线,那么就把函数 y ? f ( x ) 称 为区间 I 上的连续函数. (不加说明,下面研究的都是 连续函数)

y
f (b) y=f (x)

曲边梯形的 面积怎么求?

f (a)

o

a

b

x

这就是定积分所 要解决的问题.

你知道圆的面积公式怎么来的吗?
魏晋时期的数学家刘徽, 在我国最早 创立了割圆术来把握圆的面积. 割圆术 D 就是用圆内接正多边形来近似代替圆.刘 B 徽认为,当圆内接正多边形数无限增加 O 时,其周长即愈益逼近圆周长。他在《九 章算术·方田章》的注文中指出: “割之 弥细,所失弥小.割之又割,以至于不可 割,则与圆合体而无所失矣.” 刘徽根据割圆术,从圆内接正六边形计算,边数逐步加倍,相继 算出正 12 边形、正 24 边形等,则圆内接正多边形逐渐逼近圆,从而 验证得圆面积的计算公式并求出较精确的圆周率值。求出了π=3、 14124 的数值。不仅如此,他还继续计算,直到算出圆内接正 3072 边 形的面积,求出更精确的圆周率值π=3.1416. 正是基于对刘徽割圆术的继承与发展,祖冲之得到当时一非凡的 成果:得到 ? ? 3.1415926 的数值.约率为 22/7;密率为 355/113.

A

问题解决的思想: 分割→近似代替→求和→取极限
A

D
B

O

一般地,曲边图形的面积问题解决的思想: 分割→近似代替→求和→取极限 y = f(x)
y

A1 O a

Ai

An b x

将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩阵形的 面积代替小曲边梯形的面积, 于是曲边梯形的面积A近 似为 A? A + A + ? ? ? + A
1 2 n

—— 以直代曲,无限逼近

问题解决的思想:分割→近似代替→求和→取极限 例1.求抛物线 y=x2、直线 x=1 和 x 轴所围成的曲边图形的面积S.
解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:

y

因此, 我们有理由相信, 这 个曲边三角形的面积为:

n i ?1 i ?1 2 1 S n ? ? ?S ? ? f ( )? x ? ? ( ) n n n i ?1 i ?1 i ?1 n n ' i 2 2 2

S ? lim S n ?
n ??

y? x

2

1? 1 ?? 1? lim ? 1 ? ? ? 2 ? ? n ?? 6 n ?? n? ? 1 ? . 3

O

1 2 n n

?

?

?

?

?

?

?

k n

?

?

?

?

?

n n

?

x

1 ?1? 1 ? 2? 1 ? n?1? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?n n ? n? n ? n? n ? n ? 1 2 2 ? 3 (1 ? 2 ? ? ? ( n ? 1)2 ) n 1 ( n ? 1)n(2n ? 1) ? 3? n 6 1 ? 1 ?? 1 ? ? ? 1 ? ?? 2 ? ? . 6 ? n ?? n ?

思想方法小结

小结:求由连续曲线y?f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(2)近似代替

(1)分割

(3)求和 (4)取极限

把这些矩形面积相加 作为整个曲边形面积S

y

的近似值。 有理由相信,分 点越来越密时,即分 割越来越细时,矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。

o

x

练习: 求直线 x ? 2, y ? 0 与曲线 y ? x 2 所围成的曲边梯形的面积.

1答案

2答案

选做作业: 思维挑战:

答案


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