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点和直线的有关对称问题


点和直线的有关对称问题 摘要: 对称问题是中学数学的一个重要知识点, 也是近几年高考中的热点,主要有点、 直线、 曲线关 于点和直线对称两种。中点坐标公式或两条直线垂 直的条件是解决对称问题的重要工具。解析几何中 的中心对称和轴对称问题最终都可以归结为关于 点的对称问题加以解决。 关键词:点;直线;中心对称;轴对称 对称思想是近几年高考中的热点,它主要分为 中心对称和轴对称两种,解对称问题要把握对称的 实质,掌握其解题方法,提高解题的准确性和解题的 速度,它主要有以下几种情况: (一)中心对称 ⒈ 点关于点对称 ⒉ 直线关于点对称 例 1:求直线 x+y-2=0 关于点 P(a,b)对称的直 线方程. 分析一:在已知直线上 z 任取两点 A、 B,再分别 求出 A、B 关于 P 点的对称点 A′、B′,然后由两点 式可得所求直线方程. 解:在直线 x+y-2=0 上取两点 A(0,2)、B(1,1), 则它们关于 P(a,b)对称的点分别为 A′(2a,2b-2)、 B(2a-1,2b-1),由两点式得所求直线为:

分析二:中心对称的两条直线是互相平行的,并 且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为 x+y+λ=0,则 点评:方法三为相关点法,是求曲线方程的一种 常用方法,可进一步推广:曲线 C:f(x,y)=0 关于点 P(a,b)对称的曲线 C′的方程为 f(2a-x,2b-y)=0.特别 的, 曲线 f(x,y)=0 关于原点对称的曲线方程为 : f(-x,-y)=0. (二)轴对称 ⒈ 点关于直线对称 例 2:M(-1,3)关于直线:x+y-1=0 的对称点 M′的 坐标. 解二:过点 M(-1,3)与直线 l 垂直的直线的斜率 k=1,则直线方程为 x-y+4=0. 设 M 关于直线 l 的对称点为 M′,则 E 为线段 MM′的中点,由中点坐标公式知:M′的坐标为(-2,2) 解三:设 M′(a,b), 线段 MM′的垂直平分线上的 任意一点为 A(x,y). ∵MA=M′A , ∴(x+1)2+(y-3)2=(x-a)2+(y-b)2 这就是已知直线 l 的方程 故点 M′的坐标为(-2,2) ⒉ 直线关于直线对称 例 3: ⑴ 求 直 线 a:2x+y-4=0 关 于 直 线

l :3x+4y-1=0 对称的直线 b 的方程. ⑵求直线 l1:2x-y+3=0 关于直线 l :2x-y+4=0 对 称的直线 l2 的方程. 分析:由平面几何知识知,若 a、b 关于直线 l 对称,则应具有以下性质:①当 a、b 相交时,则对称 轴是 a、b 交角的平分线(且通过交点); 当 a、b 平 行时,则 a、b 与对称轴的距离相等. ②若点 A 在直 线 a 上,则点 A 关于直线 l 的对称点 B 一定在直线 b 上,并且 AB⊥l ;AB 的中点在 l 上. ⑴解一:由 2x+y-4=03x+4y-1=0 得 a 与 l 的交点E为(3, 2) 则 E(3,-2)一定在 b 上,设 b 的斜率为 k,于是 (三)特殊的对称关系 点(a,b)关于 x 轴的对称点为(a,-b); 点(a,b)关于 y 轴的对称点为(-a,b); 点(a,b)关于 原点的对称点为(-a,-b);点(a,b)关于直线 y=x 的对 称点为(b,a);点(a,b)关于直线 y=x+m 的对称点为 (b-m,a+m);点(a,b)关于直线 y=-x+m 的对称点为 (m-b,m-a).


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