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第一章1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教案教师版


1.1.6

棱柱、棱锥、棱台和球的表面积

【学习要求】 1.理解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积的概念,了解它们的侧面展开图. 2.掌握直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积公式,并会求它们的表面积. 3.掌握球的表面积公式并会求球的表面积. 【学法指导】 通过经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,理解几何体的表面积的推导过程,学会其表面积公式推导的 思想方法,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的信心. 填一填:知识要点、记下疑难点 1.直棱柱的侧面积公式 S= ch ,其中 c 为底面多边形的周长,h 为棱柱的高,用语言可叙述为直棱柱的侧面积 等于它的 底面周长和高的乘积 . 1 1 2. 正棱锥的侧面积公式 S= nah′ = ch′ , 其中底面边长为 a, c 为底面多边形的周长, h′为棱锥的斜高, 2 2 用语言可叙述为正棱锥的侧面积等于它的 底面周长和斜高乘积的一半 . 3.设棱台下底面边长为 a、周长为 c,上底面边长为 a′、周长为 c′,斜高为 h′,可以得出正 n 棱台的侧面积公式: S 正棱台侧面积= 1 n(a+a′)h′ 2 = 1 (c+c′)h′ 2 .

4.设球的半径为 R,那么它的表面积为 S 球= 4πR2 ,即球面面积等于它的大圆面积的四倍. 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 已知 ABB1A1 是圆柱的轴截面,AA1=a,AB=b,P 是 BB1 的中点;一小虫沿圆柱的侧面从 A1 爬到 P,如何求小 虫爬过的最短路程?要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开, 本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的 表面积. 探究点一 直棱柱和正棱锥的表面积 问题 1 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道正方 体和长方体的展开图与其表面积的关系吗? 答:正方体、长方体是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面面积 的总和,也就是展开图的面积. 问题 2 下图是直六棱柱的展开图, 你能根据展开图, 归纳出直棱柱的侧面面积公式吗? 答:S 直棱柱侧面积=ch.即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积. 问题 3 下图是正四棱锥的展开图,设底面周长为 c,你能根据展开图,归纳出正 n 棱 锥的侧面面积公式吗? 1 1 答: S 正棱锥侧面积= nah′= ch′, 即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半. 2 2 问题 4 如何求多面体的表面积? 答:一般地,我们可以把多面体展成平面图形,求出展开图中各个小多边形的面积, 然后相加即为多面体的表面积. 例 1 已知正四棱锥底面正方形的边长为 4 cm,高与斜高的夹角为 35° (如图),求正四 棱锥的侧面积及表面积(单位:cm2,sin 35°≈0.574,精确到 0.01). 解: 正棱锥的高 PO,斜高 PE 和底面边心距 OE 组成直角△POE. 因为 OE=2 cm, OE 2 ∠OPE=35° ,所以斜高 PE= ≈ ≈3.48(cm). sin 35° 0.574 1 1 因此 S 棱锥侧= ch′= × 4× 4× 3.48=27.84 (cm2).S 棱锥表=27.84+16=43.84(cm2). 2 2 小结:多面体一般没有侧面积的计算公式,侧面积为各侧面多边形面积之和,多面体的表面积为多面体的侧面积与 多面体的底面积之和. 跟踪训练 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S -ABC,求它的表面积. 解: 先求△SBC 的面积, 过点 S 作 SD⊥BC, 交 BC 于点 D. 因为 BC=a, SD= SB2-BD2 a?2 3 1 1 3 3 = a2-? SD = a× a= a2. 因此,四面体的表面积 S= ?2? = 2 a.所以 S△SBC=2BC· 2 2 4 3 4× a2= 3a2 4 探究点二 正棱台的表面积 问题 1 什么是正棱台? 答:由正棱锥截得的棱台.
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问题 2 正棱台的侧面展开图是怎样的图形? 答:正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形. 问题 3 下图是正四棱台的展开图,设下底面周长为 c,上底面周长为 c′,你能根 据展开图,归纳出正 n 棱台的侧面面积公式吗? 1 1 答:S 正棱台侧面积= n(a+a′)h′= (c+c′)h′. 2 2 问题 4 正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外,你还有其它方法吗? 答:可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出. 问题 5 棱台的表面积或全面积如何求? 答:棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和. 探究点三 圆柱、圆锥、球的表面积 问题 1 如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积? 答:图柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线), 设圆 柱的底面半径为 r,母线长为 l, 则有:S 圆柱侧=2πrl,S 圆柱表=2πr(r+l),其中 r 为圆柱底面半径,l 为母线长. 问题 2 如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积? 答:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长, r 侧面展开图扇形中心角为 θ= × 360° , S 圆锥侧=πrl, S 圆锥表=πr(r+l), l 其中 r 为圆锥底面半径,l 为母线长. 问题 3 如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积? 答:圆台的侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长, R -r 侧面展开图扇环中心角为 θ= × 360° ,S 圆台侧=π(r+R)l,S 圆台表=π(r2+rl+Rl+R2). l 问题 4 如何求球的表面积? 答:由于球面不能展平成平面,所以球的表面积要用其它方法求(具体算法在选修 2-2 中的微积分内容),这里给出半径为 R 的球的表面积公式,公式为:S 球=4πR2.即球面 面积等于它的大圆面积的四倍. 例 2 如图所示是一个容器的盖子,它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的,球的 半径为 R.正四棱台的两底面边长分别为 3R 和 2.5R,斜高为 0.6R: (1)求这个容器盖子的表面积(用 R 表示,焊接处对面积的影响忽略不计); (2)若 R=2 cm, 为盖子涂色时所用的涂料每 0.4 kg 可以涂 1 m2, 计算为 100 个这样的 盖子涂色约需涂料多少千克(精确到 0.1 kg) 1 解;(1)因为 S 正四棱台=4× × (2.5R+3R)× 0.6R+(2.5R)2+(3R)2 2 1 = (4× 2.5+4× 3)× 0.6R2+6.25R2+9R2=21.85R2, S 球=4πR2. 因此,这个盖子的表面 2 积为 S 表=(21.85+4π)R2. (2)取 R=2,π=3.14,得 S 表=137.64 (cm2). 又(137.64×100)÷10 000×0.4≈0.6(kg). 因此,涂 100 个这样的盖子共需涂料约 0.6 kg. 小结:求棱台的侧面积时经常用到正棱台中的直角梯形,它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几 何图形元素之间关系的桥梁. 跟踪训练 2 一圆台形花盆,盆口直径 20 cm,盆底直径 15 cm,底部渗水圆孔直径 1.5 cm,盆壁长 15 cm.为美化外 表而涂油漆,若每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆要多少油漆?(π 取 3.14,结果精确到 1 毫升) 15?2 15 20 解:如图,由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积 S=π×[? ? 2 ? + 2 ×15+ 2 1.5? 2 2 2 × 15] - π× ? ? 2 ? ≈1 000(cm ) = 0.1(m ) .涂 100 个这样的花盆需要油漆的量为: 0.1× 100× 100=1 000(毫升). 答:涂 100 个这样的花盆需油漆 1 000 毫升. 练一练:当堂检测、目标达成落实处 1.用长为 4,宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为 ( ) 8 4 2 A.8 B. C. D. π π π 4 解析:围成圆柱有两种方式,一种是以 2 为圆柱的母线,圆柱底面圆的周长为 4,所以圆半径为 , 2π 4 8 2 圆柱轴截面面积为 2× 2× = ,另一种是以 4 为圆柱的母线,圆柱底面圆的周长为 2,所以圆半径为 ,圆柱轴截 2π π 2π
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2 8 面面积为 2× 4× = .两种方式得到的圆柱的轴截面面积相等.答案 B 2π π 2.一个直棱柱的底面是菱形,棱柱的对角线长分别是 9 cm 和 15 cm,高是 5 cm,则这个直棱柱的侧面积是( ) A.160 cm2 B.320 cm2 C.40 89 cm2 D.80 89 cm2 解析: 由题意知菱形的对角线分别为 92-52= 56, 152-52=10 2. 设菱形的边长为 a,则有 4a2=56+200, 所以 a=8.因此,直棱柱的侧面积为 4a× 5=4× 8× 5=160 cm2. 3.已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为 1∶2,则它们的高之比为 __2 2∶ 5_______. 2π 4π 解析: 设圆锥的母线长为 b,则两圆锥底面圆的周长分别为 b, b, 3 3 b 2b 所以两圆锥底面圆的半径分别为: , . 3 3 b?2 2 2 5 2 ?2b?2 所以两圆锥的高分别为 b2-? ?3? = 3 b, b -? 3 ? = 3 b,因此高之比为 2 2∶ 5. 课堂小结: 1.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及圆柱、圆锥、圆台的侧面积都等于它们的侧面展开图的面积. 2.多面体的表面积等于它的侧面积加底面积. 3.圆柱、圆锥、圆台及球的表面积公式分别为:

S 圆柱表=2πr(r+l); S 圆锥表=πr(r+l); S 圆台表=π(r2+rl+Rl+R2); S 球=4πR2.

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