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2012年高三数学一轮复习资料第四章


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第2讲

解三角形应用举例

★ 知 识 梳理 ★ 1.已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b. 2.已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边所对的 角,然后利用 A+B+C = π,求另一角. 3.已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由 正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况. 4.已知三边 a、b、c,应用余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π,求角 C. 5.方向角一般是指以观测者的位置为中心,将正北或正南方向作为起始方向旋转到目 标的方向线所成的角(一般指锐角) ,通常表达成.正北或正南,北偏东××度, 北偏西× ×度,南偏东××度,南偏西××度. 6.俯角和仰角的概念:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上 方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角.如图中 OD、OE 是视线, ∠DOC 是仰角,

∠EOC 是俯角.

7.关于三角形面积问题

1 1 1 S ?ABC 2 ① = aha= 2 bhb= 2 chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 1 1 1 S ② ?ABC = 2 absinC= 2 bcsinA= 2 acsinB;


S ?ABC

=2R2sinAsinBsinC.(R 为外接圆半径)

abc S ?ABC = 4 R ; ④

1 ? ? ? s = (a + b + c) ? S ?ABC s ( s ? a)( s ? b)( s ? c) , ? 2 ?; ⑤ =


S ?ABC

= r · s ,( r 为△ABC 内切圆的半径)

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式,结合几何性质建模解决生活中的应用问
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题 2.难点:实际问题向数学问题转化思路的确定 3.重难点:熟练掌握解斜三角形的方法.,熟悉实际问题向数学问题的转化的方法; (1)解三角函数应用题要通过审题领会其中的数的本质,将问题中的边角关系与三角形联 系起来, 确定以什么样的三角形为模型, 需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的 解题思路,然后寻求变量之间的关系,也即抽象出数学问题, 问题 1. 如图,为了计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取

A 和 D 两个测量点,现测得 AD ⊥ CD , AD = 10 km , AB = 14 km , ∠BDA = 60 ,
°

∠BCD = 135° ,求两景点 B 与 C 的距离(假设 A, B, C , D 在同一平面内,测量结果保留整
数;参考数据: 2 = 1.414,

3 = 1.732,

5 = 2.236 )

解:在△ABD 中,设 BD=x,
2 2 2 则 BA = BD + AD ? 2 BD ? AD ? cos ∠BDA , 2 2 2 o 2 即 14 = x + 10 ? 2 ? 10 x ? cos 60 整理得: x ? 10 x ? 96 = 0

解之: x1 = 16 , x 2 = ?6 (舍去) ,

BC BD = 由正弦定理,得: sin ∠CDB sin ∠BCD , BC = 16 ? sin 30 o = 8 2 sin 135 o ≈11(km).



答:两景点 B 与 C 的距离约为 11.km.

(2)解三角函数应用题要要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言等方式来思考 解决问题;再次,讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质,从而得到的是数学参数值; 最后,按题目要求作出相应的部分问题的结论.

问题 2. 用同样高度的两个测角仪 AB 和 CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上空, 分别 测得气球的仰角是 α 和 β,已知 B、D 间的距离为 a,测角仪的高度是 b,求气球的高度. 分析:在 Rt△EGA 中求解 EG,只有角 α 一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC 中有
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较多已知条件,故可在△EAC 中考虑 EA 边长的求解,而在△EAC 中有角 β,∠EAC=180°-α 两角与 BD=a 一边,故可以利用正弦定理求解 EA. 解:在△ACE 中,AC=BD=a,∠ACE=β,∠AEC=α-β, a sinβ 根据正弦定理,得 AE= sin(α-β) a sinαsinβ 在 Rt△AEG 中,EG=AEsinα= sin(α-β) a sinαsinβ ∴EF=EG+b= +b, sin(α-β) a sinαsinβ 答:气球的高度是 +b. sin(α-β) ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点 1:测量问题 题型:运用正、余弦定理解决测量问题 [例 1] (2007·山东) 如图 4-4-12,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固 定方向匀速直线航行,当甲船位于

A1

处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的

o

B1

处,此时

两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达

A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120o 方向的

B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?
【解题思路】 解决测量问题的过程先要正确作出图形, 把实际问题中的条件和所求转换成三 角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用 S = vt 求出边长,再进行进一步分析. [解析]如图,连结

A1 B1

,由已知

A2 B2 = 10 2 ,


20 A1 A2 = 30 2 × = 10 2 60 ,

120o A 2
B2 B1

∴ A1 A2 = A2 B1 ,


105o

A1

∠A1 A2 B2 = 180 ? 120 = 60
o o

o







∴△ A1 A2 B2

是等边三角形,

图 4-4-12

∴ A1 B2 = A1 A2 = 10 2 ,
由已知, 在

A1 B1 = 20



∠B1 A1 B2 = 105o ? 60o = 45o ,

△ A1 B2 B1 中,由余弦定理, B1 B22 = A1 B12 + A1 B22 ? 2 A1 B2 A1 B2 cos 45o

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= 20 2 + (10 2) 2 ? 2 × 20 × 10 2 × 2 2 = 200 .∴ B1 B2 = 10 2 .

10 2 × 60 = 30 2 因此,乙船的速度的大小为 20 (海里/小时) .
答:乙船每小时航行 30 2 海里. 【名师指引】解三角形时,通常会遇到两种情况:①已知量与未知量全部集中在一个三角形 中,此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这时 需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解. 【新题导练】 1.甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B 处,乙船以每小时 10 海里的速度 向正北方向行驶,而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向南偏西 60o 方向行驶,问经 过多少小时后,甲、乙两船相距最近? A 解析: 、解: 设经过x小时后,甲船和乙船分别到达C , D两点

则AC = 8 x, AD = AB ? BD = 20 ? 10 x

∴ CD 2 = AC 2 + AD 2 ? 2 AC ? AD ? cos 60° 1 = (8 x ) + (20 ? 10 x ) ? 2 ? 8 x ? ( 20 ? 10 x ) ? 2 70 4800 = 244 x 2 ? 560 x + 400 = 244( x ? ) 2 + 61 61 2 Q 当CD 取得最小值时, CD取得最小值. 70 ∴当x = 时, CD取得最小值, 61
2 2

B A C D

B 此时,甲、乙两船相距最近 2.在奥运会垒球比赛前,C 国教练布置战术时,要求击球手以与连结本垒及游击手的直线 成 15°的方向把球击出,根据经验及测速仪的显示,通常情况下球速为游击手最大跑速的 4 倍,问按这样的布置,游击手能不能接着球?(如图所示)

解: 设游击手能接着球,接球点为 B,而游击手从点 A 跑出,本垒为 O 点(如图所示).
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AB ≤ v ?t 4 。

设从击出球到接着球的时间为 t,球速为 v,则∠AOB=15°,OB=vt,

OB AB = o 在△AOB 中,由正弦定理,得 sin ∠OAB sin15 ,

??

sin ∠OAB =
2

OB vt 6? 2 sin15o ≥ ? = 6? 2 AB vt / 4 4

而 ( 6 ? 2) = 8 ? 4 3 > 8 ? 4 × 1.74 > 1 ,即 sin∠OAB>1, ∴这样的∠OAB 不存在,因此,游击手不能接着球. 考点 2 运用正、余弦定理解决与几何计算有关的实际问题 题型:利用解三角形知识研究几何图形的性质 [例 2] (08 上海高考)如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出入口设置在 点 A 及点 C 处,小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为 120 .已知某人从
o

C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分
钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精确到 1 米) .

【解题思路】转化条件,分析图形建模. 【解法一】设该扇形的半径为 r 米. 由题意,得 CD=500(米) ,DA=300(米) ,∠CDO= 60 ……………………………4 分
2 2 0 2 在 ?CDO 中, CD + OD ? 2 ? CD ? OD ? cos 60 = OC , ……………6 分
0



5002 + ( r ? 300 ) ? 2 × 500 × ( r ? 300 ) ×
2

1 = r2, 2 …………………….9 分

解得

r=

4900 ≈ 445 11 (米). …………………………………………….13 分

【解法二】连接 AC,作 OH⊥AC,交 AC 于 H…………………..2 分 由题意,得 CD=500(米) ,AD=300(米) ∠CDA = 120 ………….4 分 ,
0

在?ACD中, AC 2 = CD 2 + AD 2 ? 2 ? CD ? AD ? cos1200 = 5002 + 3002 + 2 × 500 × 300 ×
∴ AC=700(米) …………………………..6 分

C H A
120 0

1 = 700 2 , 2

O

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cos ∠CAD = AC 2 + AD 2 ? CD 2 11 = . 2 ? AC ? AD 14 ………….…….9 分
11 , 14

在直角

?HAO中, AH = 350 (米)cos ∠HA0 = ,



OA =

AH 4900 = ≈ 445 cos ∠HAO 11 (米). ………………………13 分

【名师指引】解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解; (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解. 【新题导练】 1.如图, 货轮在海上以 35 公里/小时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为 152o 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122o.半小 时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32o.求此时货轮与灯塔之间的距离. 北 B
152
o

122

o


32
o

A

C 2. (汕头市金山中学 2009 届高三数学期中考试)为了立一块广告牌,要制造一个三角形的 支架 http://wx.jtyjy.com/
0 三角形支架形状如图, 要求 ∠ACB = 60 , 的长度大于 1 米, BC

且 AC 比 AB 长 0.5 米 http://wx.jtyjy.com/ 为了广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求 A AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少米?

C 解:如图,设 BC 的长度为 x 米,AC 的长度为 y 米,则 AB 的长度 为(y-0.5)米 http://wx.jtyjy.com/ 在△ABC 中,依余弦定理得: A

B

AB 2 = AC 2 + BC 2 ? 2 AC ? BC cos ∠ACB
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C

B

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( y ? 0.5) 2 = y 2 + x 2 ? 2 yx × 1 4 1 2



化简,得

y ( x ? 1) = x 2 ?

∵ x > 1 ,∴ x ? 1 > 0

1 4 y= x ?1 因此 x2 ?
1 4 = ( x ? 1) + 3 + 2 ≥ 3 + 2 y= x ?1 4( x ? 1) 方法一: http://wx.jtyjy.com/ x2 ?

x ?1 =
当且仅当

3 3 4( x ? 1) 时, “=” 即 x = 1 + 2 时, 有最小值 2 + 3 http://wx.jtyjy.com/ 取 号, y

★ 抢 分 频 道 ★ 基础巩固训练 1. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动, 离 台风中心 30 千米内的地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千 米处,B 城市处于危险区内的时间为( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小 时 解析:设 A 地东北方向上点 P 到 B 的距离为 30 千米,AP=x,在 △ABP 中 PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cosA, 即 302=x2+402-2x·40cos450 化简得 x ? 40 2 x + 700 = 0
2

北 D C 西
450 30 km

A

40 km

B





|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,即 CD=20



t=

CD 20 = =1 v 20 ]

2.在 ?ABC 中, A : B = 1: 2 , C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3 : 2 两部分,则 cos A = ( )

1 A 3
解 析 : ∵

1 B 2

3 C 4

D 0

C 的 平 分 线 CD 把 三 角 形 面 积 分 成 3: 2 两 部 分 , ∴

BC AC AC 2 3 = = , = , AC : BC = 3 : 2 , sin A sin B sin 2 A ∴ sin A 2sin A cos B ∴
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cos A = 3 4]

3.如图,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的斜度为 15°, 向山顶前进 100m 后,又从点 B 测得斜度为 45°,假设建筑物高 50m,设山对于地平面的斜 度θ,则 cosθ= .

[解析] 在△ABC 中,AB = 100m , ∠CAB = 15°, ∠ACB = 45°?15° = 30°

100 BC = o sin 15 o 由正弦定理: sin 30
∴BC = 200sin15° 在△DBC 中,CD = 50m , ∠CBD = 45°, ∠CDB = 90° + θ

50 200 sin 15 o = sin 45 o sin(90 o + θ ) ?cosθ = 3 ? 1 . 由正弦定理:

4.如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯光射 到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比,角和这一点到光源的距离 r 的平方成反

sinθ 2 比,即 I=k· r ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么电灯
悬挂的高度 h= 解 http://wx.jtyjy.com/ ,才能使桌子边缘处最亮. R=rcos θ , 由 此 得 http://wx.jtyjy.com/

h R

r θ

1 cos θ π = ,0 < θ < r R 2,

I =k?

sin θ sin θ ? cos 2 θ k =k? = 2 ? (sin θ ? cos 2 θ ) 2 2 r R R

k 2 k 2 ) ? 2 sin 2 θ ? (1 ? sin 2 θ )(1 ? sin 2 θ ) ≤ ( 2 ) 2 ? ( )3 2 R R 3 k 2 3 2 由此得I ≤ 2 ? 3, 等号在 sin θ = 时成立, 此时h = R tan θ = R R 9 3 2 2I 2 = (
5.(08 年韶关市二模) 某市电力部门在今年的抗雪救灾的某项重建工程中,需要在 A 、 B

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两地之间架设高压电线,因地理条件限制,不能直接测量 A、B 两地距离. 现测量人员在相
o 距 3 km 的 C 、 D 两地(假设 A 、 B 、 C 、 D 在同一平面上) ,测得∠ ACB = 75 ,

∠BCD = 45o , ∠ADC = 30o , ∠ADB = 45o (如图) ,假如考虑到电线的自然下垂和施工

4 损耗等原因,实际所须电线长度大约应该是 A 、 B 距离的 3 倍,问施工单位至少应该准备
多长的电线?
A B

75 °

45 °

45 ° 30 °

C

D
o

解:在 ?ACD 中,由已知可得, ∠CAD = 30 所以, AC =

3km ………
o

在 ?BCD 中,由已知可得, ∠CBD = 60

sin 75o = sin(45o + 30o ) = BC =

6+ 2 4

由正弦定理,

3 sin 75o 6+ 2 = o sin 60 2 6? 2 4
2 2 2

cos 75o = cos(45o + 30o ) =

在 ?ABC 中,由余弦定理 AB = AC + BC ? AC ? BC cos ∠BCA

= 3 +(

2

6+ 2 2 6+ 2 ) ?2 3? ? cos 75o = 5 2 2 4 5 施工单位应该准备电线长 3 .

所以, AB =

5

4 5 km . 答:施工单位应该准备电线长 3
综合拔高训练 6. 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船在 岛北 30°东,俯角为 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船 P 北
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B 金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com C 西 东 D A

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在岛北 60°西、俯角为 60°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此时船距岛 A 有多远?

解 http://wx.jtyjy.com/ (1)在 Rt△PAB 中,∠APB=60° PA=1,∴AB= 3 (千米)

3 在 Rt△PAC 中,∠APC=30°,∴AC= 3 (千米)
在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°

∴ BC =

AC 2 + AB 2 = (

3 2 30 ) + ( 3)2 = 3 3

30 1 ÷ = 2 30 (千米 / 时) 3 6
(2)∠DAC=90°-60°=30°

AB = BC
sinDCA=sin(180°-∠ACB)=sinACB=

3 30 3

=

3 10 10

3 10 sinCDA=sin(∠ACB-30°)=sinACB·cos30°-cosACB·sin30° 10 http://wx.jtyjy.com/ =
3 1 3 (3 3 ? 1) 10 ? ? 1? ( 10 ) 2 = 2 2 10 20

AD AC = 在△ACD 中,据正弦定理得 sin DCA sin CDA ,
3 3 10 ? AC ? sin DCA 9+ 3 3 10 AD = = = sin CDA 13 (3 3 ? 1) 10 20 ∴ 9+ 3 答 http://wx.jtyjy.com/ 此时船距岛 A 为 13 千米 http://wx.jtyjy.com/
7. 在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶点 A 正好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值 http://wx.jtyjy.com/ 解 http://wx.jtyjy.com/ 按题意,设折叠后 A 点落在边 BC 上改称 P 点,显然 A、P 两点关于 折线 DE 对称,又设∠BAP=θ,∴∠DPA=θ,∠BDP=2θ,
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再设 AB=a,AD=x,∴DP=xhttp://wx.jtyjy.com/ 在△ABC 中, ∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ,?

由 正 弦 定 理 知 http://wx.jtyjy.com/

BP AB = sin BAP sin APB http://wx.jtyjy.com/



a sin θ BP= sin(120° ? θ )
在△PBD 中,

DP BP x ? sin θ a sinθ x sin 2θ = , 所以BP = , 从而 = sin DBP sin BDP sin 60° sin(120° ? θ ) sin 60° ,

∴x =

a sinθ ? sin 60° 3a = . sin 2θ ? sin(120° ? θ ) 2 sin(60° + 2θ ) + 3

∵0°≤θ≤60°,∴60°≤60°+2θ≤180°, ∴当 60°+2θ=90°,即θ=15°时,

3a
sin(60°+2θ)=1,此时 x 取得最小值 2 + 3 ∴AD∶DB=2 3 -3http://wx.jtyjy.com/

= ( 2 3 ? 3)
a,即 AD 最小,

8. 在一很大的湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船,由于缆绳突然断开,小船被风 刮跑,其方向与湖岸成 15°角,速度为 2.5km/h,同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小 船,已知他在岸上跑的速度为 4km/h,在水中游的速度为 2km/h.问此人能否追上小船.若小 船速度改变,则小船能被人追上的最大速度是多少? 解析:设船速为 v,显然 v ≥ 4km / h 时人是不可能追上小船,当 0 ≤ v ≤ 2 km/h 时,人不必在 岸上跑,而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船,因此只要考虑 2 < v < 4 的情况, 由于人在水中游的速度小于船的速度, 人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶, 当人沿岸跑 的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时, 人才能追上小船. 设船速为 v,人追上船所用时间为 t,人在岸上跑的时间为 kt (0 < k < 1) ,则人在水中游的 时间为 (1 ? k)t ,人要追上小船,则人船运动的路线满足如图所示的三角形.
Q| OA |= 4kt ,| AB |= 2(1 ? k )t ,| OB |= vt , 由余弦是理得
| AB | 2 =| OA | 2 + | OB | 2 ?2 | OA | ? | OB | ? cos15° ,

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4(1 ? k ) 2 t 2 = (4kt ) 2 + (vt ) 2 ? 2 ? 4kt ? vt ? 6+ 2 4 ,

B



vt
2 2 整理得 12k ? [ 2( 6 + 2 )v ? 8]k + v ? 4 = 0 ,

2(1-k)t 15° 4kt

要使上式在(0,1)范围内有实数解, O 则有
0< v2 ? 4 <1 12 且 ? = [ 2( 6 +

A

2 )v ? 8] 2 ? 4 ? 12 ? (v 2 ? 4) ≥ 0 ,

解得 2 < v ≤ 2 2 ,即 vmax = 2 2km / h , 故当船速在 ( 2,2 2 ] 内时,人船运动路线可构成三角形,即人能追上小船,船能使人追上的 最大速度为 2 2km / h ,由此可见当船速为 2.5km/h 时人可以追上小船.

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