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安徽省安庆市2012-2013学年高二上学期期末考试数学试题(A1) 扫描版含答案


安庆市 2012~2013 学年度第一学期期末教学质量调研监测

高二数学试题(A1)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 C 5 D 6 C 7 A 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11、7 12、8 13、

? 2

14、10

15、①④ ②

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过 程. 16、 (本题满分 12 分)
2 解: g ( x) ? x ? 2ax ? 4 , 设 由于关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 对于一切 x ? R 恒成立,
2

所以函数 g (x) 的图象开口向上且与 x 轴没有交点,故 ? ? 4a ? 16 ? 0 ,
2

? ∴ 2?a?2
若 q 为真命题, a ? x 恒成立,即 a ? 1
2

.…………………2 分 .………………4 分 . …………………6 分 …………………8 分

由于 p ? q 为真, p ? q 为假,可知 p 、 q 一真一假 ① p 真 q 假,则 ? 若

?? 2 ? a ? 2 1 ∴ ? a ? 2; ? a ?1 ?a ? ?2 或a ? 2 a ∴ ? ?2 ?a ? 1

② p 假 q 真,则 ? 若

.……………10 分 ……………12 分

综上可知,所求实数 a 的取值范围是{ a | 1 ? a ? 2 或 a ? ?2 }

17、 (本题满分 12 分) 解: (1)从 10 个零件中随机抽取一个,所有可能的结果有 10 种,设抽到的是一等品的事件 为 A ,则事件 A 包含的结果为: A2 , A3 , A4 , A5 , A6 共 5 种,故 P ( A) =

5 1 ? ; 10 2
……5 分

(2)一等品零件的编号为: A2 , A3 , A4 , A5 , A6 .从这 5 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有 可能的结果有: {A2 , A3} , {A2 , A4 } , {A2 , A5} , {A2 , A6 } , {A3 , A4} , {A3 , A5} ,

{A3 , A6} , {A4 , A5} , {A4 , A6 } , {A5 , A6 } 共有 10 种;
所以“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B )的所有可能结果 有: {A2 , A3} , {A2 , A5} , {A3 , A5} , {A4 , A6 } 共有 4 种,则 P( B) ? 18、 (本题满分 12 分) 解: (1)茎叶图如下图

4 2 ? 10 5
.…………12 分

………………2 分 统计结论:① 甲运动员得分的平均值小于乙运动员得分的平均值; ② 甲运动员得分比乙运动员得分较集中; ③ 甲运动员得分的中位数为 27,乙运动员得分的中位数为 28.5; ④ 甲运动员得分基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近.乙运动员得分分布较为分 散. (给分说明:写出的结论中,1 个正确得 2 分) (2) x ? 27, S ? 35 . ………………6 分 ……………………………10 分

S 表示甲 10 场比赛得分的方差,是描述比赛得分离散程度的量, S 值越小,表示比赛得分 比较集中, S 值越大,表示比赛得分越参差不齐. ……………………12 分
19、 (本题满分 12 分) 解: (1)由系数公式可知, x ? 4.5, y ? 3.5, b ?

66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 66.5 ? 65 ? ? 0.7 , 5 86 ? 4 ? 4.5 2
……………8 分

a ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 , ? 所以线性回归方程为 y ? 0.7 x ? 0.35 ;
(2)当 x ? 100 时, y ? 70.35 ,

?

所以预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 吨标准煤. ………………12 分 20、 (本题满分 13 分) 解: (1)以 A 为坐标原点,以 AB, AC, AA1 所在的 直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系 A ? xyz . 则 D ( a,

3 4

1 a 1 ,1), BD ? (? , ,1), A1C ? (0,2,?1) 2 4 2

a 1 ? BD ? A1C ? (? , ,1) ? (0,2,?1) ? 0 4 2 ? BD ? A1C ,即DB ? A1C.
…………5 分 (2) A1 D ? ( a,

3 4

1 ,0), A1 B ? (a,0,?1) 2

设平面 A1BD 的法向量 n ? ( x, y, z),则n ? A1 D, n ? A1 B ,

3 1 ? 3 ? 1 3 ?n ? A1 D ? ax ? y ? 0 ? y ? ? ax 4 2 故? ?? 2 , 取n ? ( ,? ,1) a 2 ?n ? A B ? ax ? z ? 0 ? z ? ax ? 1 ?

又平面 A1B1C1 的法向量 m ? (0,0,1)

? cos m, n ?

m?n | m|?| n|

?

1 1 3 ( ) 2 ? (? ) 2 ? 1 a 2

?

1 1 13 ? a2 4

又 m, n 与二面角 B—A1D—B1 相等,即 m, n =60°,

?

1 1 13 ? a2 4

?

1 2 ,? a ? . 2 3

?当a ?

2 3 时, 二面角 B—A1D—B1 的大小为 60° 3

. …………13 分

21、 (本题满分 14 分) 解及证: (1)设椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,依题意可得 a2 b2

? a ? 2b ?a 2 ? 8 ?4 1 ,解得 ? 2 , ? ? ?1 ?b ? 2 ?a2 b2 ?
所以椭圆的标准方程为: (2)设 l 方程为: y ?

x2 y2 ? ?1 8 2
与椭圆方程联立得:

………………….4 分

1 x?m 2

x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由韦达定理得:

? x1 ? x2 ? ?2m
因为 ?AOB 为钝角

x1 x2 ? 2m 2 ? 4 ( ? )

所以 OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? x1 x 2 ? ( x1 ? m)( =

1 2

1 x 2 ? m) 2

5 m 5 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? m 2 = m 2 ? 5 ? 0 4 2 2
又 l 平行 OM

?m ? (? 2 ,0) ? (0, 2 )

……………….9 分

(3)依题即证 k AM ? k BM ? 0 而 k AM ? k BM ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)(x2 ? 2) ? ( x1 ? 2)( y 2 ? 1) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

将 y1 ?

1 1 x1 ? m , y 2 ? x 2 ? m 代入上式,得 2 2

k AM ? k BM ?

x1 x2 ? (m ? 2)(x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4m ? 4 将(2)中( ? )式代入得上式= =0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)
即证 …………….14 分


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