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14.元素个数


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高考数学母题
[母题]Ⅰ(2-14):元素个数(031)

73

元素个数 [母题](Ⅲ05): (2007 年安徽高考试题)若 A={x ? Z|2≤2
( (A)0 ) (B)1 (C)2

(D)3
2
2-x

<8},B={x ? R||log2x|>1},则 A∩CRB 的元素个数为

[解析]:由 A:2≤22-x<8 ? 1≤2-x<3 ? -1<x≤1,又 x∈Z ? A={0,1};B:|log2x|>1 ? log2x<-1,或 log2x>1 ? 0<x< 1 ,或 x>
2 ? CRB:x≤0,或
1 ≤x≤2 ? A∩CRB={0,1}.故选(C). 2

[点评]:求集合素的个数是高考中的一个特殊问题,问题的解决常常依赖于计数方法、计巧. [子题](1): (2013 年大纲高考试题)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则 M 中元素的个数为(
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

)

[解析]:由 x=1+4=5,1+5=6,2+4=6,2+5=7,3+4=7,3+5=8 ? M={5,6,7,8}.故选(B).
注:本题利用了枚举的计数方法.

[子题](2): (2012 年课标高考试题)己知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数
为( (A)3 ) (B)6 (C)8 (D)10

[解析]:由集合 A 中的元素构成的实数(m,n)对有 5×5 个,其中(m,m) ? B(m=1,2,3,4,5);又若(m,n)∈B,则(n,m) ? S,即当
m≠n 时,(m,n)与(n,m)有且仅有一个属于 B ? B 中的元素个数= 注:本题利用了补集的计数思想.
1 (5×5-5)=10.故选(D). 2

[子题](3): (2004 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知集合 S ? {1,2,…,26},且满足 S 中任何 2 个元素的和都
不能被 5 整除.则集合 S 中元素的个数最多是( (A)10 (B)11 )个. (C)12 (D)13

[解析]:把集合{1,2,…,26}划分为 A0={5,10,15,20,25},A1={1,6,11,16,21,26},A2={2,7,12,15,22},A3={3,8,13,16,
23},A4={4,9,14,17,24},则 A0 中最多取一个元素,A1,A4 中的元素不能同时取,A2,A3 中的元素不能同时取,故取 A0 中一个元 素,取 A1,A2 中的所有元素 ? 集合 S 中元素的个数最多=1+6+5=12.故选(C). 注:本题利用了组合分析思想.

[子题系列]:
1.(2009 年全国 I 高考试题)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A∪B,则集合 CU(A∩B)中的元素共有( (A)3 个 (A)0 个 数为( ) (A)1 (B)4 个 (B)无数个 (B)2 (C)5 个 (C)4 个
2

) )

(D)6 个 (D)6 个 (C)3
x >0,x∈R},则 A∩B 的元素个数为 2
2

2.(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)集合 A={x∈N|3<x<9},集合 B={3,5,7,8},则 A∪B 中元素的个数(

3.(2008 年陕西高考试题)己知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={x|x -3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合 CU(A∪B)中元素的个 (D)4 个. .

4.(2001 年上海高考试题)设集合 A={x|2lgx=lg(8x-15),x∈R},B={x|cos

5.(2013 年全国高中数学联赛试题)设集合 A={2,0,1,3},集合 B={x|-x∈A,2-x ? A},则集合 B 中所有元素的和为

74
(A)5 中元素的个数是( (A)9 元素个数为( (A)9 有元素之和为 () (A)0 的所有元素之和为( (A)16 元素之和为( (A)0 (A)1 合 S 中的元素最多有 ) (B)6 (B)3 个.
2

[母题]Ⅰ(2-14):元素个数(031)
) (D)2 (B)4 ) (B)8 ) (B)11 . (C)13 (D)20 (C)7 (D)6 (C)3

6.(2012 年江西高考试题)若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中元素的个数为(

7.(2005 年湖北高考试题)设 P、 Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q={a+b|a∈P,b∈Q}.若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q

8.(2010 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)集合 A={1,3,5,7},B={2,4,6,8,20}.若 C={s|s=a+b,a∈A,b∈B},则集合 C 的

9.(2013 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设集合 A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,18},若 C={a+b|a∈A,B∈B},则集合 C 的所 10.(2008 年江西高考试题)定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的所有元素之和为 (B)2 ) (B)18 (C)20 (D)22 (C)3 (D)6

11.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)定义集合运算:A◎B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={2,0},B={0,8}则集合 A◎B

12.(2006 年湖北高考试题)定义集合运算:A☉B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈B}.设集合 A={0,1},B={2,3},则集合 A☉B 的所有 (C)12 (C)5 (D)18 ) (D)9

13.(2013 年山东高考试题)己知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是(

14.(2011 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设正实数集合 A={a1,a2,…,a100},集合 S={(a,b)|a∈A,b∈A,a-b∈A},则集 15.(2011 年浙江高考试题)设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a)(x +bx+c),g(x)=(ax+1)(ax +bx+1).记集合 S={x|f(x)=0,x∈R}, T={x|g(x)=0,x∈R},.若|S|,|T|分别为集合 S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( (A)|S|=1 且|T|=0 (B)|S|=1 且|T|=1 (C)|S|=2 且|T|=2 ) (D)|S|=2 且|T|=3
2

[子题详解]:
1.解:由 U=A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,8} ? CU(A∩B)={3,5,8}.故选(A). 2.解:由 A={4,5,6,7,8} ? A∪B={3,4,5,6,7,8}.故选(D). 4.解:由 2lgx=lg(8x-15) ? x =8x-15 ? x=3,5;当 x=3 时,cos
2 2 2

3.解:由 A={1,2} ? B={2,4} ? CU(A∪B)={3,5}.故选(B).
? x 3 x 5 =cos >cos =0;当 x=5 时,cos =cos <0 ? A∩B={3}. 2 2 2 2 2
2 2

5.解:当-x=2 时,2-x =-2 ? A;当-x=0 时,2-x =2∈A;当-x=1 时,2-x =1∈A;当-x=3 时,2-x =-7 ? A ? B={-2,-3} ? B 中所有 元素的和为-5. 6.解:由-1+0=-1,-1+2=1,1+0=1,1+2=3 ? 集合{z|z=-1,1,3}.故选(C). 7.解:由 0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11 ? P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.故选(B). 8.解:注意到 s 是奇数,且最小值是 3,最大值是 27,中问缺少 17、19.故集合 C 共有 11 个元素.故选(B). 9.解:由 a+b 是奇数,且最小值是 3,大值是 27,中问缺少 17 ? 集合 C 的所有元素之和=13(3+27)÷2-17=178. 10.解:由 A*B={0,2,4}.故选(D). 12.解:由 A☉B={0,6,12}.故选(D). 11.解:由 A◎B={0,16}.故选(A). 13.解:由 0-0=0,1-0=1,2-0=2,2-1=1 ? B={-2,-1,0,1,2}.故选(C).

14.解:由集合 A 中的元素构成的实数(ai,aj)对有 100×100 个,其中(ai,ai) ? S(i=1,2,…,100);又若(ai,aj)∈S,则(aj,ai)
? S,即当 i≠j 时,(ai,aj)与(aj,ai)有且仅有一个属于 S ? S 中的元素最多有
1 (100×100-100)=4950 个. 2

15.解:取 a=b=c=0 ? (A)正确;取 a=1,b=0,c=1 ? (B)正确;取 a=-1,b=0,c=0 ? (C)正确;故选(D).


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