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第二讲空间中的平行与垂直(理科 区实黄)


第二讲

空间中的平行与垂直

一、课堂训练 1. (2012 年高考山东卷)在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是等腰梯形, AB∥CD, ∠DAB =60°,FC⊥平面 ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 FBDC 的余弦值. (本小题可以不做) [解析] (1)证明:因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥ CD,

∠ DAB=60° , 所以∠ ADC=∠ BCD=120° . 又 CB=CD,所以∠ CDB=30° , 因此∠ ADB=90° ,即 AD⊥ BD. 又 AE⊥ BD,且 AE∩AD=A,AE,AD ? 平面 AED, 所以 BD⊥ 平面 AED. (2)解法一 由(1)知 AD⊥ BD,所以 AC⊥ BC.又 FC⊥ 平面 ABCD,因此 CA,CB,CF 两两 垂直. 以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CF 所在的直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图(1)所 示的空间直角坐标系.不妨设 CB=1, 3 1 则 C(0,0,0),B(0,1,0),D( 2 ,-2,0),F(0,0,1).

(1) → → 3 3 因此BD=( 2 ,-2,0),BF=(0,-1,1). 设平面 BDF 的一个法向量为 m=(x,y,z), → → 则 m· =0,m· =0, BD BF 所以 x= 3y= 3z,

取 z=1,则 m=( 3,1,1). → 由于CF=(0,0,1)是平面 BDC 的一个法向量, → → m· CF 1 5 则 cos〈m,CF〉= → = = 5 , 5 |m||CF| 5 所以二面角 F- C 的余弦值为 5 . BD解法二 如图(2),取 BD 的中点 G,连接 CG,FG, 由于 CB=CD,因此 CG⊥BD. 又 FC⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD, 所以 FC⊥BD. 由于 FC∩CG=C,FC,CG ? 平面 FCG, 所以 BD⊥平面 FCG, 故 BD⊥FG, 所以∠FGC 为二面角 F- C 的平面角. BD在等腰三角形 BCD 中,由于∠BCD=120° , 1 因此 CG=2CB.又 CB=CF, 所以 CF= CG2+CF2= 5CG, 5 故 cos∠FGC= 5 , 5 因此二面角 F- C 的余弦值为 5 . BD-

变式训练 1:如图,在正三棱柱 ABC- 1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形,M、N、G 分别是棱 CC1、AB、BC A 的中点.且 CC1= 2AC.

(1)求证:CN∥ 平面 AMB1; (2)求证:B1M⊥ 平面 AMG. 证明:(1)设线段 AB1 的中点为 P,连接 NP、MP, 1 1 ∵ ∥2AA1,NP∥2AA1,∴ ∥NP, CM CM ∴ 四边形 CNPM 是平行四边形, ∴ CN∥ MP, ∵ ? 平面 AMB1, CN MP ? 平面 AMB1, ∴ CN∥ 平面 AMB1. (2)∵ 1⊥ CC 平面 ABC, ∴ 平面 CC1B1B⊥ 平面 ABC, ∵ AG⊥ BC,∴ AG⊥ 平面 CC1B1B,∴ 1M⊥ B AG. ∵ 1⊥ CC 平面 ABC,平面 A1B1C1∥ 平面 ABC, ∴ 1⊥ CC AC,CC1⊥ 1C1, B 设 AC=2a,则 CC1=2 2a, 在 Rt△MCA 中,AM= 在 Rt△B1C1M 中,B1M= CM2+AC2= 6a, B1C2+C1M2= 6a. 1

∵ 1∥ 1,∴ 1⊥ BB CC BB 平面 ABC,∴ 1⊥ BB AB, ∴ 1= B1B2+AB2= C1C2+AB2=2 3a, AB 注意到 AM2+B1M2=AB2,∴ 1M⊥ B AM, 1 小结:空间线线、线面位置关系 1.线面平行的判定定理:a ? α,b ? α,a∥b ? a∥α. 2.线面平行的性质定理:a∥α,a ? β,α∩β=b ? a∥b. 3.线面垂直的判定定理:m ? α,n ? α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n ? l⊥α. 4.线面垂直的性质定理:a⊥α,b⊥α a∥b.

2.(2012 年高考江苏卷)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC, CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE. [证明] (1)因为 ABC- 1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1⊥ A 平面 ABC.

又 AD ? 平面 ABC,所以 CC1⊥ AD. 又因为 AD⊥ DE,CC1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1∩DE=E,所以 AD⊥ 平面 BCC1B1. 又 AD ? 平面 ADE,所以平面 ADE⊥ 平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点,所以 A1F⊥ 1C1. B 因为 CC1⊥ 平面 A1B1C1,且 A1F ? 平面 A1B1C1,所以 CC1⊥ 1F. A 又因为 CC1,B1C1 ? 平面 BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,所以 A1F⊥ 平面 BCC1B1. 由(1)知 AD⊥ 平面 BCC1B1,所以 A1F∥ AD.又 AD ? 平面 ADE,A1F ? 平面 ADE, 所以 A1F∥ 平面 ADE.

变式训练 2:如图,菱形 ABCD 的边长为 6,∠ BAD=60° ,AC∩BD=O.将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 得到三棱锥,点 M 是棱 BC 的中点,DM=3 2.

(1)求证:平面 ABC⊥ 平面 MDO; (2)求三棱锥 M-ABD 的体积. 解析:(1)证明:由题意得 OM=OD=3, 因为 DM=3 2,所以∠ DOM=90° ,OD⊥ OM. 又因为四边形 ABCD 为菱形,所以 OD⊥ AC. 因为 OM∩AC=O,所以 OD⊥ 平面 ABC,

因为 OD

? 平面 MDO,所以平面 ABC⊥平面 MDO.

(2)三棱锥 MABD 的体积等于三棱锥 DABM 的体积. 由(1)知,OD⊥ 平面 ABC, 所以 OD 为三棱锥 DABM 的高. 1 1 3 9 3 又△ABM 的面积为2BA× BM× 120° 2× 3× 2 = 2 , sin = 6× 1 9 3 所以 M-ABD 的体积等于3× △ABM× S OD= 2 . 小结:空间面面位置关系 1.面面垂直的判定定理:a ? β,a⊥ ? α⊥ α β. 2.面面垂直的性质定理:α⊥ β,α∩β=l,a ? α,a⊥ l α⊥ β. 3.面面平行的判定定理:a ? β,b ? β,a∩b=A,a∥ α,b∥ ? α∥ α β. 4.面面平行的性质定理:α∥ β,α∩γ=a,β∩γ=b ? α∥ b. 5.面面平行的证明还有其它方法
(1)a, b ? ? 且a ? b ? A? ? c , d ? ? 且c ? d ? B ? ? ? ∥ ? a ∥ c, b ∥ d ? ?

(2) a ? ? , ? ? ? ? a ∥ ?

3.(2012 年高考浙江卷)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2,将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所 在的直线进行翻折,在翻折过程中( )

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 [解析] 找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.

对于选项 A,过点 A 作 AE⊥BD,垂足为 E,过点 C 作 CF⊥BD,垂足为 F,在图(1)中,由 边 AB,BC 不相等可知点 E,F 不重合.在图(2)中,连接 CE,若直线 AC 与直线 BD 垂直, 又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面 ACE,∴BD⊥CE,与点 E,F 不重合相矛盾,故 A 错误. 对于选项 B,若 AB⊥CD,又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB⊥面 ADC,∴AB⊥AC,由 AB<BC 可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线 AB 与直线 CD 垂直,故 B 正确. 对于选项 C,若 AD⊥BC,又∵DC⊥BC,AD∩DC=D, ∴BC⊥面 ADC,∴BC⊥AC.已知 BC= 2,AB=1,BC >AB,∴不存在这样的直角三角 形.∴C 错误. 由上可知 D 错误,故选 B. [答案] B

变式训练 3::如图 1,直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,E,F 分别为边 AD 和 BC 上的点,且 EF∥AB,AD=2AE=2AB=4FC=4.将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的形 状,使 AD=AE. (1)求证:BC∥平面 DAE; (2)求四棱锥 DAEFB 的体积. 解析:(1)证明:∵BF∥AE, BF ? 平面 CBF,AE ? 平面 CBF,∴AE∥平面 CBF 又同理 CF∥DE,DE∥平面 CBF 又 AE∩DE=E,∴平面 CBF∥平面 DAE, 又 BC ? 平面 CBF,∴BC∥平面 DAE. (2)取 AE 的中点 H,连接 DH. ∵EF⊥DE,EF⊥EA,∴EF⊥平面 DAE. 又 DH ? 平面 DAE,∴EF⊥DH. ∵AE=DE=AD=2,∴DH⊥AE,DH= 3. ∴DH⊥平面 AEFB.

1 4 3 四棱锥 DAEFB 的体积 V=3× 3× 2= 3 . 2× 小结:折叠中的位置关系 将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称之为平面图形 翻折问题.平面图形经过翻折成为空间图形后,原有的性质有的发生了变化、有的没有发生 变化,弄清它们是解决问题的关键.一般地,翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化, 不在同一个平面上的性质发生变化. 二、巩固训练: 1.(2012 年高考陕西卷)(1)如图所示,证明命题“a 是平面 π 内的一条直线,b 是 π 外的一条直 线(b 不垂直于 π),c 是直线 b 在 π 上的投影,若 a⊥b,则 a⊥c”为真; (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明). 【解析】 (1)证明:证法一 如图(1),过直线 b 上任一点作平面π 的垂线 n,设直线 a,b,c,n 的方向向量分别是 a,b,c,n, 则 b,c,n 共面. 根据平面向量基本定理,存在实数λ,μ使得 c=λb+μn, 则 a·c=a·(λb+μn)=λ(a·b)+μ(a·n). 因为 a⊥b,所以 a·b=0. 又因为 a ? π,n⊥π,所以 a·n=0. 故 a·c=0,从而 a⊥c. 证法二 如图(2),记 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 PO⊥π,垂足为 O,则 O∈ c. 因为 PO⊥π,a ? π,所以直线 PO⊥a. 又 a⊥b,b ? 平面 PAO,PO∩b=P,所以 a⊥平面 PAO. 又 c ? 平面 PAO,所以 a⊥c. (2)逆命题为:a 是平面π内的一条直线,b 是π外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直线 b 在 π上的投影,若 a⊥c,则 a⊥b. 逆命题为真命题. 小结:本题实际上考查了三垂线定理逆定理的证明,命题创意新颖,改变了多数高考命题以 空间几何体为载体考查线面位置关系的证明.着重考查推理论证能力. 2.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视图、俯视图均为矩形,侧视图为直 角三角形. (1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (3)若 D 是棱 CC1 的中点, 是棱 AB 的中点, E 判断 DE 是否 平行于平面 AB1C1,并证明你的结论.

【解析】 (1)几何体的直观图如图所示,四边形 BB1C1C 是矩形,BB1=CC1= 3,BC=B1C1 =1,四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形,且平面 AA1C1C 垂直于底面 BB1C1C, 故该几何体是直三棱柱,其体积 1 3 V=S△ABC· 1=2× BB 1× 3× 3=2.

(2)证明:由(1)知平面 AA1C1C⊥平面 BB1C1C 且 B1C1⊥CC1, 所以 B1C1⊥平面 ACC1A1,所以 B1C1⊥A1C. 因为四边形 ACC1A1 为正方形,所以 A1C⊥AC1, 而 B1C1∩AC1=C1,所以 A1C⊥平面 AB1C1. (3)DE∥平面 AB1C1,证明如下: 如图,取 BB1 的中点 F,连接 EF,DF,DE. 因为 D,E,F 分别为 CC1,AB,BB1 的中点,所以 EF∥AB1,DF∥B1C1. 又 AB1 ? 平面 AB1C1,EF ? 平面 AB1C1, 所以 EF∥ 平面 AB1C1. 同理,DF∥ 平面 AB1C1,又 EF∩DF=F,则平面 DEF∥ 平面 AB1C1.而 DE ? 平面 DEF, 所以 DE∥ 平面 AB1C1.


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