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《创新设计》2016高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练:突破练1 Word版含解析46944]


突破练(一)
1 1.已知函数 f(x)= 3sin xcos x+cos 2x-2,△ABC 三个内角 A,B,C 的对边分别 为 a,b,c,且 f(B)=1. (1)求角 B 的大小; (2)若 a= 3,b=1,求 c 的值. 解 π? 3 1 ? (1)因为 f(x)= 2 sin 2x+2cos 2x=sin ?2x+6?, ? ?

π

? ? 所以 f(B)=sin ?2B+6?=1, ? ? π ?π 13 ? 又 2B+6 ∈?6, 6 π?, ? ? π π 所以 2B+6=2, π 所以 B=6. (2)法一 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 得

c2-3c+2=0, 所以 c=1,或 c=2. 法二 a b c 3 由正弦定理sin A=sin B=sin C得 sin A= 2 ,

π 2π π π 所以 A=3或 A= 3 ,当 A=3时,C=2,所以 c=2; 2π π 当 A= 3 时,C=6,所以 c=1. 2.如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E, F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连接 GH.

(1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 D-GH-E 的余弦值. (1)证明 因为 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,

所以 EF∥AB,DC∥AB.所以 EF∥DC. 又 EF?平面 PCD,DC?平面 PCD, 所以 EF∥平面 PCD. 又 EF?平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH, 所以 EF∥GH.又 EF∥AB, 所以 AB∥GH. (2)解 在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ,

所以∠ABQ=90° . 又 PB⊥平面 ABQ, 所以 BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立 如图所示的空间直角坐标系.

设 BA=BQ=BP=2, 则 E(1,0,1), F(0,0,1), Q(0,2,0), D(1,1,0), C(0,1,0), P(0,0,2). → =(-1,2,-1),FQ → =(0,2,-1),DP → =(-1,-1,2),CP → =(0,-1,2). 所以EQ 设平面 EFQ 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), → =0,m· → =0, 由 m· EQ FQ

?-x1+2y1-z1=0, 得? 取 y1=1,得 m=(0,1,2). ?2y1-z1=0, 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2), → =0,n· → =0, 由 n· DP CP ?-x2-y2+2z2=0, 得? 取 z2=1,得 n=(0,2,1), ?-y2+2z2=0, m· n 4 所以 cos〈m,n〉=|m||n|=5. 因为二面角 D-GH-E 为钝角, 4 所以二面角 D-GH-E 的余弦值为-5. 3.某企业为打入国际市场,决定从 A,B 两种产品中只选择一种进行投资生产, 已知投资生产这两种产品的有关数据如表所示: (单位:万美元) 项目 类别 A 产品 B 产品 年固定成本 20 40 每件产品成 本 m 8 每件产品销售 价 10 18 每年最多可生产 的件数 200 120

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的 原材料价格决定,预计 m∈[6,8].另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产 A,B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的 件数 x 之间的函数关系并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)? 请你作出规划. 解 (1)由年销售量为 x 件,按利润的计算公式,得生产 A,B 两种产品的年

利润 y1,y2 分别为 y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20(x∈N,0≤x≤200), y2=18x-(8x+40)-0.05x2=-0.05x2+10x-40(x∈N,0≤x≤120). (2)因为 6≤m≤8,

所以 10-m>0,函数 y1=(10-m)x-20 是[0,200]上的增函数, 所以当 x=200 时,生产 A 产品有最大利润为(10-m)×200-20=1 980- 200m(万美元). 又 y2=-0.05(x-100)2+460(x∈N,0≤x≤120). 所以当 x=100 时,生产 B 产品有最大利润为 460 万美元. 因为 y1max-y2max=1 980-200m-460=

?>0,6≤m<7.6, 1 520-200m?=0,m=7.6, ?<0,7.6<m≤8.
所以当 6≤m<7.6 时,可投资生产 A 产品 200 件; 当 m=7.6 时,要生产 A 产品与生产 B 产品均可; 当 7.6<m≤8 时,可投资生产 B 产品 100 件. x2 y2 4.如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. 解 ?b=1, (1)由题意得? ?a=2.

x2 所以椭圆 C1 的方程为 4 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,

则直线 l1 的方程为 y=kx-1.又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d=
2

1 , k +1
2

所以|AB|=2 4-d =2

4k2+3 . k2+1

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4. 8k 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故 x0=- . 4+k2 8 k2+1 所以|PD|= . 4+k2 1 设△ABD 的面积为 S,则 S=2|AB|· |PD| 8 4k2+3 = ,所以 S= 4+k2 32 2 4k2+3· 13 4k2+3 32 4k2+3+ 13 4k2+3





16 13 , 13

10 当且仅当 k=± 2 时取等号. 10 所以所求直线 l1 的方程为 y=± 2 x-1. n+2 5.数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=4- n-1 ,n∈N*. 2 (1)求 a3 的值; (2)求数列{an}前 n 项和 Tn; Tn-1 ? 1 1 1? (3)令 b1=a1,bn= n +?1+2+3+…+n?an(n≥2),证明:数列{bn}的前 n ? ? 项和 Sn 满足 Sn<2+2ln n. (1)解 1 5 1 a1=1,a1+2a2=2,a2=2,a1+2a2+3a3=4-4,a3=4.

(2)解

n≥2 时,a1+2a2+…+(n-1)an-1=4-

n+1 , 2n-2

n 1 与原式相减,得 nan= n-1,an= n-1,n=1 也符合, 2 2 1 1-2n 1 Tn= = 2 - n-1. 1 2 1-2 (3)证明 n≥2 时,

Tn-1 ? a1+a2+…+an-1 ? 1 1 1? 1 1 1? ?1+2+3+…+n?an bn= n +?1+2+3+…+n?an= + n ? ? ? ?
n a1+a2 ? a1+a2+…+an-1 1? 1 1? a1 ? 故 Sn= ?bi=a1+ 2 +?1+2?a2+ 3 +?1+2+3?a3+…+ n ? ? ? ? i=1

1 1? ? +?1+2+…+n?an ? ? ?n ? =? ?i=1 ? ?n ? =? ?i=1 ? ?n 1? ?a +? ? i ? 1 ?i=1 ? ? 1? ? i ? Tn ? ?n 1? ?a +? ? i ? 2 ?i=1 ? ? ?n 1? ?a +…+? ? i? 3 ? i =1 ? ? 1? ? i ?an ?

1 ? ? 1 1?? 1 1? ? =?1+2+…+n??2-2n-1?<2?1+2+…+n?, ? ?? ? ? ? 1 1? ? 只需证明 2?1+2+…+n?<2+2ln n,n∈N*. ? ? 对于任意自然数 k∈N, 令 x=- 即 1 1 1 ? ? ∈(-1,0)时,ln?-k+1+1?+ <0, k+1 ? ? k+1

1 <ln(k+1)-ln k. k+1

1 ∴k=1 时,2<ln 2-ln 1, 1 k=2 时,3<ln 3<ln 2. …

1 k=n-1 时,n<ln 2-ln(n-1). 1 1 1 ∴1+2+3+…+n<1+(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)], 1 1 1 即 1+2+3+…+n<1+ln n, 1 1 1? ? 所以 n≥2 时,2?1+2+3+…+n?<2+2ln n, ? ? 综上 n∈N+时,Sn<2+2ln n.


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