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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(20)


江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 2 x 1.已知集合 A={x|y=lg(2x﹣x )},B={y|y=2 ,x>0},则 A∩B=__________. 2.已知 ,则 =__________.

3.命题 P:“若 ,则 a、b、c 成等比数列”,则命题

P 的否命题是__________(填“真” 或“假”之一)命题. 4.如果 x﹣1+yi,与 i﹣3x 是共轭复数(x、y 是实数) ,则 x+y=__________. 5.在等差数列{an}中,a7=m,a14=n,则 a28=__________. 6.已知 an= (n∈N ) ,设 am 为数列{an}的最大项,则 m=__________.
*

7.已知函数 f(x)=2f′(1)lnx﹣x,则 f(x)的极大值为__________. 8.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.若 C= ,则 =__________.

9.函数 __________.

的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于

10. 经过点 A (﹣2, ﹣4) , 且与直线 l: x+3y﹣26=0 相切于点 B (8, 6) 的圆的方程是__________. 11. 已知 AD 是△ ABC 的中线, 若∠A=120°,

, 则

的最小值是__________.

12.将函数 f(x)=2sin(ωx﹣ 的图象,若 y=g(x)在[0,

) (ω>0)的图象向左平移

个单位,得到函数 y=g(x)

]上为增函数,则 ω 的最大值为__________.

13.已知函数 __________.

的图象与函数 y=kx+2 的图象没有交点,则实数 k 的取值范围是

14.已知三次函数 f(x)= x + x +cx+d(a<b)在 R 上单调递增,则 __________.

3

2

的最小值为

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15.设集合 A={x|x +4a=(a+4)x,a∈R},B={x|x +4=5x}. (1)若 A∩B=A,求实数 a 的值; (2)求 A∪B,A∩B. 16.已知函数 f(x)=sin cos + cos
2 2 2

(1)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+b 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; 2 (2)如果△ ABC 的三边 a,b,c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函 数 f(x)的值域.

17.已知扇形 AOB 的半径等于 1,∠AOB=120°,P 是圆弧 (1)若∠AOP=30°,求 (2)若 的值.

上的一点.

,①求 λ,μ 满足的条件;②求 λ +μ 的取值范围.

2

2

18. (16 分)已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 只还需另投入 16 美元.设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完,每

万只的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(万只)的函数解析式; (2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最 大利润. 19. (16 分)设 f(x)=x ,等差数列{an}中 a3=7,a1+a2+a3=12,记 Sn= bn=anSn,数列 的前 n 项和为 Tn.
3

,令

(Ⅰ)求{an}的通项公式和 Sn; (Ⅱ)求证: ;

(Ⅲ)是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说明理由.

20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +bx +(b﹣a)x(a,b 不同时为零的常数) ,导函数为 f′ (x) . (1)当 时,若存在 x∈[﹣3,﹣1]使得 f′(x)>0 成立,求 b 的取值范围;

3

2

(2)求证:函数 y=f′(x)在(﹣1,0)内至少有一个零点; (3)若函数 f(x)为奇函数,且在 x=1 处的切线垂直于直线 x+2y﹣3=0,关于 x 的方程 在[﹣1,t](t>﹣1)上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围.

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模 拟试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 2 x 1.已知集合 A={x|y=lg(2x﹣x )},B={y|y=2 ,x>0},则 A∩B=(1,2) . 考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:求出 A 中函数的定义域确定出 A,求出 B 中函数的值域确定出 B,找出 A 与 B 的交 集即可. 解答: 解:由 A 中的函数 y=lg(2x﹣x ) ,得到 2x﹣x >0,即 x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 A=(0,2) , x 由 B 中的函数 y=2 ,x>0,得到 y>1,即 B=(1,+∞) , 则 A∩B=(1,2) . 故答案为: (1,2) 点评:此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2 2

2.已知

,则

=



考点:运用诱导公式化简求值. 专题:计算题. 分析: 根据诱导公式可知 的值代入即可求得答案. 解答: 解: 故答案为:﹣ 点评:本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题.属基础题. =sin( ﹣α﹣ )=﹣sin(α+ )=﹣ =sin ( ﹣α﹣ ) , 进而整理后, 把 sin (α+ )

3.命题 P:“若 之一)命题.

,则 a、b、c 成等比数列”,则命题 P 的否命题是假(填“真”或“假”

考点:命题的真假判断与应用. 专题:计算题. 分析:写出命题的否命题,然后判断否命题的真假即可. 解答: 解:命题 P:“若 ,则 a、b、c 成等比数列”, 命题 P 的否命题是:“若 ,则 a、b、c 不成等比数列”. 2 否命题中, ,可以有 ac=b ,a、b、c 成等比数列,所以否命题不正确. 故答案为:假. 点评:本题考查命题的真假的判断,四种命题的关系,考查基本知识的应用.

4.如果 x﹣1+yi,与 i﹣3x 是共轭复数(x、y 是实数) ,则 x+y=



考点:复数的基本概念. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:∵x﹣1+yi,与 i﹣3x 是共轭复数, ∴﹣3x=x﹣1,﹣y=1, 解得 x= ,y=﹣1. ∴x+y= .

故答案为:﹣ . 点评:本题考查了共轭复数的定义,属于基础题. 5.在等差数列{an}中,a7=m,a14=n,则 a28=3n﹣2m. 考点:等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质可得 a28=3a14﹣2a7,代入已知的值可求. 解答: 解:等差数列{an}中,由性质可得:a28=a1+27d, 3a14﹣2a7=3(a1+13d)﹣2(a1+6d)=a1+27d, ∴a28=3a14﹣2a7, ∵a7=m,a14=n, ∴a28=3n﹣2m. 故答案为:3n﹣2m. 点评:本题为等差数列性质的应用,熟练利用性质是解决问题的关键,属基础题. 6.已知 an= (n∈N ) ,设 am 为数列{an}的最大项,则 m=8.
*

考点:数列的函数特性. 专题:函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析:把数列 an= 解答: 解:∵an= =1+ (n∈N ) ,
*

,根据单调性,项的符号判断最大项.

∴an=

=1+

根据函数的单调性可判断: 数列{an}在[1,7],[8,+∞)单调递减, ∵在[1,7]上 an<1,在[8,+∞)上 an>1, ∴a8 为最大项, 故答案为:8 点评:本题考查了数列与函数的结合,根据单调性求解,属于中档题. 7.已知函数 f(x)=2f′(1)lnx﹣x,则 f(x)的极大值为 2ln2﹣2. 考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:先求导数,当 x=1 时,即可得到 f′(1) ,再令导数大于 0 或小于 0,解出 x 的范围, 即得到函数的单调区间,进而可得函数的极大值. 解答: 解:由于函数 f(x)=2f′(1)lnx﹣x, 则 f′(x)=2f′(1)× ﹣1(x>0) , f′(1)=2f′(1)﹣1, 故 f′(1)=1,得到 f′(x)=2× ﹣1= ,

令 f′(x)>0,解得:x<2,令 f′(x)<0,解得:x>2, 则函数在(0,2)上为增函数,在(2,+∞)上为减函数, 故 f(x)的极大值为 f(2)=2ln2﹣2 故答案为:2ln2﹣2 点评:本题考查了利用导数研究函数的极值,属于基础题. 8.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.若 C= ,则 = .

考点:正弦定理的应用. 专题:解三角形.

分析:由条件利用二倍角公式可得 sinAsinB+sinBsinC=2 sin B,再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,由此可得 a,b,c 成等差数列.通过 C=
2 2 2 2 2

2

,利用 c=2b﹣a,由余

弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2ab?cosC,化简可得 5ab=3b ,由此可得 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, ∴sinAsinB+sinBsinC=2sin B. 2 再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列. C= ,由 a,b,c 成等差数列可得 c=2b﹣a,
2 2 2 2 2 2

由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2ab?cosC=a +b +ab. 化简可得 5ab=3b ,∴ = . 故答案为: . 点评:本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题. 9.函数 的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 4.
2

考点:正弦函数的图象;函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题. 分析: 的图象由奇函数 的图象向右平移 1 个单位而得,所以它的图象关于

点(1,0)中心对称,再由正弦函数的对称中心公式,可得函数 y2=2sinπx 的图象的一个对 称中心也是点(1,0) ,故交点个数为偶数,且对称点的横坐标之和为 2 解答: 解:函数 y1= 的图象, 当 1<x≤4 时,y1≥ , 而函数 y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象,在 y2 在(1,4)上出现 1.5 个周期的图象,在 ∴函数 y2 在 x= 处取最大值为 2≥ , 而函数 y2 在(1,2) 、 (3,4)上为负数与 y1 的图象没有交点, 所以两个函数图象在(1,4)上有两个交点(图中 C、D) , 根据它们有公共的对称中心(1,0) ,可得在区间(﹣2,1)上也有两个交点(图中 A、B) , 并且:xA+xD=xB+xC=2,故所求的横坐标之和为 4, 故答案为:4. 上是单调增且为正数函数, 上是单调减且为正数, =2sinπx 的图象有公共的对称中心(1,0) ,作出两个函数

点评:本题考查函数的零点与方程的根的关系,考查数形结合思想,发现两个图象公共的对 称中心是解决本题的入口,讨论函数 y2=2sinπx 的单调性找出区间(1,4)上的交点个数是 本题的难点所在. 10.经过点 A(﹣2,﹣4) ,且与直线 l:x+3y﹣26=0 相切于点 B(8,6)的圆的方程是 .

考点:圆的切线方程. 专题:直线与圆. 分析:法一:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,圆心 C( , ) .由此能求出圆的方 程. 法二:设圆的圆心为 C,则 CB⊥l,从而可得 CB 所在直线的方程为 y﹣6=3(x﹣8) ,AB 的中点坐标为(3,1) ,AB 的垂直平分线的方程为 y﹣1=﹣(x﹣3) ,由此能求出圆的方程. 解答: 解法一:设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0,
2 2 2 2

则圆心 C( , ) .∴kCB=

,由 kCB?kl=﹣1,得

? =﹣1,①
2 2

又有(﹣2) +(﹣4) ﹣2D﹣4E+F=0,② 2 2 8 +6 +8D+6E+F=0.③ 由①②③联立可得 D=﹣11,E=3,F=﹣30. 2 2 ∴圆的方程为 x +y ﹣11x+3y﹣30=0. 即: .

解法二:设圆的圆心为 C,则 CB⊥l,从而可得 CB 所在直线的方程为 y﹣6=3(x﹣8) , 即 3x﹣y﹣18=0.①

由于 A(﹣2,﹣4) 、B(8,6) ,则 AB 的中点坐标为(3,1) ,又 kAB= ∴AB 的垂直平分线的方程为 y﹣1=﹣(x﹣3) , 即 x+y﹣4=0②

=1,

由①②联立后,可解得

, .

即圆心的坐标为( ∴所求圆的半径 r= ∴所求圆的方程为 故答案为:



, = . . , .

点评: 本题考查圆的方程的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意圆的性质的合理运用.

11.已知 AD 是△ ABC 的中线,若∠A=120°,

,则

的最小值是 1.

考点:向量在几何中的应用. 专题:压轴题;平面向量及应用. 分析:利用向量的数量积公式,及三角形中线向量的表示,利用基本不等式,即可求 的最小值. 解答: 解:∵ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴| ∵ ∴|
2

=|

||

|cosA,∠A=120°,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

||

|=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ = ( + | +|
2

) , | +2
2

| = (| ||

?

)= (|

| +|

2

| ﹣4)

2

≥ (2| ∴

|﹣4)=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

min=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣ 故答案为:1. 点评:本题考查向量的数量积,基本不等式,考查学生的计算能力,属于中档题.

12.将函数 f(x)=2sin(ωx﹣ 的图象,若 y=g(x)在[0,

) (ω>0)的图象向左平移

个单位,得到函数 y=g(x)

]上为增函数,则 ω 的最大值为 2.

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析: 函数 y=g(x)的表达式,然后利用在 ω 的不等式,得到 ω 的最大值. 解答: 解:函数 得到函数 y=g(x)=2sinωx,y=g(x)在 所以 ,即:ω≤2,所以 ω 的最大值为:2. 的图象向左平移 上为增函数, 个单位, 的图象向左平移 上为增函数,说明 个单位, 得到函数

,利用周期公式,求出

故答案为:2. 点评:本题是基础题,考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,注意函数的周期 与单调增区间的关系,考查计算能力,常考题型,题目新颖.

13.已知函数 4,﹣1].

的图象与函数 y=kx+2 的图象没有交点,则实数 k 的取值范围是[﹣

考点:函数的零点;函数的图象与图象变化. 专题:函数的性质及应用. 分析: 利用零点分段法化简函数的解析式, 由已知得 的解为 x≤1, 且 的

解为 x≥1,且当 k=﹣1 时,

无解,由此能求出实数 k 的取值范围.

解答: 解:函数

=

=



∵函数

的图象与函数 y=kx+2 的图象没有交点,



的解为 x≤1,且

的解为 x≥1,



,解得﹣4≤k<﹣1.

又当 k=﹣1 时,

无解,

∴函数

的图象与函数 y=kx+2 的图象没有交点,实数 k 的取值范围是[﹣4,﹣1].

故答案为:[﹣4,﹣1) . 点评:本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系,是中档题,解题时要认真审题,注 意等价转化思想的合理运用. 14.已知三次函数 f(x)= x + x +cx+d(a<b)在 R 上单调递增,则
3 2

的最小值为 3.

考点:函数的单调性与导数的关系. 专题:导数的综合应用. 分析:由题意得 f'(x)=ax +bx+c 在 R 上恒大于或等于 0,得 a>0,△ =b ﹣4ac≤0,将此代 入 ,将式子进行放缩,以 为单位建立函数关系式,最后构造出运用基本不等式的
2 2

模型使问题得到解决. 解答: 解:由题意 f'(x)=ax +bx+c≥0 在 R 上恒成立,则 a>0,△ =b ﹣4ac≤0.
2 2











≥3.

(当且仅当 t=4,即 b=c=4a 时取“=”) 故答案为:3 点评: 本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题, 属 于中档题. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 2 2 15.设集合 A={x|x +4a=(a+4)x,a∈R},B={x|x +4=5x}. (1)若 A∩B=A,求实数 a 的值; (2)求 A∪B,A∩B.

考点:集合关系中的参数取值问题. 专题:计算题. 分析: (1)由 A∩B=A 知 A 是 B 的子集,由此可知集合 A 中元素的特征,从而求出实数 a. (2)首先对 a 进行分类讨论:若 a=1,则 A=B={1,4};若 a=4,则 A={4};若 a≠1,4 则 A={4,a}.分别求出 A∪B 和 A∩B 即可. 解答: 解:A={x|x=4 或 x=a},B={x|x=1 或 x=4} (1)因为 A∩B=A 所以 A?B,由此得 a=1 或 a=4 (2)若 a=1,则 A=B={1,4} 所以 A∪B={1,4},A∩B={1,4} 若 a=4,则 A={4} 所以 A∪B={1,4},A∩B={4} 若 a≠1,4 则 A={4,a} 所以 A∪B={1,4,a}, A∩B={4} 点评:本题考查子集与交集、并集运算的转换、集合间的相互关系、集合关系中的参数取值 问题,解题时要熟练掌握基本概念.属于基础题.
2

16.已知函数 f(x)=sin cos +

cos

(1)将 f(x)写成 Asin(ωx+φ)+b 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; (2)如果△ ABC 的三边 a,b,c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时函 数 f(x)的值域. 考点:余弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题:解三角形. 分析: (1)f(x)解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,整理后再利用两角和与差 的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 令正弦函数为 0 求出 x 的值, 即为其图象对称中心 的横坐标; 2 (2)利用余弦定理表示出 cosx,把 b =ac 代入并利用基本不等式变形,求出 cosx 的范围, 确定出 x 的范围,求出这个角的范围,利用正弦函数的值域确定出 f(x)的值域即可. 解答: 解: (1)f(x)= sin + , + )=0,得 ,k∈Z, (k∈Z) ; + =kπ(k∈Z) , + (1+cos )= sin + cos + =sin( + )
2

由 sin( 解得:x=

则对称中心的横坐标为

(2)由已知 b =ac 及余弦定理,得:cosx=

2

=



= ,

∴ ≤cosx<1,即 0<x≤ ∴ ∴ < + ≤ + , )+



<sin(

≤1+

,即 f(x)的值域为( ,1+ ].

,1+

],

综上所述,x∈(0,

],f(x)值域为(

点评: 此题考查了余弦定理, 二倍角的正弦、 余弦函数公式, 以及正弦函数的定义域与值域, 熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

17.已知扇形 AOB 的半径等于 1,∠AOB=120°,P 是圆弧 (1)若∠AOP=30°,求 (2)若 的值.

上的一点.

,①求 λ,μ 满足的条件;②求 λ +μ 的取值范围.

2

2

考点:余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题:解三角形. 分析: (1)由题意确定出∠BOP 为直角,即 OP 与 OB 垂直,得到数量积为 0,原式变形后, 利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果; (2)①利用余弦定理列出关系式,利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值 2 2 化简,整理即可得到 λ,μ 满足的条件;②利用基本不等式求出 λ +μ 的取值范围即可. 解答: 解: (1)∵∠AOP=30°,∠AOB=120°, ∴∠BOP=∠AOB﹣∠AOP=120°﹣30°=90°, ∴ 则 ? ? =0, = ?( ﹣ )= ? ﹣ ? =﹣cos30°=﹣ ;

(2)①由余弦定理,知

=cos60°= ,

整理得:

= ,即 λ +μ =1+λμ,

2

2

则 λ,μ 满足的条件为
2 2



②由 λ≥0,μ≥0,知 λ +μ =1+λμ≥1(当且仅当 λ=0 或 μ=0 时取“=”) , 由 λ +μ =1+λμ≤1+
2 2 2 2

,得到 λ +μ ≤2(当且仅当 λ=μ 时取“=”) ,

2

2

则 λ +μ 的取值范围为[1,2].

点评:此题考查了余弦定理,平面向量的数量积运算,以及基本不等式的运用,熟练掌握余 弦定理是解本题的关键. 18. (16 分)已知美国苹果公司生产某款 iphone 手机的年固定成本为 40 万美元,每生产 1 只还需另投入 16 美元.设苹果公司一年内共生产该款 iphone 手机 x 万只并全部销售完,每

万只的销售收入为 R(x)万美元,且 R(x)=

(1)写出年利润 W(万元)关于年产量 x(万只)的函数解析式; (2)当年产量为多少万只时,苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最 大利润. 考点:函数与方程的综合运用. 专题:应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)利用利润等于收入减去成本,可得分段函数解析式; (2)分段求出函数的最大值,比较可得结论. 解答: 解: (1)利用利润等于收入减去成本,可得 2 当 0<x≤40 时, W=xR (x) ﹣ (16x+40) =﹣6x +384x﹣40; 当 x>40 时, W=xR (x) ﹣ (16x+40) =

∴W=
2


2

(2)当 0<x≤40 时,W=﹣6x +384x﹣40=﹣6(x﹣32) +6104,∴x=32 时,Wmax=W(32) =6104; 当 x>40 时,W= 当且仅当 ≤﹣2 ,即 x=50 时,Wmax=W(50)=5760 +7360,

∵6104>5760 ∴x=32 时,W 的最大值为 6104 万美元. 点评:本题考查分段函数模型的构建,考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能 力,属于中档题. 19. (16 分)设 f(x)=x ,等差数列{an}中 a3=7,a1+a2+a3=12,记 Sn= bn=anSn,数列 的前 n 项和为 Tn.
3

,令

(Ⅰ)求{an}的通项公式和 Sn; (Ⅱ)求证: ;

(Ⅲ)是否存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出 m,n 的值,若不存在,说明理由. 考点:等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和;等差关系的确定;数列递推式. 专题:计算题;证明题. 分析: (Ⅰ)设出等差数列的公差为 d,代入到 a3=7 和 a1+a2+a3=12 求出 a1 和 d 即可求出数 列的通项公式, 把通项公式代入到 Sn= (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=anSn=(3n﹣2) (3n+1) ,所以 ﹣ ) ,得到 bn 的前 n 项和 Tn= (1﹣ 中并根据 f (x) =x 得到 sn 的通项公式; = = (
3

)< 得证; ,

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 分别求出 T1, Tm 和 Tn, 因为 T1, Tm, Tn 成等比数列, 所以 分别讨论 m 和 n 都为正整数且 1<m<n 即可得到存在并求出此时的 m 和 n 的值即可. 解答: 解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d,由 a3=a1+2d=7,a1+a2+a3=3a1+3d=12. 解得 a1=1,d=3∴an=3n﹣2 ∵f(x)=x ∴Sn=
3

=an+1=3n+1.

(Ⅱ)bn=anSn=(3n﹣2) (3n+1) ∴ (Ⅲ)由(2)知, ∴ 当 m=1 时,7= 当 m=3 时, 当 m=5 时,
2

∴ ∴ 即 ,n=1,不合题意;当 m=2 时, = = ,n 无正整数解;当 m=4 时, ,n 无正整数解;当 m=6 时,
2



∵T1,Tm,Tn 成等比数列.

= = =

,n=16,符合题意; ,n 无正整数解; ,n 无正整数解; ,而 ,

当 m≥7 时,m ﹣6m﹣1=(m﹣3) ﹣10>0,则

所以,此时不存在正整数 m,n,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列. 综上,存在正整数 m=2,n=16,且 1<m<n,使得 T1,Tm,Tn 成等比数列. 点评: 考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项和的公式解决数学问题, 利用数列的 递推式得到数列的通项公式,以及掌握等比数列性质的能力. 20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +bx +(b﹣a)x(a,b 不同时为零的常数) ,导函数为 f′ (x) . (1)当 时,若存在 x∈[﹣3,﹣1]使得 f′(x)>0 成立,求 b 的取值范围;
3 2

(2)求证:函数 y=f′(x)在(﹣1,0)内至少有一个零点;

(3)若函数 f(x)为奇函数,且在 x=1 处的切线垂直于直线 x+2y﹣3=0,关于 x 的方程 在[﹣1,t](t>﹣1)上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围.

考点:利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 专题:计算题;证明题;压轴题;转化思想. 分析: (1)当 时,f′(x)= = ,由二次函数的性

质,分类讨论可得答案; 2 (2)因为 f′(x)=3ax +2bx+(b﹣a) ,所以 f′(0)=b﹣a,f'(﹣1)=2a﹣b, .再由 a,b 不同时为零,所以 结论成立; (3) 将“关于 x 的方程 数 f(x)与 在[﹣1, t] (t>﹣1) 上有且只有一个实数根”转化为“函
3 2

,故

的交点”问题解决,先求函数 f(x)因为 f(x)=ax +bx +(b﹣a)x 为
3

奇函数,可解得 b=0,所以 f(x)=ax ﹣ax,再由“f(x)在 x=1 处的切线垂直于直线 x+2y ﹣3=0”解得 a,从而得到 f(x) ,再求导,由 (x 上是増函数,在 ,知 f 上是减函数,明

确函数的变化规律,再研究两个函数的相对位置求解. 解答: 解: (1)当 时,f′(x)= = ,

其对称轴为直线 x=﹣b,当

,解得





,b 无解,

所以 b 的取值范围为 (2)因为 f′(x)=3ax +2bx+(b﹣a) , ∴f′(0)=b﹣a,f'(﹣1)=2a﹣b, 由于 a,b 不同时为零,所以
3 2 2



. ,故结论成立.
3

(3)因为 f(x)=ax +bx +(b﹣a)x 为奇函数,所以 b=0,所以 f(x)=ax ﹣ax, 又 f(x)在 x=1 处的切线垂直于直线 x+2y﹣3=0. 所以 a=1,即 f(x)=x ﹣x.因为 所以 f(x)在 上是増函数,
3

在 如图所示,当

上是减函数,由 f(x)=0 解得 x=±1,x=0, 时, ; ,即 ,解得

当 当

时, 时, ; 或



,解得 ,即

; ,解得



时, .





,故

当 当

时, 时, 或

或 ,无解. 或 t=

,解可得 t=



所以 t 的取值范围是



点评:本题主要考查利用导数法研究函数的单调性,主要涉及了函数的奇偶性,函数的图象 和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题.


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