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两条直线的位置关系--点到直线的距离公式


两条直线的位置关系--点到直线的距离公式
三维目标: 知识与技能:1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;?? 能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 情感和价值:1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法:学导式 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程 ?一、情境设置,导入新课: 前面几节课,我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件,两直线的夹角 公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题 的思想方法.这一节,我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距 离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线的位 置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生思考 一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?
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两条直线方程如下:
? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ? ? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

. 二、讲解新课: 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线=0 或 B=0 时,以上公式
l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?

Ax0 ? By0 ? C
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A ?B
2

2

学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念,即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线段 的长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己 熟悉的问题。 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一:

设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q, B 知,直线 PQ 的斜率为 (A≠0) ,根据点斜式 A 的方程,并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标; 点距离公式求出|PQ|, 得到点 P 到直线 l 的距 此方法虽思路自然, 但运算较繁.下面我们 方法
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y R d Q o S x l P(x0,y0)

由 PQ ⊥ l 可 写出直线 PQ 由此根据两 离为 d 探讨别一种
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方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴的平行线,交 l 于点

R( x1 , y0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) ,
? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A x ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 由? 1 1 得 x1 ? . A B ? Ax0 ? By2 ? C ? 0

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

Ax0 ? By0 ? C A

|PS|=| y0 ? y2 |=

Ax0 ? By0 ? C B
A2 ? B 2 ×| Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知:d ·| AB

|RS|= PR 2 ? PS 2 ?

RS|=|PR|·|PS|
所以 d ?

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Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2
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可证明,当 A=0 时仍适用 这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。 例 1 求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。
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解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 3 ?0
2 2

?

5 3

例 2 已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。 解:设 AB 边上的高为 h,则 1 S ? ABC = AB ? h 2

AB ?

? 3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

2

?2 2,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。 AB 边所在直线方程为 y ? 3 X ?1 ? 1? 3 3 ?1

即 x+y-4=0。 点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 h h=

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

5 , 2

1 5 因此,S ? ABC = ? 2 2 ? ?5 2 2

通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用 代数运算解决几何问题的优越性。 同步练习:114 页第 1,2 题。 4.拓展延伸,评价反思。 (1) 应用推导两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2
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A ?B
2

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2

证明:设 P0 ( x0 , y0 ) 是直线 Ax ? By ? C2 ? 0 上任一点,则点 P0 到直线 Ax ? By ? C1 ? 0 的距 离为 d ?

Ax0 ? By0 ? C1
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A2 ? B 2

又 Ax0 ? By0 ? C2 ? 0 即 Ax0 ? By0 ? ?C2 ,∴d=
2 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离.
C1 ? C 2
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A2 ? B 2

解法一:在直线 l1 上取一点 P(4,0),因为 l1 ∥ l 2
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例 3 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l 2 : ,所以点 P 到 l 2 的距离等于 l1 与 l 2 的距离.于是

d?

2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 10 2 2 ? 32

?

2 13

?

2 13 13

解法二: l1 ∥ l 2 又 C1 ? ?8, C2 ? ?10 . 由两平行线间的距离公式得 d ?

? 8 ? (?10) 2 ?3
2 2

?

2 3 13

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四、课堂练习: 1, 已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。 且该直线过点 (2, 3) ,求该直线方程。
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五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距 离转化为点到直线的距离公式 六、课后作业:
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13.求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 14.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值: 15.已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
七.板书设计:略
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C1 ? C 2
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A2 ? B 2

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