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解析几何中知识要点梳理


解析几何知识要点梳理
1、 两点间距离:若 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y 2 ) ,则 AB ? 特别地: AB // x 轴,则 AB ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2


。 AB // y 轴,则 AB ?

2、 平行线间距离:若 l1 :

Ax ? By ? C1 ? 0, 则: d ?

l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0

C1 ? C 2 A 2 ? B2

注意点:x,y 对应项系数应相等。

3、 点到直线的距离: P(x ? , y ? ), l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 P 到 l 的距离为: d ?

Ax? ? By? ? C A 2 ? B2

4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式: ?

?y ? kx ? b ?F( x, y) ? 0

2 消 y: ax ? bx ? c ? 0 ,务必注意 ? ? 0.

设直线 l 与曲线交于 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 则: AB ? 5、 直线的倾斜角 ? 与斜率 k 的关系:⑴ ? ? (0, ?) ; ⑵每一条直线都有倾斜角 ? ,但不一定有斜率;

(1 ? k 2 )(x2 ? x1 ) 2 ? (1 ? k 2 )

? a

(3) 若直线存在斜率 k,而倾斜角为 ? ,则 k=tan ? 。 6、 直线 l1 与直线 l2 的的平行与垂直 (1)若 l1,l2 均存在斜率且不重合:①l1//l2 ? k1=k2 ②l1 ? l2 ? k1k2=-1 (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 若 A1、A2、B1、B2 都不为零 ①l1//l2 ?

l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2 A1 B1 ? A2 B2

②l1 ? l2 ? A1A2+B1B2=0;

③l1 与 l2 相交 ?

④l1 与 l2 重合 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

注意:若 A2 或 B2 中含有字母,应注意讨论字母=0 与 ? 0 的情况。 7、 直线方程的五种形式 名称 斜截式: 点斜式: 方程 y=kx+b 注意点 应分①斜率不存在②斜率存在 (1)斜率不存在: x ? x? (2)斜率存在时为 y ? y? ? k ( x ? x? )
1

y ? y? ? k ( x ? x? )

两点式:

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b
其中 l 交 x 轴于 (a,0) , y 轴于 (0, b) 当直 l 在坐标轴上, 交 截距相等时应分: (1)截距=0 设 y=kx (2)截距 a ? 0 设

截距式:

x y ? ? 1 即 x+y= a a a

一般式:

Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为零)

11、圆的方程 (1)标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 , (a, b) ? ?圆心,r ? ?半径 。 (2)一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0)

D E (? ,? ) ? ?圆心 , r ? 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F 2

12、直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:若 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0

13、两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

2

14、圆锥曲线定义、标准方程及性质 (一)椭圆 定义Ⅰ:若 F1,F2 是两定点,P 为动点,且 PF ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数)则 P 点的轨迹是椭圆。 1 定义Ⅱ:若 F1 为定点,l 为定直线,动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数 e(0<e<1),则 P 点的轨迹是椭圆。 标准方程:

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
值域:

定义域: {x ? a ? x ? a}

{x ? b ? y ? b}
长轴长= 2 a ,短轴长=2b ,焦距:2c 准线方程: x ? ?

a2 c

焦半径: PF1 ? e( x ?

a2 a2 ) , PF2 ? e( ? x) , PF ? 2a ? PF2 , a ? c ? PF1 ? a ? c 等(注意涉及焦 1 c c

半径①用点 P 坐标表示,②第一定义。) 注意:(1)图中线段的几何特征: A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c , A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c

B1 F1 ? B1 F2 ? B2 F2 ? B2 F1 ? a , A2 B2 ? A1 B2 ? a 2 ? b 2 等等。顶点与准线距离、焦
点与准线距离分别与 a, b, c 有关。 (2) ?PF F2 中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段 PF 、 PF2 、2c,有关角 ?F1 PF2 结 1 1 .... ....... 合起来,建立 PF + PF2 、 PF ? PF2 等关系 1 1 (3)椭圆上的点有时常用到三角换元: ?

? x ? a cos? ; ? y ? b sin ?

(4)注意题目中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上,请补充当焦点在 y 轴上时,其相应的性质。 (5)焦点三角形的面积公式: (6) b2 ? PF ? PF2 ? a2 1

S?PF1F2 ? b2 tan ? , ??为?F1PF2 ?。 2

二、双曲线
3

(一)定义:Ⅰ若 F1,F2 是两定点, PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数),则动点 P 的轨迹是双 曲线。 Ⅱ若动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1),则动点 P 的轨迹是双曲线。 (二)图形:

(三)性质

x2 y2 方程: 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) a b
定义域: {x x ? a或x ?a} ;

y2 x2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) a2 b2
值域为 R; 准线方程: x ? ?

实轴长= 2 a

虚轴长=2b

焦距:2c

a2 c

a2 a2 ) , PF2 ? e( ? x) , PF1 ? PF2 ? 2a ; 焦半径: PF1 ? e( x ? c c
注意:(1)图中线段的几何特征: AF1 ? BF2 ? c ? a , AF2 ? BF ? a ? c 1 顶点到准线的距离: a ?

a2 a2 a2 a2 或a ? 或c ? ; 焦点到准线的距离: c ? c c c c

两准线间的距离=

2a 2 c

x2 y2 x2 y2 b (2)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x a a b a b
若渐近线方程为 y ? ?

x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b
4

2

2

x2 y2 x2 y2 若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b
( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上) (3)特别地当 a ? b时 ? 离心率 e ? 双曲线,可设为 x 2 ? y 2 ? ? ; (4) 注意 ?PF F2 中结合定义 PF1 ? PF2 ? 2a 与余弦定理 cos?F1 PF2 , 将有关线段 PF 、PF2 、 1 1

2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲线为等轴

F1 F2 和角结合起来。
(5)完成当焦点在 y 轴上时,标准方程及相应性质。 二、抛物线 (一)定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e=1)。 (二)图形:

(三)性质:方程: 焦点: (

y 2 ? 2 px, ( p ? 0), p ? ?焦参数;
p ,0) 2
通径 AB ? 2 p 准线:

x??

p ; 2

焦半径: CF ? x ? ?

p , 2

过焦点弦长 CD ? x1 ?

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p 2 2

注意:(1)几何特征:焦点到顶点的距离=

p ;焦点到准线的距离= p ;通径长= 2 p 2

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

y 2 2 (2)抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y? ) 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ( x? , y? )其中y? ? 2 px? 2p
2

2

5


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