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三角函数的图像与性质


第三部分

三角、向量与解三角形

专题8

三角函数的图象与性质

第三部分
能力目标解读 热点考题诠释

专题8

三角函数的图象与性质
高考能力突破

高考能力解读

-3-

/>本部分在高考中主要考查三角函数的定义、三角函数的基本关系式、 诱导公式和三角函数的解析式、 单调性、奇偶性、 周期性、 最值、 对称性、 图象及其变换等,出现频率高的知识有 :三角函数的基本关系式、最值、基 本性质的判断. 1.本部分内容主要通过客观题的形式考查,并且知识点配置灵活、综合 性较强,三角函数的几何定义与三角变换知识的综合将会是一大高考方向, 对于三角函数的图象、 基本性质和图象变换等高频考点平时要多强化训练. 2.三角中的解答题有时需要本节知识作为铺垫,从这个角度也应重视 本节基础性的地位. 3.本部分常用到分类讨论、数形结合、化归与整体代换等思想方法.

第三部分
能力目标解读 热点考题诠释

专题8

三角函数的图象与性质
高考能力突破

高考能力解读

-4-

1 2 3
π 3

1.(2014 辽宁高考,理 9)将函数 y=3sin 2 + 位长度,所得图象对应的函数( A.在区间 B.在区间 C.在区间 D.在区间
π 7π , 上单调递减 12 12 π 7π , 上单调递增 12 12 π π - , 上单调递减 6 3 π π - , 上单调递增 6 3

的图象向右平移 个单

π 2

)

关闭

命题定位:本题主要考查三角函数图象的平移变换、三角函数的单调 设平移后的函数为 f(x),则
π π π π 性 f(x; )通过本题要掌握三角函数图象的变换规律 =3sin 2 - + =3sin 2 + -π =-3sin ,并能够结合图象和运算求解 2 + .令 5π 两种方法来研究函数的单调情况 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得 f.(x)的递减区间为 π- ,kπ + π π 2 3 2 2 3 π 3 3 π 12 12

,k∈Z,同
关闭

理得递增区间为 π + ,kπ + ,k∈Z.从而可判断得 B 正确. B 12 12
解析

π



答案

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专题8

三角函数的图象与性质
高考能力突破

高考能力解读

-5-

1 2 3

2.(2014 安徽高考,理 6)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x+π)=f(x)+sin x.当 0≤x<π 时,f(x)=0,则 f A.
1 2 23π 6 3 B. 2

=(

) C.0 D.1 2

命题定位:本题主要考查三角函数的求值、诱导公式和周期性;本题对 逻辑推理能力有较好体现,同时也考查了转化与化归思想及运算求解能力.

关闭

由题意得 f
1 23 π 6 1

=f
1 2

17 π 6 1 2

+sin

17 π 6

=f

11 π 6

+sin

11 π 6

+sin

17 π 6

=f

5π 6

+sin +sin
6



11 π 6

+sin

17 π 6

=0+
关闭

A 2 2

? + = .
解析

答案

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三角函数的图象与性质
高考能力突破

高考能力解读

-6-

1 2 3
π 3

∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π π (2)求 f(x)在闭区间 - 4 , 4 上的最大值和最小值.

3.(2014 天津高考,理 15)已知函数 f(x)=cos x· sin + 3 ? 3cos2x+ 4 ,x

命题定位:本题主要考查三角函数的图象和性质、三角恒等变换公式 等;能力方面,要注重数形结合及整体代换思想的应用.

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三角函数的图象与性质
高考能力突破

高考能力解读

-7-

1 2 3

3 3 cos2x+ 2 4

解:(1)由已知,有 f(x)=cos x·2 sin + = sin2x- (1+cos2x)+
2π 2 1 4 3 4 3 4

1

=

3 3 1 2 cos ? 3 cos x+ = sin 2 4 2 1 3 1 π sin2x- cos2x= sin 2- . 4 4 2 3

x· cos x-

所以,f(x)的最小正周期 T= =π.
π π π π 上是减函数,在区间 - , 上是增函数, 4 12 12 4 π 1 π 1 π 1 f - 4 =-4,f - 12 =-2,f 4 = 4, π π 1 1 所以,函数 f(x)在闭区间 - 4 , 4 上的最大值为4,最小值为-2.

(2)因为 f(x)在区间 - ,-

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能力突破点一 能力突破点二

专题8

三角函数的图象与性质
高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-8能力迁移训练

能力突破点四

能力突破点一 三角函数的基本概念
【例 1】已知角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边与单 位圆交点的横坐标是- ,若 α∈(0,π),则 tanα=
3 5

.

分析推理本题的关键是抓住角 α 的终边与单位圆交点的坐标 与角 α 的三角函数值之间的关系,再者,在给定角范围的某一个三角函数值求 另外三角函数值时,一般用同角三角函数基本关系式和诱导公式. 我的解答: 解析:由三角函数的定义可知 cosα=-5,∵α∈(0,π),∴sinα= 1-cos2 α = 5.
sin ∴tanα= cos 3 4
4 4 5 =. 3 -5 3

=

答案:-3

4

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三角函数的图象与性质
高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-9能力迁移训练

能力突破点四

点评:本题除了要熟知单位圆中三角函数的定义外,还要注意在利用诱 导公式和同角三角函数的基本关系式时,一定要特别注意符号的判断,同角 三角函数的平方关系中,开方后的符号要根据角所在的象限来确定,诱导公 式要理解“奇变偶不变,符号看象限”的含义.

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三角函数的图象与性质
高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-10能力迁移训练

能力突破点四

1.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=-2x 上,则 cos 2θ=( ) A.4 5

B.-

3 5

C.

3 5

D.

4 5

关闭

(方法一)在角 θ 终边上任取一点 P(a,-2a)(a≠0),则 r2=|OP|2=a2+(-2a)2=5a2, ∴cos θ=
B
2

2

5 2

= .
5
2

1

∴cos 2θ=2cos θ-1= -1=- . (方法二)tan θ=
-2 5 5

2

3

=-2,cos 2θ=

co s 2 θ -si n 2 θ

co s 2 θ +si n 2 θ

=

1-ta n 2 θ 1+ta n 2 θ

关闭

=- .
5

3

解析

答案

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高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-11能力迁移训练

能力突破点四

能力突破点二
示,则 ω,φ 的值分别是( )

三角函数的图象与解析式
π 2 π 2

【例 2】函数 f(x)=2sin(ωx+φ) > 0,- < φ <

的部分图象如图所

A.2,-

π 3

B.2,-

π 6

C.4,-

π 6

D.4,

π 3 2π

分析推理对于参数 A,ω 和 φ 的值的求解,一般先根据函数 的最值确定 A,然后根据图象得出函数的周期 T,再利用公式 ω= 求出 ω, 最后确定 φ,φ 的求解方法有两种,可以将关键点代入已知函数解析式利用 待定系数法得出,也可以用“五点作图法”中的关键点法来得出.

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高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-12能力迁移训练

能力突破点四

我的解答: 解析:由题中图象可知 = 即 T=π,则 ω= ∵点 答案:A 点评:(1)若函数形式为 y=Asin(ωx+φ)+B,确定振幅要根据 A=
最大值-最小值 最大值+最小值 ,B= . 2 2 2π 2

=

5π ,2 是该函数五点法作图中的第二个关键点, 12 5π π 5π π π ∴ω× +φ= ,即 2× +φ= ,解得 φ=- . 12 2 12 2 3

2π =2. π

11π 5π ? 12 12

= ,

π 2

(2)若给出的图象没有一个完整的周期,一定要补全至少一个周期,这样 容易确定周期. (3)求 φ 时若用代入法,一定要注意尽量代入函数的极值点,不要代入零 点,不然还要检验.

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三角函数的图象与性质
高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-13能力迁移训练

能力突破点四

2.下图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的一部分,则其函数解 析式是( )

A.y=sin + 3

π π

B.y=sin - 3

π π
关闭

C.y=sin 2 + 6

D.y=sin 2- 6
4 π π 3

由题中图象可知振幅 A=1, = ? ∵
π π 6 6

= ,则 T=2π.故 ω= =1.
2
关闭

π



,1 可看做“五点法”作图的第二个关键点,
π π π 3 2 3

A

∴ +φ= .∴φ= .∴y=sin +
6

.
解析

答案

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高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-14能力迁移训练

能力突破点四

能力突破点三
A.8
π

三角函数的图象变换
C. 8


【例 3】若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图 象关于 y 轴对称,则 φ 的最小正值是( ) B.4
π

D. 4



分析推理本题所给函数的形式不是正弦型函数或余弦型 函数,而平移一般是针对一种三角函数形式,故先考虑利用三角恒等变换公 式将其变形,利用平移规律含着参数进行变换得出所需的函数解析式;函数 图象关于 y 轴对称,即函数为偶函数,考虑到函数属于三角函数的范畴,因此 只需控制函数的初相 φ 即可.

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三角函数的图象与性质
高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-15能力迁移训练

能力突破点四

我的解答: 解析:由题意可得 f(x)=sin 2x+cos 2x= 2sin 2 + 个单位得到 g(x)= 2sin 2 + -φ ∴ -2φ=kπ+ ,k∈Z,即 φ=因此当 答案:C 点评:本题常犯的错误有两个:一是用错辅助角公式,化简变形出错,这 一步直接关系到后面的运算,要引起足够的注意;二是平移方向或平移量弄 错,本题平移的时候容易得到 g(x)= 2sin 2- +
π 4 π 4 π 2 π 4 π 8 π 4

,将其图象向右平移 φ
π 4

= 2sin 2 + -2φ 的图象.

∵g(x)= 2sin 2 + -2φ 的图象关于 y 轴对称,即函数 g(x)为偶函数,
π π ? ,k∈Z. 2 8 3π k=-1 时,φ 有最小正值 . 8

这种错误的形式,因此

对于 y=Asin(ωx+φ)中 ω 不为 1 的情况尤其要重视.

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高考能力突破 能力突破模型

高考能力解读 能力突破点三

-16能力迁移训练

能力突破点四

3.将函数 f(x)=sin(ωx+φ) > 0,- 2 ≤ φ < 2 图象上每一点的横坐标缩 短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移6个单位长度得到 y=sin x 的图象, 则f
π 6

π

π

π

π 6

=

.

关闭

先将 y=sin x 按照题目中相反的方法变换可得函数 f(x)的表达式,再求 f 的值. 将函数 y=sin x 的图象向左平移 个单位长度可得函数 y=sin +
6 π π 6



图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍可得函数 y=sin 象, 故 f(x)=sin
2 所以 2
1 2

1 2

x+

π 6

的图

x+
1 2

π 6

.
π 6

f

π 6

=sin

×

+

π 6

=sin =
4

π

2 2

关闭

.
解析 答案

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-17能力迁移训练

能力突破点四

能力突破点四

三角函数图象与性质的综合应用

【例 4】某实验室一天的温度(单位:℃)随时间 t(单位:h)的变化近似满 足函数关系: π π f(t)=10- 3cos t-sin t,t∈[0,24). 12 12 (1)求实验室这一天上午 8 时的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 分析推理(1)直接代入 t=8 解答即可; (2)求温差,即求函数最大值与最小值的差,而三角函数求最值,常借助 三角函数的有界性及单调性求解,题中给出的解析式形式往往借助辅助角 公式化成仅有一个三角函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的形式.

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-18能力迁移训练

能力突破点四

我的解答: 解:(1)f(8)=10- 3cos 1 2

?

3 =10. 2

π × 12

8 -sin

π × 12

8 =10- 3cos -sin =10- 3 ×

2π 3

2π 3

故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃.
3 π 1 π π π cos t + sin t =10-2sin t+ 2 12 2 12 12 3 π π π 7π 又 0≤t<24,所以 ≤ t+ < , 3 12 3 3 π π -1≤sin t + ≤1 . 12 3 π π π π 当 t=2 时,sin t + =1;当 t=14 时,sin t + =-1. 12 3 12 3

(2)因为 f(t)=10-2

,

于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大温差为 4 ℃.

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-19能力迁移训练

能力突破点四

点评:(1)当函数的形式不是正弦型或余弦型函数时,一般考虑利用三角 恒等变换公式将其变形为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ),这样便于研究函 数的图象和性质. (2)第(1)问中温度的求解不需要函数形式的特殊要求,但第(2)问中的最 大温差的求解就体现了函数需要合理变形的必要. (3)三角函数与实际接轨,要注意所求数学问题的解要检验后再还原回 实际.

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-20能力迁移训练

能力突破点四

4.已知函数 f(x)=2cos x(sinx+cos x). (1)求 f (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解法一:(1)f =-2cos
π 4 5π 4 π

5π 4

的值;
5π 4 5π 4 5π 4

=2cos
π 4

sin

+ cos

-sin -cos
4

=2.
π 4

(2)因为 f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1= 2sin 2 + 所以 T= =π. 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
8 8 2 3π 4 π 2 π 2 π π 2π

+1,

所以 f(x)的单调递增区间为 π-

3π 8

,kπ +

π 8

,k∈Z.

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-21能力迁移训练

能力突破点四

解法二:f(x)=2sin xcos x+2cos2x =sin 2x+cos 2x+1= 2sin 2 + (1)f
5π 4 π π 4

+1.

= 2sin

11 π 4

+1

= 2sin +1=2. (2)T= =π.
2 4 2π π

由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.
8 8 2 3π 4 π 2

π

π

所以 f(x)的单调递增区间为 π-

3π 8

,kπ +

π 8

,k∈Z.


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