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选修1-1高二数学文科期末测试题


高二选修 1-1 数学文科期末测试题
出题人 杨娜

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.有以下四个命题:①若 ③若 x ? y ,则 x ?

1 1 ? ,则 x ? y .②若 lg x 有意义,则 x ? 0 . x y
)

y .④若 x ? y ,则 x 2 ? y

2 .则是真命题的序号为(
C.②③ )
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

A.①② B.①③ x ? 0 x 2. “ ”是 “ ? 0 ”是的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 3.若方程 C: x ?
2
?

D.③④ B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

y2 ? 1 ( a 是常数)则下列结论正确的是( a
?
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

A. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆 C. ?a ? R ,方程 C 表示椭圆 4.抛物线: y ? x 的焦点坐标是(
2
?

B. ?a ? R ,方程 C 表示双曲线 D. ?a ? R ,方程 C 表示抛物线 ) C. ( ,0)

A. (0, ) 5.双曲线: x ?
2

1 2

B. (0, )

1 4

1 2

D. ( ,0)

1 4

y2 ? 1 的渐近线方程和离心率分别是( 4
B. y ? ?



A. y ? ?2 x; e ? 3 C. y ? ?

1 x; e ? 5 2

1 x; e ? 3 2

D. y ? ?2 x; e ? 5 ) D. y ? x ? e ) D. a ? 0 ) D.1 )

x 6.函数 f ( x) ? e ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是(

A. y ? 2e( x ? 1)
3

B. y ? ex ? 1

C. y ? e( x ? 1) (

7.函数 f ( x) ? ax ? x ? 1有极值的充要条件是 A. a ? 0 B. a ? 0
3

C. a ? 0

8.函数 f ( x) ? 3x ? 4 x A.

( x ??0,1? 的最大值是( C.0

1 2

B. -1

9.过点 P(0,1) 与抛物线 y 2 ? x 有且只有一个交点的直线有(
A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条

10.函数 f ( x ) ?

1 4 1 2 x ? ax ,若 f ( x) 的导函数 f ?( x) 在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范 12 2
D. a ? 0

围是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 0 2 2 11.双曲线 4x +ty -4t=0 的虚轴长等于( ) A. 2 t 12. 若椭圆 B.-2t C. 2 ? t

D.4

b x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 和圆 x 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 , (c 为椭圆的半焦距),有四个不 2 2 a b 同的交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( ) 5 3 2 5 2 3 5 A. ( B. ( C. ( D. (0, , ) , ) , ) ) 5 5 5 5 5 5 5

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13. AB 是过 C: y 2 ? 4 x 焦点的弦,且 AB ? 10,则 AB 中点的横坐标是_____. 14.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? b 在 x ? 1 时取得极值,则实数 a ? _______.
2 2 15. 已知一个动圆与圆 C: ( x ? 4) ? y ? 100 相内切,且过点 A(4,0) ,则这个动圆圆心的

轨迹方程是_______________ 16.对于函数 f ( x) ? ax , (a ? 0) 有以下说法:
3

① x ? 0 是 f ( x ) 的极值点. ②当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (??,??) 上是减函数. ③ f ( x ) 的图像与 (1, f (1)) 处的切线必相交于另一点.

1 x 其中说法正确的序号是_______________.

④若 a ? 0 且 x ? 0 则 f ( x ) ? f ( ) 有最小值是 2 a .

三.解答题(17 题 10 分,18---22 题均 12 分,共 70 分)
17. 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1, (a ? 2) 上一点 P 到它的两个焦点 F1 (左), F2 (右)的距离的 a2 4

和是 6, (1)求椭圆 C 的离心率的值. (2)若 PF2 ? x 轴,且 p 在 y 轴上的射影为点 Q ,求点 Q 的坐标.

18. 如图:是 y ? f ( x) = (1,0)和(3,0)

a 3 x ? 2 x 2 ? 3a 2 x 的导函数 y ? f ?( x ) 的简图,它与 x 轴的交点是 3
y

(1)求 y ? f ( x) 的极小值点和单调减区间 (2)求实数 a 的值. 1 0 3 x

19. .双曲线 C: x 2 ? y 2 ? 2 右支上的弦 AB 过右焦点 F . (1)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 (2)是否存在以 AB 为直径的圆过原点 O?,若存在,求出直线 AB 的斜率 K 的值.若不存在, 则说明理由.

20.设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2



(1)求函数 f ( x ) 的单调区间. (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有三个实根,求实数 a 的取值范围.

21.已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函数,
3 2

3 . 2 (1)求 f ( x) 的解析式. (2)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围.
又 f ?( ) ?

1 2

22. 已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) ,焦点为 F,一直线 l 与
2

抛物

线交于 A、B 两点,AB 的中点是 M( x0 , y0 )且

M

AF ? BF ? 8 ,AB 的垂直平分线恒过定点 S(6, 0)
(1)求抛物线方程; (2)求 ?ABF 面积的最大值.

高二数学文科试题参考答案
一. ABBBD,CCDBA,CA

x2 y2 二. 4;-2; 25 ? 9 ? 1 ;②③
三 17.(1) a ? 3 ---------2 分

e?

5 ---------5 分 3

(2) Q (0,? ) -------10 分

4 3

18.(1) x ? 3 是极小值点-----3 分

?1,3? 是单调减区间-----6 分

' 2 2 (2)由图知 a ? 0 , f ( x) ? ax ? 4 x ? 3a
' ? ? f (1) ? 0 ? a ? 1 -------12 分 ? ' ? ? f (3) ? 0

2 2 19.(1) x ? 2x ? y ? 0 , ( x ? 2 )-------6 分

注:没有 x ? 2 扣 1 分

(2)假设存在,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , l AB : y ? k ( x ? 2) 由已知 OA ? OB 得: x1 x2 ? y1 y2 ? 0

(1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k 2 ( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? 0 ---------



?x 2 ? y 2 ? 2 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 ? y ? k ( x ? 2 ) ?
所以 x1 ? x2 ?

4k 2 4k 2 ? 2 2 , x x ? (k ? 1) --------② 1 2 k 2 ?1 k 2 ?1
2

联立①②得: k ? 1 ? 0 无解 所以这样的圆不存在.-----------------------12 分 20.(1) ?? ?,1? 和 ?2,??? 是增区间; ?1,2? 是减区间--------6 分 (2)由(1)知 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ;----------9 分 因为方程 f ( x) ? 0 仅有三个实根.所以 ? 解得: 2 ? a ?

? f (1) ? 0 ? f (2) ? 0

5 ------------------12 分 2 21. (1) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 , ?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2 ? 1 ? 3a 3a 3 ? a ? ?2 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ? f ?? ? ? ? ? ?2? 4 2 2 ? f ( x) ? ?2x3 ? 3x2 .--------------6 分 3 2 (2)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x ? 3x ? x ≤ 0 , 1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x ≥ 1 . 2 1 又 f ( x) ≤ x 在区间 ?0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤ --------12 分 2
另解:设 g ( x) ? f ( x) ? x ? ?2 x ? 3x ? x ? 0 在 ?0, m ? 上恒成立
3 2



即求在 ?0, m ? 上 ?g ( x)?max ? 0 满足的条件

g ' ( x) ? ?6x 2 ? 6x ? 1 ? 0 , x ?

3? 3 3? 3 或 6 6

?3? 3 3? 3? ? g ' ( x) ? 0 ? ? ? 6 , 6 ? 是单调增区间 ? ?

? ? 3? 3? ?3? 3 ? ? ? g ' ( x) ? 0 ? ? ? ? ?, 6 ?和? 6 ,?? ? 是单调减区间 ? ? ? ?
①若 0 ? m ?

? 3? 3 3? 3? , 则有?0, m? ? ? ? ? , ? ? 6 6 ? ?

g ( x) max ? g (0) ? 0, 成立
②若

3? 3 3? 3 ?m? , 有g (m) ? 0 6 6 3? 3 1 ?m? 6 2

综合得:

③m ?

3? 3 3? 3 3 , 有g ( )? ? 0, 矛盾 6 6 18
1 2

综上: 0 ? m ?

22.(1)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , AB 中点 M ( x0 , y0 ) 由 AF ? BF ? 8 得 x1 ? x 2 ? p ? 8,? x0 ? 4 ?

p 2

2 ? p ? y1 ? 2 px1 2 2 又? 2 得 y1 ? y 2 ? 2 p( x1 ? x 2 ),? y 0 ? k ? ? y 2 ? 2 px2

p p p k 所以 M (4 ? , ) 依题意 ? k ? ?1 , ? p ? 4 p 2 k 4? ?6 2
抛物线方程为 y ? 8x ------------------6 分
2

(2)由 M (2, y0 ) 及 k l ? 令 y ? 0 得 xK ? 2 ?
2

4 4 ( x ? 2) , l AB : y ? y 0 ? y0 y0

1 2 y0 4

又由 y ? 8x 和 l AB : y ? y 0 ?

4 2 ( x ? 2) 得: y 2 ? 2 y0 y ? 2 y0 ? 16 ? 0 y0

? S ?ABF ?

1 1 1 2 2 2 ? KF ? y2 ? y1 ? ( y0 ) 4 y0 ? 4(2 y0 ? 16) 2 2 4 1 2 1 2 4 6 16 y0 ? y0 = y 0 16 ? y 0 = 4 4

4 6 令 h( y0 ) ? 16y0 ? y0 , ( y0 ? 0)
3 5 3 h ' ( y0 ) ? 64 y0 ? 6 y0 ? 6 y0 (

32 2 ? y0 ) 3

当 h ( y0 ) ? 0,0 ? y0 ?
'

32 3 32 3

当 h ( y0 ) ? 0, y0 ?
'

所以 y0 ?

32 是极大值点,并且是唯一的 3 32 32 3 时, ( S ?ABF ) max ? -----------------12 分 9 3

所以 y0 ?


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