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2017优化方案高考总复习·数学理(江苏专用)第十章第3讲知能训练轻松闯关


,[学生用书 P200]) 1.求证:12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1) (n∈N*). 6 1·(1+1)(2+1) 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1,左边=右边,等式 6 成立; (2)假设 n=k(k∈N*,且 k≥1)时,等式成立, k(k+1)(2k+1) 即 12+22+…+k2= , 6 则当 n=k+1 时,12+22+…+k2+(k+1)2 = = k(k+1)(2k+1) +(k+1)2 6 (k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] , 6 所以当 n=k+1 时,等式仍然成立. 由(1)(2)可知,对于?n∈N*等式恒成立. 1 2.用数学归纳法证明:12+32+52+…+(2n-1)2= n(4n2-1)(n∈N*). 3 1 证明:(1)当 n=1 时,左边=12=1,右边= ×1×(4-1)=1,等式成立. 3 1 (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时等式成立,即 12+32+52+…+(2k-1)2= k(4k2-1). 3 1 1 则当 n=k+1 时,12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2= k(4k2-1)+(2k+1)2= k(4k2- 3 3 1)+4k2+4k+1 1 1 = k[4(k+1)2-1]- k·4(2k+1)+4k2+4k+1 3 3 1 1 = k[4(k+1)2-1]+ (12k2+12k+3-8k2-4k) 3 3 1 1 = k[4(k+1)2-1]+ [4(k+1)2-1] 3 3 1 = (k+1)[4(k+1)2-1]. 3 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式都成立. 1 1 3.设 0<a<1,定义 a1=1+a,an+1= +a,求证:对任意 n∈N*,有 1<an< . an 1-a 1 证明:(1)当 n=1 时,a1=1+a>1,又 a1=1+a< ,显然命题成立. 1-a (2)假设 n=k(k∈N*,k≥1)时,命题成立,即 1<ak< 1 则当 n=k+1 时,由递推公式,知 ak+1= +a, ak 1 1 由假设可得(1-a)+a< +a<1+a< . ak 1-a 1 于是当 n=k+1 时,命题也成立,即 1<ak+1< . 1-a 1 由(1)(2)可知,对任意 n∈N*,有 1<an< . 1-a 1 . 1-a 4.用数学归纳法证明 an 1+(a+1)2n 1(n∈N*)能被 a2+a+1 整除. 证明:(1)当 n=1 时,a2+(a+1)=a2+a+1 可被 a2+a+1 整除. (2)假设 n=k(k≥1,k∈N*)时, + - ak 1+(a+1)2k 1 能被 a2+a+1 整除, 则当 n=k+1 时, + + + - ak 2+(a+1)2k 1=a· ak 1+(a+1)2(a+1)2k 1 + - - =a· ak 1+a· (a+1)2k 1+(a2+a+1)(a+1)2k 1 + - - =a[ak 1+(a+1)2k 1]+(a2+a+1)(a+1)2k 1 + - - 由假设可知 a[ak 1+(a+1)2k 1]能被 a2+a+1 整除,(a2+a+1)(a+1)2k 1 也能被 a2+a +1 整除, + + 所以 ak 2+(a+1)2k 1 也能被 a2+a+1 整除, 即 n=k+1 时命题也成立, 由(1)(2)知,对任意 n∈N*原命题成立. + - an 1 5.已知数列{an}的前


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