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整除专题训练2


数的整除(能被 7、9、11、13 整除的数的特征)专题训练
例题精讲 1、判断 47382 能否被 3 或 9 整除? 分析:能被 3 或 9 整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是 3 或 9 的倍数。 47382 各个数位的数字相加和是 24,24 是 3 的倍数但不是 9 的倍数。 解:47382 能被 3 整除,不能被 9 整除

2、判

断 42559,7295871 能否被 11 整除? 分析:一个三位以上的整数能否被 11 整除,只须看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和 差能否被 11 整除。 解: 42559 奇数位的数字和为 4+5+9=18, 偶数位的数字和为 2+5=7, 18-7=11 是 11 的倍数, 所以 425 能被 11 整除;7295871 奇数位的数字和为 7+9+8+1=25,偶数位的数字和为 2+5+7=14,25-14=11 是 的倍数,所以 7295871 也能被 11 整除。

3、32335 能否被 7 整除? 分析:一个三位以上的整数能否被 7(11 或 13)整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数 末三位以前的数字组成的数的差(以大减小)能否被 7(11 或 13)整除。 解:335-32=303,303 不能被 7 整除,所以 32335 不能被 7 整除。

专题特训 1、把 516 至少连续写几次,所组成的数能被 9 整除? 2、四位数 36AB 能同时被 2、3、4、5、9 整除,则 A= B= ? 3、173□是一个四位数,在这个□中先后填入 3 个数,所得到的 3 个四位数依次能被 9、11、6 整除 先后填入的 3 个数分别是几? 4、九位数 8765□4321 能被 21 整除,□中应填几? 5、 用 1~7 七个数字组成不重复数字且能被 11 整除的七位数,最大的七位数与最小七位的数差 多少? 6、一个五位数 a236b 能被 63 整除,这个五位数是多少? 7、如果六位数 1992 口口能被 105 整除,那么它的最后两位数是多少? 8、有三个连续的两位数,它们的和也是两位数,并且是 11 的倍数.这三个数可能是多少? 9、 一个六位数 23□56□是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商可能是多少? 10、42□28□是 99 的倍数,这个数除以 99 所得的商是多少?

1、解:能被 9 整除的数的特点是各数位的数字和能被 9 整除,5+1+6=12,至 少再连续写三次,得到 516516516 各数字的和为 36,才能被 9 整除。 2、解:由能被 2 和 5 整除可判断 B=0。能被 3 和 9 整除可得 A 可能是 0、9, 由能被 4 整除可得 A 只能为 0,所以 A=0,B=0。 3、解:能被 9 整除,□中应填 7,能被 11 整除,□中应填 8,能被 6 整除,□ 中应填 4 4、解:21=3× 7,所以 8756□4321 能被 3 和 7 同时整除,根据特征判断可得□ 中应填 0。 5、解:根据能被 11 整除的数的特征,最大的七位数应为 7645231,最小的七
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位数为 1235476,二者的差为 7645231-1235476=6409755 6、解:这个数能被 63 整除即能被 7 和 9 同时整除,符合条件的数为 22365。 7、解: 因为 105=3× 5,所以这个六位数同时满足能被 3、7、5 整除的数的 7× 特征即可。根据整除特征可得末位只能为 0 或 5。 如果末位填入 0,那么数字和为 1+9+9+2+口+0=21+口,要求数字和是 3 的倍数,所以口可以为 0,3,6,9,验证均不是 200-199=1,230-199=31, 260-199=61,290-199=91,有 9l 是 7 的倍数,即 199290 是 7 的倍数,所以题 中数字的末两位为 90。 8、解:三个连续的两位数其和必是 3 的倍数,已知其和是 11 的倍数,而 3 与 11 互质,所以和是 33 的倍数,能被 33 整除的两位数只有 3 个,它们是 33、66、99. 所以有 当和为 33 时,三个数是 10,11,12; 当和为 66 时,三个数是 21,22,23; 当和为 99 时,三个数是 32,33,34。 9、 解: 一个数如果是 88 的倍数,这个数必然既是 8 的倍数,又是 11 的倍数.根据 8 的倍数,它的末三位数肯定也是 8 的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是 0 或 8.而 11 的倍数奇偶位上数字和的差应是 0 或 11 的倍数,从已知的四个数看, 这个六位数奇偶位上数字的和是相等的,要使奇偶位上数字和差为 0,两个方框 内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种可能

又 230560 88=2620 238568 88=2711 所以,本题的答案是 2620 或 2711。 10、解:因为 99=9× 11,所以 42□28□既是 9 的倍数,又是 11 的倍数.根据是 9 的 倍数的特点,这个数各位上数字的和是 9 的倍数.42□28□这个六位数中已知的四 个数的和是 4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是 2 或 11.我们把右起第一、 三、五位看做奇位,那么奇位上已知两个数字的和是 2+2=4,而偶位上已知两 个数字的和是 4+8=12,再根据是 11 的倍数的特点,奇位上数字的和与偶位上 数的和之差是 0 或 11 的倍数,所以填入空格的两个数应该相差 3 或相差 8.从 以上分析可知填入的两个数字的和不可能是 2,应该是 11.显然它们的差不可能 是 8,应该是 3,符合这两个条件的数字只有 7 和 4.填入空格时要注意 7 填在偶位 上,4 填在奇位上,即原六位数是 42 7 28 4 ,又 427284 99=4316,所以所得的商 是 4316。 数的整除具有如下性质: 性质 1 如果甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除,那么甲数一定能被丙数整除。 例如,48 能被 16 整除,16 能被 8 整除,那么 48 一定能被 8 整除。 性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差也一定能被这 个自然数整除。例如,21 与 15 都能被 3 整除,那么 21+15 及 21-15 都能被 3 整除。 性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除,那么这个数一定能被这两个 互质的自然数的乘积整除。例如,126 能被 9 整除,又能被 7 整除,且 9 与 7 互质, 那么 126 能被 9×7=63 整除。
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利用上面关于整除的性质,我们可以解决许多与整除有关的问题。 例1. 在 853 后面补上 3 个数字组成一个六位数,使这个六位数能同时被 3,4,5 整除。这样的六位数中最大的是多少? 解题思路:因为 3,4,5 两两互质,所以 853□□□末两位可以是 20,40,60,80,00,再 根据能被 3 整除的数的特征,8+5+3+9+8+0=33,这个数最大是 853980。 解:这样的六位数中最大的是 853980。 做练习题。 例 2.判断 34101 能不能被 7 或 11 或 13 整除。 解题思路:根据能被 7,11,13 整除的数的特征,用末三位 101 减去末三位前面的数 34,即 101-34=67,看这个差能不能被 7、11、13 整除就可以判断出 34101 能不能被 7、 11、13 整除。 解:101-34=67 67 不能被 7 整除,所以 34101 不能被 7 整除。67 不能被 11 整除,所以 34101 不 能被 11 整除。67 不能被 13 整除,所以 34101 不能被 13 整除。 例 3.由 4,5,6 三张数字卡片能组成多少个能被 2 整除的三位数? 解题思路: 卡片 6 可以看成 9,所以能被 2 整除的有 564,654,594,954,456, 546。 解:6 个。 练习:1. 用 0,1,2,3,4,5 这六个数码组成的没有重复数字的两位数中,能被 5 整除的有几个?能被 2 整除的有几个?能被 10 整除的有几个?

2.42□28□是 99 的倍数,这个数除以 99 所得的商是多少?

3.五位数

能被 72 整除,问:A 与 B 各代表什么数字?

4. 七位数 175□62□的末位数字是__的时候,不管千位上是 0 到 9 中的哪一个数字, 这个七位数都不是 11 的倍数。 5. 学校买了 72 只小足球,发票上的总价有两个数字已经辨认不清,只看到是□67.9 □元,你知道每只小足球多少钱吗? 6. 某个七位数 1993□□□能同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除,那么它的最后三 位数字依次是多少? 比一比.在一个两位数中间插入一个数字, 就变成了一个三位数。 52 中间插入 4 后变 如 成 542。有些两位数中间插入某个数字后变成的三位数,是原两位数的 9 倍。这样的两 位数共有多少个?

1. 解:有 9 个能被 5 整除;有 13 个能被 2 整除;有 5 个能被 10 整除。 2.讲析:能被 99 整除的数,一定能被 9 和 11 整除。
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设千位上和个位上分别填上数字 a、b,则:各位上数字之和为[16+(a+b)]。要使 原数能被 9 整除,必须使[16+(a+b)]是 9 的倍数,即(a+b)之和只能取 2 或 11。 又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是(8+a-b)或(b-a-8) ,要使原数能 被 11 整除,必须使(8+a-b)或(b-a-8)是 11 的倍数。经验证, (b-a-8)是 11 的倍数 不合。 所以 a-b=3。 又 a+b=2 或 11,可求得 a=7,b=4。 从而很容易求出商为 427284÷99=4316。 3.解:已知 能被 72 整除。因为 72=8×9,8 和 9 是互质数,所以 既

能被 8 整除,又能被 9 整除。根据能被 8 整除的数的特征,要求

能被 8 整除,由

此可确定 B=6。再根据能被 9 整除的数的特征, 的各位数字之和为 A+3+2+9 +B=A+3-f-2+9+6=A+20, 在这个范围内只有 27 能被 9 整除,所以 A=7。 4. 讲析: 设千位上和个位上的数字分别是 a 和 b。 则原数奇位上各数字和与偶位上 各数字之和的差是[3+(b-a)]或[(a-b)-3]。 要使原数是 11 的倍数,只需[3+(b-a)]或[(a-b)-3]是 11 的倍数。 则有 b-a=8,或者 a-b=3。 ①当 b-a=8 时,b 可取 9、8; ②当 a-b=3 时,b 可取 6、5、4、3、2、1、0。 所以,当这个七位数的末位数字取 7 时,不管千位上数字是几,这个七位数都不是 11 的倍数。 5.解:367.92/72=5.11(元) 6. 讲析: 因为 2、 4、 6、 8、 的最小公倍数是 2520。 1993000÷2520=790 3、 5、 7、 9 而 余 2200。于是再加上(2520-2200)=320 时,就可以了。所以最后三位数字依次是 3、 2、0。 比一比. 讲析:因为插入一个数字后,所得的三位数是原两位数的 9 倍,且个位数 字相同。则原两位数的个位数字一定是 0 或 5。 又插入的一个数字,必须小于个位数字,否则新三位数就不是原两位数的 9 倍了。 因此原二位数的个位不能为 0,而一定是 5。 结合被 9 整除的数字特征,不难找到符合要求的两位数有 45、35、25 和 15 共 4 个。 例题精讲: 1. 三年级共有 75 名学生参加春游, 交的总钱数为一个五位数 “2□7□5” 元, 求每位学生最多可能交多少元? 解: 先求出满足条件的最大五位数。 75=25 × 3, 则这个五位数是 25 和 3 的倍数。 因为是 25 的倍数,所以十位为 7 或 2,设千位为 x, 如十位为 7,则使 2+x+7+7+5=21+x 为 3 的倍数的 x 最大为 9,得此五位数为 29775; 如十位 为 2, 则使 2+x+7+2+5=16+x 为 3 的倍数的 x 最大为 8, 得此五位数为 28725。 所 以,满足题意的最大五位数为 29775。 29775÷75=397(元), 即每位学 生最多可能交 397 元。
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2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的 72 个文件, 可是他只记得这些文件的总大 小是“*679.*KB”“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不 , 同),你能帮他算出这两个数字吗? 解: “*679. *”能被 72 除尽,则“*679*” 应是 72 的倍数。72=8 ×9,先考虑 8,末三位数字 79*应满足被 8 整除,所以十 分位数字是 2;考虑 9,已知数字之和是 6+7+9+2=24,所以原数的千位上应是 3, 即这两个数字分别是 3 和 2。 3. 有三个连续的四位数,它们的和也是四位数,并且是 3333 的倍数,求中间那 个数可能的最小取值。 解:设中间的数为 a,则另外两个数是(a-1)和(a+1),所 以要 a+(a+1)+(a-1)=3a 是 3333 的倍数,那么 a 是 1111 的倍数,又 3a<10000,所 以 a≤3333,所以 a 可取 1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为 1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是 7 的倍数时,这个整数可以被 7 整除吗?请证明你的判断。 解:设末三位数字组 成的数为 m,末三位以前数字组成的数为 n,则 m-n=7d(d 为整数),即 n=m-7d,原 数为 m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d,1001=13 ×11 ×7, 7000d=7 × 1000d,所以原数是 7 的倍数。 5. 小明有一些数字卡片,现在要从这些卡片中挑出 2、4、5、7、8 这几张,任 选 4 张,能组成可以被 75 整除的没有重复数字的四位数,它能组成几种呢? 解:75=3 ×5 ×5, 要被 75 整除,必可被 3 整除,所以有 4、5、7、8, 2、4、7、8 和 2、4、5、7 三种选法; 又要被 25 整除,所以未两位为 25 或 75,所以排除 2、4、7、8 的选法。 则 4、5、7、8 的选法有 2 种组合,2、 4、5、7 的选法有 4 种组合,所以共可组成 6 种符合要求的四位数。 专题特训: 1. 能被 5、4、3 整除的最大四位数是( )。 2. 在 5、46、2、15、18、47、30、210 中, (1)能被 2 整除的有( )。 (2)能被 3 整除的有( )。 (3)能被 5 整除的有( )。 (4)能同时被 3、5 整除的有( )。 (5) 能同时被 2、3、5 整除的有( )。 3. 有一个能同时被 2、3、5 整除的数,已知这个数的各个数位上的数字加在一起 是 12,那么,这个数的个位上的数字是( )。 4. 1~100 内,所有不能被 3 整除的数的和是( )。 5. 能被 3 整除的最小三位数是( )。 6. 在 150 以内,一个数除以 18 和 12,正好都能整除,这个数最大是( )。 7. 上课时,小丸子的老师告诉大家: “数字中存在这样一些四位数,将它从中间划分 成前后两个两位数时,前面的数能被 4 整除,后面的数能被 5 整除。而这个四位 数本身还能被 7 整除。 小丸子通过一系列计算知道了所有这样的四位数中最小的 ” 一个,那么它应该是( )。 8. 一个两位数或三位数,是 11 的倍数,且它的各位数字和为 17,这样的数最大 是 ( )。 9. 在 1~1040 间选出一些数,使任意两数之和是 34 的整数倍,最多可选( )个。 答案与解析 1. 解:9960。 [3,4,5]=60,60×166=9960,没有比 9960 更大的满足条件的 四位数了。 2. 解:能被 2 整除的有 46、2、18、30、210, 能被 3 整除的有 15、18、30、 210, 能被 5 整除的有 5、15、30、210, 能同时被 3、5 整除的有 15、 30、210, 能同时被 2、3、5 整除的有 30、210。
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3. 解:0。 能被 5 整除,个位是 5、0; 又能被 2 整除,则个位只能是 0; 又因其他位数字的和为 12,所以肯定能被 3 整除。 4. 解:3367。 1~100 内,能被 3 整除的数之和为: 3+6+?+99=(3+99) ÷2× 33=1683。 而 1+2+?+100=5050,所以不能被 3 整除的数之和为: 5050-1683=3367。 5. 解:能被 3 整除的三位数要求个位、十位、百位的数字之和能被 3 整除,这 样的数最小是 102。 6. 解:最小能同时整除 18 和 12 的数是 36,只要 150 之内是 36 的倍数就符合条 件,最大的为 144。 7. 解:能被 4 整除的两位数最小为 12,能被 5 整除的数个位是 0 或 5,因此这样 的四位数为 12□0 或 12□5,又能被 7 整除,估算可知这个数是 1225。 8. 解: 若是两位数,必为“XX”型,2X=17。则 X=8.5,舍去; 如为三位数“abc” , 则 a+c-b=11,又 a+b+c=17, 得 b=3,a+c=14, “最大为 9,此时 c=5, 所以 935 为所求。 9. 解: ①若每一个数均为 34 的整数倍,则任意两数之和也为 34 的整数倍。 都选 34 的倍数,有[1040÷34]=30(个), ②若每一个数均为 17 的奇数倍,则任 意两数之和必为 17 的偶数倍,即 34 的整数倍,选 34 的整数倍加 17,有[(1040-17) ÷34]+1=31(个), 方法②最多,有 31 个。

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