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两直线的位置关系


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11.2 两直线的位置关系
【知识网络】 1.能根据斜率判定两条直线的平行与垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 【典型例题】 [例 1](1)已知直线 mx+4y-2=0 与 2x-5y+n=0 互相垂直,垂

足为(1,p),则 m-n+p 的值 为 A.24 B.20 ( ) D.-4

C .0

2-m 1 6 2 (2)已知直线 y=- x- 和直线 y= x- m 平行,则 m 的值为 ( ) m m 3 3 A.-1 或 3 B.1 或-3 C. 3 D.-1 )

(3)点 A(4,0)关于直线 l:5x+4y+21=0 的对称点是( A.(-6,8) B.(-8,-6) 1 C.(-6,-8)

D.( 6,8) . .

(4)若直线 y=kx+3 与 y=

k x-5 的交点在直线 y=x 上,则 k=

(5)过点 P(-2,1)且到原点距离最远的直线 l 的方程是

[例 2] 过 P 的直线 l 绕 P 点逆时针旋转α 角(0<α <90°)后得到直线 y 轴,将 y 轴绕 P 点再逆时针 旋转β角(0<β<90°)后得到直线 l′:2x+y-1=0,且 cosα =sinβ,求直线 l 的方程。

[例 3]△ABC 中,AB=BC,∠B=90°,M 为 BC 的中点,BN⊥AM 交 AC 于 N,用解析法求证:∠CMN= ∠BMA

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[例 4] 两条平行直线分别过点 P(-2,-2),Q(1,3),它们之间的距离为 d,如果这两条直线 各自绕着 P、Q 旋转并且保持互相平行。 (1) 求 d 的变化范围; (2) 用 d 表示这两条直线的斜率; (3) 当 d 取最大值时,求两条直线的方程。

【课内练习】 1.若直线 5x+4y=2m+1 与直线 2x+3y=m 的交点在第四象限,则 m 的取值范围是 A.m<2 B.m > 3 2 3 C.m<- 2 3 D.- <m<2 2 ( )

2.已知点 P(-1,2)在直线 l 上的射影为点 Q(1,-3),则直线 l 的方程为( ) A.2y+5x+1=0 C.5y+2x-8=0 B.5y-2x+17=0 D.2y-5x+11=0 ( )

3.已知直线 3x+2y-3=0 与 6x+my+1=0 相互平行,则它们之间的距离是 A.4 2 13 B. 13 C. 5 26 13 7 D. 26 13

4.△ABC 的三边 a、b、c 分别对应角 A、B、C,若 lgsinA,lgsinB,lgsinC 成等差数列,则两直线 l1: xsin2A+ysinA=a 与直线 l2:xsin2B+ysinC=c 的位置关系是( ) A.不垂直的相交 B.平行 C.垂直相交 D.重合 .

5.直线 2x+3y+1=0 关于直线 x-y-1=0 的对称直线方程为

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6.直线 l1:2x-5y+20=0 和 l2:mx-2y-10=0 与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数 m 的值 为 . .

7. 已知直线 l 经过点 P (1, 2) , 且与 A (2, 3) 和B (4, -5) 的距离均为 d, 则 d 的值为

8.三条直线 l1:x+y+a=0,l2:x+ay+1=0,l3:ax+y+1=0 能构成三角形,求实数 a 的取值范围。

9.过 P(0,1)作直线 l,交直线 l1:x-3y+10=0 于点 A,交直线 l2:2x+y-8=0 于点 B.若点 P 平分 线段 AB,试求直线 l 的方程。

10.已知函数 y=k∣x∣及 y=x+k(k>0 且 k≠1) (1) 求两函数图象的交点坐标; (2) 若两函数图象能围成三角形,求 k 的取值范围; (3) 在(2)的条件下,求围成三角形的面积。

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11.2 两直线的位置关系 A组
1.过点 P(-2,3)且与原点的距离为 2 的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 ( )

2.若直线 3x-2y=5,6x+y=5 与直线 3x+my=1 不能围成三角形,则 m 的值是( ) 1 A. 2 B.-2 1 C. 或-2 2 1 D. 或±2 2

3.如果点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 及 3x-4y+5=0 之间,则 b 应取的整数值是 ( ) B.4 C.-5 D.5 .

A.-4

4.与直线 2x-y+3=0 垂直,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 2 的直线方程是 5.函数 y=

x2+9 + x2-8x+41 的最小值是

.

6.已知点 B(-1,2),在第二象限的∠ABC 的两边 AB、BC 的斜率分别为-1 和-7,求∠ABC 的平 分线的方程.

7.在直线 2x-y-4=0 上求一点 P,使它到两定点 A(4, 1)、B(3,-4)距离之差最大.

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8.已知点 P(a,b)在 x、y 轴上的射影分别为点 A、B, (1)求直线 AB 的方程; (2)求过点 P 且平行于 AB 的直线 l 的方程; (3)求过点 P 且垂直于 AB 的直线 m 的方程.

B组
1. 若 A={ (x,y)| 4 A.- 3

y ?3 则实数 a 的值为 ? 3 ,x,y∈R},B={(x,y)|4x+ay=16,x,y∈R},若 A∩B=φ , x ?1
4 C. 3 4 D.- 或 4 3 ( )





B.4

2.直线 y+(m2-2)x+1=0 与直线 y-x+m=0 有公共点,则 A.m≠1 B.m≠±1 C.m≠-1 D.m∈R

3.在直角坐标系 xoy 中,已知△AOB 三边所在直线方程分别为:x=0 ,y=0 ,2x+3y=30,则△AOB 内部 和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是 A.95 B.91 C.88 D.75 . ( )

4. 三条直线 x+3y-1=0,mx-6y+5=0,nx+my+1=0 两两相交, 则 m、 n 应满足的条件是

5.等腰直角三角形的斜边所在的直线方程是 3x-y+5=0,直角顶点是(4,-1),则此三角形在第 一象限的顶点坐标是 .

6.若直线 l1:ax+4y-20=0,l2:x+ay-b=0,当 a、b 满足什么条件时,直线 l1 与 l2 分别相交?平行? 垂直?重合?

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7.已知三点 P(1,2),Q(2,1),R(3,2),过原点作一直线,使得 P、Q、R 到此直线的距 离的平方和最小,求此直线方程.

8.已知两定点 A(2,5),B(-2,1),M(在第一象限)和 N 是过原点的直线 l 上的两个动点,且 |MN|=2 2 ,l∥AB,如果直线 AM 和 BN 的交点 C 在 y 轴上,求点 C 的坐标。

11.2 两直线的位置关系
【典型例题】 例 1(1)B.提示:由斜率关系求出 m,再将点的坐标代入直线方程,求出 n,p. (2)D.提示:两直线斜率相等且截距不等.

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(3)C.提示:对称点与 A 点之间的连线被直线 l 垂直平分. 3 (4) .提示:联列方程组. 5 (5)y= 1 x+2.提示:直线 l 与 OP 垂直. 2

例 2、因为点 P 是 l 与 y 轴及 l′的公共点,在 2x+y-1=0 中,令 x=0,得直线 l 与 y 轴的交点为 P(0, 1). 又因为 0<α 、β<90°且 cosα =sinβ得α 与β互余,进而 l⊥l′,l′的斜率为-2,l 的斜率为 1 故直线 l 的方程为 y= x+1. 2 例 3、【解法一】以 M 点为坐标原点,BC 为 x 轴,建立坐标系(如图), 令∣MC∣=t,则 A(-t,2t)B(-t,0)C(t,0) kAM=-2,kBN= 1 2 ① ② 1 . 2

A
B

yN
OM C

直线 BN 的方程为:x-2y+t=0 直线 AC 的方程为:x+y-t=0 ①②联列解得点 N( ∴kMN=2, 3

x

t



2t ) 3

而 kAM=-2,

∴∠CMN=∠BMA 【解法二】以点 B 为坐标原点,BC 为 x 轴,建立坐标系 令∣BC∣=2t,则 A(0,2t)M(t,0)C(2t,0) kAM=-2, kBN= 1 2 ① ②

A

y

N M C

OB

x

直线 BN 的方程为:x-2y =0 直线 AC 的方程为:x+y-2t=0 4t 2t ①②联列解得点 N( , ) 3 3 ∴kMN=2, 而 kAM=-2,

∴∠CMN=∠BMA

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例 4、(1)解法一 设过点 P(-2,-2)的直线 l1 方程为: Ax+By+C1=0,过点 Q(1,3)的直 线 l2 方程为 Ax+By+C2=0,由于点 P、Q 在直线上,得-2A-2B+C1=0,A+3B+C2=0,两式相减得 C1-C2=3A+5B,两直线间的距离为 |C1-C2| A2+B2 = |3A+5B | , A2+B2 (※)

即:(d2-9)A2-30AB+(d2-25)B2=0

A A ① 当 B≠0 时,两直线斜率存在,有(d2-9)( )2-30( )+d2-25=0 B B 由 d>0 及△≥0 得:(-30)2-4(d2-9)(d2-25)≥0 从而 0<d≤ 34 ② 当 B=0 时,两直线分别为 x=-2,与 x=1,它们间的距离为 3,满足上述结论。 综上所述,d 的取值范围是(0, 34 ] 解法二 两平行直线在旋转过程中,0<d≤PQ,而 PQ= 34 ,故 d 的取值范围是(0, 34 ]。 (2)当 B≠0 时,两直线斜率存在,从方程※中解得 15±d 34-d2 A 直线的斜率 k=- = - B d 2 -9 (3)当 d= 34 时,k=- 【课内练习】 1.D.提示:将问题转化成解方程组与解不等式问题. 2.B.提示:PQ 与直线 l 垂直. 3.D.提示:先确定直线方程,再用两平行线间的距离公式. 4.D.提示:结合正弦定理考虑. 2 3 5.3x+2y=0.提示:方法一,两直线的交点坐标为( ,- ).在直线 2x+3y+1=0 上取一点 A(1, 5 5 y-1 1+x y+1 -1),它关于直线 x-y-1=0 的对称点为 B(x,y),则 - -1=0,且 = -1,解 2 2 x-1 3 联立方程组得 x=0, y=0. 于是所求直线的斜率为 kAB = - , 由点斜式可得所求直线方程. 方法二, 2 对称轴是斜率为 1 的特殊直线,可以有特殊方法直接代入. 6.-5.提示:圆内接四边形的对角互补. A 3 =- ,对应两条直线分别为 l1:3x+5y+16=0,l2:3x+5y-18=0 B 5
2 A 15±d 34-d = , B d2-9

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7.

5 13 5 17 , 提示:直线 l 经过 AB 中点或与直线 AB 平行. 13 17

8.a∈R 且 a≠±1,a≠-2(提示:因三条直线能构成三角形,故三条直线两两相交且不共点,即任意 两条直线都不平行且三线不共点。(1)若 l1、l2、l3 相交于同一点,则 l1 与 l2 的交点(-a-1,1) 1 在直线 l3 上,于是 a(-a-1)+1+1=0,此时 a=1 或 a= -2。(2)若 l1∥l2,则-1 = ,a=1。(3) a 1 若 l1∥l3,则-1 = - a,a=1。(3)若 l2∥l3,则= -a,a= ±1。) a 9.解法一 设所求直线 l 的方程为:y=kx+1.

?y=kx+1, 10k-1 7 由? 解得 A( , ). 3k-1 3k-1 ?x-3y+10=0, ?y=kx+1, 7 8k+2 由? 解得 B( , ). k+2 k+2 ?2x+y-8=0,
由于 P 为线段 AB 的中点,故

? ? ? ? ?

7 7 + 3k-1 k+2 = 0, 2 10k-1 8k+2 + k+2 3k-1 = 1, 2 1 . 4 1 x+1,即 x+4y-4=0. 4

解得 k= -

故所求直线的方程为 y= -

解法二 设 A(x1,y1),则点 A 关于 P(0,1)的对称点 B 的坐标为(-x1,2-y1),将它们的 坐标各自代入直线方程得

?x1-3y1+10=0, ? ?-2x1+(2-y1)-8=0,
①+②得:x1+4y1-4=0.

① ②

因 P(0,1)也适合上述方程,故所求直线方程为 x+4y-4=0. 10.(1)k>1 时,两个交点为(

k

k-1 k-1

,

k2

)和(-

k

k

k+1 k+1

,

k2

),(2)k>1,(3)S△OAB= S△OAC

k+1 k+1 k3 +S△OBC= 2 k -1

,

k2

);0<k<1 时,一个交点(-

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11.2 两直线的位置关系 A组
1.B.提示:数形结合,不必具体计算. 2.D.提示:不能构成三角形可能是三线共点,也可能是有两线平行的情况. 3.B.将点的坐标分别代入两个方程左边,取值应该异号. 4.x+2y-4=0.提示:依据垂直设直线方程,再建立方程,求有关系数. 5.4 5 (提示:两个根式可分别看成点 P(x,0)到两点(0,3)(4,5)的距离). 6.2x+y=0 (x≤-1).提示:直接用点到直线的距离公式,注意去绝对值符号时的正负符号.

7.(5,6).提示:两定点 A(4, 1)、B(3,-4)位于直线 2x-y-4=0 的同侧,要点 P 到 A、 B 距离之差最大,只须求直线 AB 与直线 2x-y-4=0 的交点. 8.因点 P(a,b)在 x、y 轴上的射影分别为点 A、B, 故点 A、B 的坐标分别为 A(a,0),B(0,b), b 当 a≠0,b≠0 直线 AB 的斜率为- a (1)直线 AB 的方程为 x y + =1,即:bx+ay-ab=0 a b

b (2)求过点 P 且平行于 AB 的直线 l 的方程为 y-b=- (x-a)即:bx+ay-2ab=0 a (3)求过点 P 且垂直于 AB 的直线 m 的斜率为 即 by-ax-b2+a2=0 当 a=0,b≠0 时,点 P 在 y 轴上,直线 AB 是 y 轴,方程为 x=0;直线 l 与直线 AB 重合;直线 m 的方程为 y=b. 当 a≠0,b=0 时,点 P 在 x 轴上,直线 AB 是 x 轴,方程为 y=0;直线 l 与直线 AB 重合;直线 m 的方程为 x=a. 当 a=0,b=0 时,点 A、B、P 均为原点,不合题意,直线 l、m、AB 也不确定。 a a ,方程为 y-b= (x-a), b b

B组

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1.D.提示:注意集合 A 是缺一点的一条直线. 2.C.提示:两直线重合时也有公共点. 3.B.若将△AOB 补形成矩形 OACB,即过点 A 作 OA 的垂线 AC,垂足为 A;过点 B 作 OB 的垂线 BC, 垂足为 B,交 AC 于 C(如图所示)。 有题意知 A、B 分别是 2x+3y=30 与 x 轴 y 轴的交点,其坐标为 A(15,0)B(0,10) 故矩形 OACB 内部和边上整点总数为 16×11=176 而对角线 AB 上的整点必须满足方程 2x+3y=30,故 x 必须是 3 的整数倍,整点分别为(0,10) (3,8),(6,6),(9,4),(12,2),(15,0) 176-6 综上所述,△AOB 内部和边上整点的总数是 +6=91 2 4.m≠-2,且 m≠3n 且 m2≠-6n.提示:任意两直线不平行. 5. 2 31 , 提示:在斜边上设一点,该点到直角顶点的距离等于直角顶点到斜边距离的 2 倍. 5 5

6.当 a=0 时,直线 l1 斜率为 0,l2 斜率不存在,两直线显然垂直。 当 a≠0 时,分别将两直线均化为斜截式方程为:l1:y= - (1)当- (2)当- a 1 ≠ - ,即 a≠±2 时,两直线相交。 4 a a 1 b = - 且 5≠ 时,即 a=2 且 b≠10 或 a= -2 且 b≠-10 时,两直线平行。 4 a a a 1 )(- )= -1 无解,故仅当 a=0 时,两直线垂直。 4 a a 1 b x+5,l2:y= - x+ 。 4 a a

(3)由于方程(- (4)当-

a 1 b =- 且 5= 时,即 a=2 且 b=10 或 a= -2 且 b=-10 时,两直线重合。 4 a a

∣k-2∣2 ∣2k-1∣2 ∣3k-2∣2 14k2-20k+9 7.设所求直线方程为 y=kx,则 d= 2 + 2 + 2 = k +1 k +1 k +1 k2+1 即:(d-14)k2+20k+(d-9)=0,

d=14 时,方程无解。 d≠14 时,由△≥0 可得
23-5 17 23+5 17 ≤d≤ 且 d≠14 2 2

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d 的最小值为

23-5 17 -1+ 17 ,此时 k= 2 4

23-5 17 当 k 不存在时,l 为 y 轴,此时三点到 l 距离的平方和为 14,14> 2 故所求直线方程为 y= -1+ 17 x 4

8. (0,-3).提示:由点 A、B 的坐标并利用斜率公式得 kAB =1, 于是 kl =1,从而 l 的方程为 y=x. 设 M(a,a)(a>0),N(b,b),由|MN|=2 2 ,得 (a-b)2+(a-b)2 =2 2 ,故|a-b|=2.直线 a-5 3a AM 的方程为:y-5= (x-2),令 x=0,则得 C 的坐标为(0, ).直线 BN 的方程为:y-1= a-2 a-2 b-1 3b 3a 3b (x+2),令 x=0,则得 C 的坐标为(0, ).故 = ,化简得,a= -b.将其代入 b+2 b+2 b+2 a-2 |a-b|=2,并注意到 a>0,得 a=1,b=-1.


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