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2016届安徽皖江名校高三12月联考数学文试题及答案


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2016 届皖江名校联盟高三联考 文科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。)

?Q = {x | y=log5 (2-x)} , 1. 【 答 案 】 B 【 解 析 】 ? P=

{ y | y=2 cos x}={ y | -2 ? y ? 2},
?2 ? x ? 0, x ? 2,?Q ? {x | x ? 2}? P ? Q ? { y |? 2 ? y ? 2} ? {x | x ? 2} ? ? x | ?2 ? x ? 2? .
2.【答案】B【解析】因为 sin x ? cos x ?

2 sin( x ?

?
4

) ? 2 ,故命题 p 为假命题; 特称命题

的否定为全称命题, 根据命题的否定知命题 q 为真命题,(?p ) ? (?q ) 真,p ? q 假,(?p ) ? q 真,
p ? (?q ) 假故选 B.

3. 【答案】 C 【解析】 ? a1 =2,an ?1 ? 数列{ an }的周期 4,∴ a2018 ? a2 ?

1 1 an ? 1 , ∴ a2 = , ∴ a3 = ? , ∴ a4 = ?3 , ∴ a5 =2 3 2 an ? 1



1 ,故选 C . 3 ??? ? 4. 【答案】D【解析】? AB ? (2, 2) , ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? , ?| AB |? 22 ? 22 ? 2 2 AB ? AC ?| AB | ? | AC | cos A ? 2 ? 2 2 cos A ? ?4

,

cos A ? ?

2 3? ,? 0 ? A ? ? ,??A= ,故选 D. 4 2

5.【答案】A【解析】由 f ? x ?=sin x ? cos x, 得 f ? ? x ?=cos x ? sin x, .根据题意知 故选 A. 6.【答案】C 【解析】? 函数 f ( x ) 满足在对于任意的 x1、x2 ? [?2, 2] 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

? ?2 ? a 2 ? a ? 2 ??1 ? a ? 2 ? ? 所以函数 f ( x ) 在 [ ?2, 2] 上单调递增,? ? ?2 ? 2a ? 2 ? 2 ,? ?0 ? a ? 2 ,? 0 ? a ? 1 , ?a ? 1或a ? 2 ? 2a ? 2 ? a 2 ? a ? ?
故选 C. 7.【答案】D【解析】由图知 T ? ? ,? a ? 2 , cos (2 ?

?
3

+?) =-1 ,?? ?

?
3

,故选 D .

8. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 函 数 y ? log a ( x ? 2) ? 4 过 定 点 P (3, 4) , 且 tan ? ?

4 , 3

3sin 2? ? cos 2? ? 6 sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

6sin ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? 6 tan ? ? tan 2 ? ? 1 ? ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? 1 ? tan 2 ?
9.【答案】D【解析】

4 4 6 ? ? ( )2 ? 1 13 3 3 ? 4 5 1 ? ( )2 3
1 z x? , 3 3

首先作出可行域,把目标函数 z ? x ? 3 y ,变形可得 y ? ?

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斜率为负数,当 z 在点 处取得最大值为 6,故选 D. (0, 2) 10. 【答案】 C 【解析】 ∵ a2 ? a4 ? 16 , ∵ a2 ? a4 ? (a3 ) 2 , ∴ a3 ? 4 , ∵ a3 ? a1q 2 ? 4 , ? a1 ? 1 ,

? q 2 ? 4,? q ? ?2 ,∴ q ? ?2 舍去,∴ q ? 2 ,∴ a8 ? 27 ? 128 ,故选 C.
11.【答案】D【解析】依题意, f ' ? x ? ? e x ?

ex e e ? 2a ? 0 在 x ? (1, 3) 上恒成立,即 a ? ? 2 2x x

在 x ? (1, 3) 上恒成立,令 g ( x ) ?

ex e ex e ex e ,则 g ?( x) ? ? ? 2 ,令 h( x ) ? ? 2 ,则 2 2x 2 2x 2 2x

h?( x) ?

ex e ex e ? 3 ? 0 , g ?( x ) ? ? 2 ? g ?(1) ? 0 ? g ( x ) 在 x ? (1, 3) 上 单 调 递 增 , 2 x 2 2x

a?g (1) ? e 故选 D.
12. 【 答 案 】 C 【 解 析 】 ? a ? 1 ? f ( x) 在 区 间 [1, a ] 上 单 调 递 减 ,

? f (1) ? a ? 1 ? 2a ? 5 ? a ?? ,? 2 ,? a ? 2 ,所以 f ( x) ? ( x ? 2) 2 ? 1, 2 ? f ( a ) ? 1 ? a ? 2a ? 5 ? 1

g ( x) ? log 3 x ,在 [1, 3] 上的 1 ? f ( x ) ? 2, 0 ? g ( x ) ? 1 ,所以 f ( x1 ) ? g ( x2 ) max ? 2 ,
t 2 ? 2t ? 1 ? 2 ? t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ? t ? 1或 t ? ?3 .
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在题中的横线上。) 13. 【答案】10【解析】定义域为 [ a ? 2, 2( a ? 1)] 的奇函数,满足 ?

?a ? 2 ? ?[2(a ? 1)] ? a ?0, a?2?0 ?
3

因为 f ( x ) 为奇函数,满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? b ? 2 ? 0 ,所以 f ( x) ? x ? x ,

f ( a ) ? f (b) ? f (0) ? f (2) ? 10 .
14【答案】 6 3 ? 19 【解析】由题意: ? B ( ?3, ?3 3), C (3, ?3 3) , H (cos ? , sin ? ),

???? ???? BH ? (cos ? ? 3,sin ? ? 3 3), CH ? (cos ? ? 3,sin ? ? 3 3) ???? ???? ? BH ?CH ? (cos ? ? 3,sin ? ? 3 3)?(cos ? ? 3,sin ? ? 3 3)

? cos 2 ? ? 9 ? sin 2 ? ? 6 3 sin ? ? 27 ? 6 3 sin ? ? 19 ? 6 3 ? 19

-6-

15. 【 答 案 】 x ? 4k? ?

5? ? , k ? Z 【 解 析 】 f (0) ? f ( ) , 可 得 ? ? 1 , 所 以 6 2

f ( x ) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?

1 ? ? 1 ? g ( x ) ? 2 sin( x ? ? ) ? 2 sin( x ? ) , 函 数 g ( x ) 取 最 大 值 时 , 2 4 6 2 12 1 ? ? 5? x ? ? 2 k? ? ? x ? 4 k? ? ,k ?Z 2 12 2 6 .
16. 【答案】 2015 ? 2 2017 ? 2 【解析】

4

) ,向右平移

?

6

,横坐标扩大到原来 的 2 倍得到函数

an an ?1 ? 2Sn , an ?1an ? 2 ? 2Sn ?1 , an ?1an ? 2 ? an an ?1 ? 2Sn ?1 ? 2Sn ? 2an ?1 , an ? 2 ? an ? 2, a1 ? 1, a3 ? 3, a5 ? 5,? , a2 k ?1 ? 2k ? 1; a2 ? 2, a4 ? 4,? , a2 k ? 2k .? an ? n ;
S n ? 2 ? a1 ? 22 ? a2 ? ? 2n ? an , 2 S n ? 22 ? a1 ? 23 ? a2 ? ? ? 2n ?1 ? an 相减可得, S n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2,? S 2016 ? 2015 ? 22017 ? 2 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. 【 解 析 】 ( 1 ) ? a, b 共 线 , 可 得

? ?

1 1 3 y ? ( sin x ? cos x) ? 0 , 则 2 2 2

? 2? y ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ) , 所 以 函 数 的 最 小 正 周 期 为 T ? ? 2? , 当 3 1
x ? 2 k? ?

?
6

, k ? Z 时, f ( x) max ? 2 ,

------------------6 分

(2) f ( A ?

?
3

) ? 3 ,可得 2sin( A ?

?

? 3 ? ? ) ? 3,sin A ? ,A? , 3 3 2 3
-------8 分

???? ??? ? ??? ? 3 ??? ? 1 ??? ? 3 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? DE ? DB ? BE ? AB ? BC ? AB ? ( AC ? AB) ? AB ? AC , 4 2 4 2 4 2
平方可得

???? 2 ? 1 ???? ? 2 1 ???? 2 1 ??? ? ???? 1 1 ??? 1 ??? 1 1 ? 61 DE ? ( AB ? AC ) 2 ? AB ? AC ? AB ? AC ? ? 82 ? ? 52 ? ? 8 ? 5 ? cos ? , 4 2 16 4 4 16 4 4 3 4

-7-

故 DE ?

61 . 2
?

---------------10 分

1 ? ? )) , 2 6 ? ? 3 1 ? 3 1 1 ? 3 f ( x ) ? a ?b ? ? sin x cos x ? cos(2 x ? ) ? ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? 2 2 6 2 2 2 6 2 3 1 ? ? ? sin(2 x ? ) 2 2 3 ? ? ? 5? ? 函数的单调递增区间 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 2 3 2 12 12 5? ? , k? ? ](k ? Z ) . 所以单调递增区间为 [ k? ? --------------------6 分 12 12 3 1 ? ? ? ? (2) f ( x ) ? ? sin(2 x ? ) 取到极大值时 2 x ? ? 2k? ? , x ? k? ? ,所以 2 2 3 3 2 12 ? ? ? 11 a1 ? , a2 ? ? ? , an ? ? ( n ? 1)? ? n? ? ? , 12 12 12 12
18.【解析】(1)? a ? (sin x, ), b ? (cos x, cos(2 x ? 设 bn ?

?2
an an ?1

? (n ?

1 11 11 )(n ? 1 ? ) 12 12

?

1 1 ,则 ? 11 11 n? n ?1? 12 12

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? 11 11 11 11 11 11 1? 1?1? 1?1? 2 ?1? n? n ?1? 12 12 12 12 12 12 1 1 144n . ----------------------12 分 ? ? ? 11 11 12n ? 1 1? n ?1? 12 12
sin B c?b?a b c?b?a ,由正弦定理得: ,化简即为 ? ? sin A ? sin C c?b c?b , a?c

19. 【解析】 由

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ,再由余弦定理可得 cos C ?
因为 0 ? C ? ? ,所以 ?C ? (2) f ( A) ? 1 ?

a 2 ? b2 ? c2 1 ? , 2ab 2
------------------------6 分

?
3

.

2(cos 2 A ? sin 2 A) ? ? 1 ? 2cos 2 A ? 2 sinAcosA ? 2 sin(2 A ? ) sin A 4 1? cos A

在锐角 ?ABC 中,

?
6

2 12 4 3? 故当 2 A ? ? , A ? 时, f ( A) max ? 2 . 4 2 8

? A?

?



?

? 2A ?

?

?

?

?

3? 4
--------------------12 分

-8-

20.【解析】(1)设 f ( x ) ? ax ? b( a ? 0) ,

f ( x ) ? ax ? b( a ? 0) ? f [ f ( x )] ?

1 3 1 3 x ? ,? a ( ax ? b) ? b ? x ? , 4 4 4 4

1 1 1 ? ? ? a2 ? a? a?? ? ? ? 1 1 ? ? ? 4 2 2 ,? ? 或? ,舍去,故 f ( x ) ? x ? ,---2 分 ? 2 2 ?ab ? b ? ? 3 ?b ? ? 1 ?b ? ? 3 ? ? ? 4 ? 2 ? ? 2
1 1 1 an ? ,? an ?1 ? 1 ? ( an ? 1) , 2 2 2 1 数列 {an ? 1} 是公比为 ,首项为 2 的等比数列, 2 1 n ?1 1 ? an ? 1 ? 2 ? ( ) , an ? ( ) n ? 2 ? 1 2 2 an ?1 ?
(2)由 bn ?

--------------------4 分 -------------------------------6 分

1 1 1 nan ? n 可得, bn ? n( ) n ?1 2 2 2
① ②

1 0 1 1 2 1 n ?1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 1 n 则 S n ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) 2 2 2 2 2
可得 S n ? 1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n( ) ②-①

1 1 1 1 1 1 S n ? ( )0 ? ( ) ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ? n( ) n 2 2 2 2 2 2 n?2 n?2 ? S n ? 4 ? n ?1 , ? n ?1 ? 0,? S n ? 4 2 2
可得

---------------------12 分

21.【解析】(Ⅰ)依题意,函数 f ? x ? ? a ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3 ? ? a x 2 ? 3 x ? 2
2 故 f ' ? x ? ? a ?? 2 x ? 3?? x ? 3? ? x ? 3 x ? 2 ? ,

?

? ? x ? 3? ,

?

?

??

故 f ' ?1? ? 2a ? 4 ,解得 a ? 2 ;

-------------------------- 4 分

(Ⅱ) 依题意, f(x)与 g(x)的图像只有一个交点, 即方程 f ( x) ? g ( x) ? 有且仅有一个实根,令 h( x) ?

1 3 9 x ? 3x 2 ? x ? m ? 0 2 2

1 3 9 x ? 3x 2 ? x ; 2 2
------------------------6 分

h '? x? ?

3 2 9 3 x 2 ? 12 x ? 9 3 x ? 6x ? ? ? ? x ? 1?? x ? 3? , 2 2 2 2

故当 x ? 1或 x ? 3 时,函数 h ? x ? 单调递增,当 1 ? x ? 3 时,函数 h ? x ? 单调递减; 故函数 h ? x ? 的极大值为 h ?1? ? 2 ,极小值为 h ? 3? ? 0 , ---------------------------8 分

-9-

故若方程 f ( x) ? g ( x) 有 1 个根,故 ? m ? 0或 ? m ? 2 ,即 m ? ?2或m ? 0 , 即实数 m 的取值范围为 ? ??, ?2 ? ? ? 0, ?? ? . ----------------------------------------12 分

22.【解析】(Ⅰ)因为 f ( x ) ? x 2 ? 2( a ? 1) x ? 4 ln x ( x ? 0) ,
2 所以 f ?( x ) ? 2 x ? 2 ( a ? 1) ? 4 ? 2 x ? 2 ( a ? 1) x ? 4 ,若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数, x x



f ?( x ) ? 0

恒 成 立 , 即 2 x 2 ? 2( a ? 1) x ? 4 ? 0 在

( 0 , ?? )

上 恒 成 立 . 所 以

[ 2( a ? 1)]2 ? 2 ? 4 ? 4 ? 0 或 ? ( a ? 1 ) ? 0 ,
解得 ? 2
2 ? 1 ? a ? 2 2 ? 1 或 a ? ?1 ,

所以 a ? ? 2

2 ? 1 ,故函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数,

则实数 a 的最小值 ? 2
2

2 ?1.

-----------------5 分

(Ⅱ)函数 f ( x) ? x ? 2 x 在区间 [1,3] 上恒成立,即 2ax ? 4 ln x ? 0 在 [1,3] 上恒成立 . 即

2 ln x 在区间 [1,3] 上恒成立; x 2 ln x 2 ln x ? 2 令 g ( x) ? ? , g ?( x) ? , x x2 a??

---------------------------------8 分

令 g ?( x) ? 0 , x ? e , 在 区 间 [1, e] 上 g ?( x) ? 0 , 在 区 间 [e.3] g ?( x) ? 0 ,

g (1) ? 0, g (3) ? ?

2 ln 3 ? 0, a ? g ( x) max ? 0,? a ? 0 3

---------------------------------10 分 -------------------------12 分

综上所述,实数 a 的取值范围为 a ? 0 .

- 10 -


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