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高中数学竞赛讲座 34一次方程与一次不等式


竞赛讲座 34 -一次方程与一次不等式
1.一次方程(组) 一次方程(组)是最简单的方程,是进一步研究函数、方程、不等式等的基础,先看一个含 字母系数的一元一次方程的讨论. 例 1(第 36 届美国中学数学竞赛题)设 a,a'b,b'是实数,且 a 和 a'不为零,当且仅 当( )时,ax+b=0 的解小于 a'x+b'=0 的解. (A)a'b<ab' (B)ab'<

a'b (C)ab<a'b'

(D)

(E)



∵a≠0,∴ax+b=0 的解是



∵a'≠0,∴a'x+b'=0 的解是



根据题意得 故应选(E). 例2

.

(第 4 届美国数学邀请赛试题)若 x1,x2,x3,x4 和 x5 满足下列方程组:

① ②③④⑤

确定 3x4+2x5 的值. 解 将已知的五个方程加起来,然后,把所得方程的两边除以 6 得 (*)

x1+x2+x3+x4+x5=31,

由第 4、第 5 个方程分别减去方程(*),得 x4=17, ∴ x5=65, 3x4+2x5=181

说明,上面解答所提供的用 31 代换 x1+x2+x3+x4+x5 的整体代换方法是一种重要的解题策略. 例3 (1982 年天津初中数学竞赛题) 已知关于 x, y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0, 当 a 每取一个值时就有一个方程,而这些方程有一个公共解,你能求出这个公共解,并证明 对任何 a 值它都能使方程成立吗? 分析 依题意,即要证明存在一组与 a 无关的 x,y 的值,使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0 恒成立,令 a 取两个特殊值(如 a=1 或 a=-2),可得两个方程,解由这两个方程构成的方 程组得到一组解,再代入原方程验证,如满足方程则命题获证, 我们也可以这样想:将原方程整理成为形如 a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0 将原方程转化为关于字母 a 的一元一次方程,由题知该方程对 a 取任意值成立必须且只须 x+y-2=0,同时-x+2y+5=0. 联立以上两方程易得原方程的解. 以上所提出的两种解法将在本书的其它部分有更详细的讲述. 2.一次不等式 解一元一次不等式主要依据下列不等式的性质: (1)不等式的两边加上(或减去)同一个实数,所得不等式与原不等式同向;

(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数,所得不等式与原不等式同向; (3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数,所得不等式与原不等式反向.

例 4(上海 1989 年初二竞赛题)如果关于 x 的不等式(2a-b)x+a-5b>0 的解为 么关于 x 的不等式 ax>b 的解是多少?

,那

分析由(2a-b)x+a-5b>0 可得 (2a-b) x>5b-a,注意到题目已给出的解得知仅当 2a-b<0 时, 有

.故,对不等式 ax>b,当 a>0 时,x>

,a<0,x

> 例 5(1973 年加拿大中学生竞赛题)求满足|x+3|-|x-1|=x+1 的一切实数解. 分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号,令 x+3=0,x-1=0,分别得 x=-3,x=1,-3,1 将 全部实数分成 3 段:x<-3 或-3≤x<1 或 x≥1,然后在每一段上去绝对值符号解方程,例 如,当 x<-3 时,|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1,∴x=-5,x=-5 满足 x <-3,故是原方程的一个解,求出每一段上的解,将它们合并,便得到原方程的全部解,这 种方法叫做“零点”分段法,x=-3,x=1 叫做零点. 例 6(1978 年上海竞赛题)解绝对值不等式|x-5|-|2x+3|<1.

解 令 x-5=0,或 2x=3=0,得 x=5,或 x=

,它们将实数分成三部分,如图 4-1(此处无图).

原不等式的解由下面三个不等式组的解的全体组成:

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)

由(Ⅰ)得 x<-7;由(Ⅱ)得

<x<5;由(Ⅲ)得 x ≥5,所以原不等式的解为 x<-7 或

x>

.

例 7(1978 年广东数学竞赛试题)不等式|x|+|y|<100 的整数解有多少组(x≠y)? 解 |x|+|y|<100,∴0≤|x|≤99,0≤|y|≤99,故 x、y 分别可取-99 到 99 之间的 199 个 整数,且 x≠y,现将所有可能的情况列有如下:(此处无表) 故满足不等式|x|+|y|<100 且 x≠y 的整数解组数为:

198+2(1+3+?+99)+2(100+102+?+196)=198+ =198+100×50+296×49=19702(组). 若有依次排列着的一列数, 每后一个数与它前面一个数的差总等于一个常数, 我们称这一列 数形成一个等差数列,依据这一概念我们来解答下面这个题目. 例 8(1988 年日本大学入学试题)设有满足 1<a<b<c 的四个数 1,a,b,c,其中两两之 和组成的六个数各不相同,而把它们从小到大排起来形成一个等差数列,且其和为 201,求 a、b、c 之值. 解由条件知其两两之和为六个数,且有关系式 1+a<1+b<1+c; 1+b<a+b; a+b<a+c<b+c 1+c<a+c

根据 1+ c 和 a+b 的大小关系可分为两种情况: i)1+a<1+b<1+c<a+b<a+c<b+c; ii)1+a<1+b<a+b<1+c<a+c<b+c. 在 i)情况下,由等差数列性质知 (b+c)-(a+c)=(a+c)-(a+b)

=(c+b)-(1+c) 设公差为 k,即 b-a=c-b=a+b-c-1=k 从而有 b=a+k c=b+k=a+2k 代入 a+b-c-1=k 中,得 a+a+k-a-2k-1=k 于是 a=2k+1 b=3k+1 c=4k+1

又因为六个数之和为 201,所以 3(a+b+c+1)=201 a+b+c=66 k=7

即(2k+1)+(3k+1)+(4k+1)=66 ∴a=15 b=22 c=29

类似地在 ii)情况下可解得 a=10 b=19 c=37

3.二元一次不定方程 我们把形如 ax+by=c(ab≠0)的方程叫做二元一次不定方程,在这里我们只研究方程系数 a, b,c 为整数的情况(以下不再作说明).关于二元一次不定方程的整数解,有下面的简单定 理. 定理 1 若 a,b 的最大公约数 d 不能整除 c,则方程 ax+by=c 没有整数解. 以下约定记号(a,b)=1 表示整数 a,b 互质. 定理 2 对于方程 ax+by=c,(a,b)=1 如果(x0,y0)是方程的一组整数解,那么

(t 为整数) 是方程的全部整数解. 我们不证明这两个定理,定理的证明完全可以仿照下面例题的解答给出. 例 9x,y 是满足条件 2x+3y=a 的整数(a 是整数),证明必存在一整数 b,使 x,y 能表示为 x=-a+3b,y=a-2b 的形式. 证明:∵2x+3y=a

, ∵ x,y 是整数.





,则 y=a-2b.

这时, 2x+3y=2(3b-a)+3(a-2b) =6b-2a+3a-6b=a



这说明整数 b 能使 x=-a+3b,y=a-2b 满足方程 2x+3y=a. 上面证明中用到的辗转相除法实际上是解二元一次不定方程常用的方法. 例 10 求 37x+41y=1 的一组整数解. 解 37x+41y=1 即

为整数,这时 x=+9+1=10,故 x=10,y=-9 是方程的一组整数解. 说明:本题只要求求出一组整数解,依定理 2 这个方程的全部整数解为:

(t 为参数) 例 11 小张和他的朋友小王两人都有工作,小张每工作八天后休息一天,小王每工作五天 后休息一天,小张今天休息,小王明天休息,问他们哪天(如果有这一天的话)一同休息?

解 出题设知小张工作周期是 9 天,小王工作周期是 6 天.如果他们在某天一同休息,则可 设小张已工作了 x 周,小王已工作了 y 周,据题意列方程: 9x-6y =1. 显然 31(9x-6y),3 1,所以方程无整数解, 故小张和小王不可能同一天休息. 例 12 (中国古代数学问题)百钱买百鸡,公鸡每只值 5 钱,母鸡每只值 3 钱,雏鸡每三 只值 1 钱,问公、母、雏鸡各买了几只? 解设买公、母、雏鸡的数目分别为 x、y、z 只,则





②×3-①并化简得 7x+4y=100 ③

由于(-1,2)是方程 7x+4y=1 的一组解,所以(-100,200)是方程③的一组解,因此通解 为:

∴ t=25,26,27,28,故公、母、雏鸡的数量分别为(0,25,79),或(4,18,78)或 (8,11,81)或(12,4,84). 练 习 四

1.选择题 (1)如果 x<-2,那么|1-|1+x||的值应是( ) (A)x (B)-x (C)2+x (D)-2-x

(2)已知|x-1|+|x-2|-1,则 x 的值( ) (A)只能为 1 (C)可能为任何实数 (B)只能为 2 (D)为满足 1≤x≤2 的一切实数

(3) (1987 年全国竞赛题)已知方程|x|=ax+1 有一个负根而没有正根,那么 a 的取值范围 是( ) (A)a>-1 2.填空题 (1)读一本书,如一天读 80 页,需 4 天多读完,如一天读 90 页,需 3 天多读完,现为使 每天读的页数与读完的天数相等,则每天应读____页. (B)a=1 (C)a≥1 (D)非上述答案

(2)某班学生不到 50 人,在一次测验中,有 及格,则不及格的学生有____人. (3)(1989 年上海初一试题),方程

的学生得优,

的学生得

并且 abc≠0,那么 x____ (4)使得不等式 3x-a≤0 只有三个正整数解,那么这时正数 a 的取值范围是_____. 3.解不等式 a(x-a)>x-1. 4.|x-5|-|2x+3|<1,求 x 的取值范围. 5.求 11x+15y=7 的全部整数解 6.用一元钱买 15 张邮票,其中有 4 分,8 分,1 角的三种邮票,问有多少种买法?

7.已知某个六位数 倍,求原来的六位数.

的首位移到末位而其余数字不动,所得新数

是原数的 3

8.(欧拉问题)一头猪卖 个银币卖了这三种牲畜 100 头,问买猪、山羊、绵羊各几头? 9.(1978 年武汉市数学竞赛题)解关于 x1,x2,x3,?,xn-1,xn 的方程组 x2+x3+x4+?+xn-1+xn=1, x1+x3+x4+?+xn-1+xn=2, x1+x2+x4+?+xn-1+xn=3, ??? x1+x2+x3+?+xn-1=n.

银币,有人用 100

10.(第 16 届美国中学生数学竞赛题)求证:对每个正整数,恒存在它的某个整倍数,在十 进制表示式中,用到所有的十个数字.


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