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函数与极限测试题及答案(一)


函数与极限测试题(一) 一、 填空题

1、若 f ?

? 1 ? ln x ? 1 ? ? ,则 f ? x ? ? _____。 ? 1 ? ln x ? x

2、函数 f ? x ? 的定义域为 ? a , b? ,则 f ? 2x ?1? 的定义域为_____。 3、若 x ? 0 时,无穷小 ln

1 ? x2 ? x ? 与 a sin 2 ? ? 等价,则常数 a ? _____。 2 1? x ? 2?

4、设 f ? x ? ? lim
n ??

? n ? 1? x ,则
nx 2 ? 1

f ? x ? 的间断点为 x ? _____。

二、

单选题

1、当 x ? 0 时,变量

1 1 sin 是( 2 x x



A、无穷小 C、有界的,但不是无穷小 2、设函数 f ? x ? ? ( )

B、无穷大 D、无界的,也不是无穷大

x 在 ? ?? , ? ?? 上连续,且 lim f ? x ? ? 0 ,则常数 a , b 满足 x ??? a ? ebx
B、 a ? 0 , b ? 0 D、 a ? 0 , b ? 0
x

A、 a ? 0 , b ? 0 C、 a ? 0 , b ? 0
x

3、设 f ? x ? ? 2 ? 3 ? 2 ,则当 x ? 0 时( A、 f ? x ? 与 x 是等价无穷小 C、 f ? x ? 是 x 的高阶无穷小



B、 f ? x ? 与 x 是同阶但非等价无穷小 D、 f ? x ? 是 x 的低阶无穷小
x ??

m 4、 设对任意的 x , 总有 ? ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? , l ? g ?x ? ? ? x 且i ? ?
为( ) A、存在且等于零 C、一定不存在 例: ? ? x ? ? x , f ? x ? ? x ? 三、 1、 求下列极限 B、存在但不一定等于零 D、不一定存在

?? ? ?0

m f ? x? , l 则i
x ??

1 2 x ?2

, g ? x? ? x ?

1 x ?1

x ???

lim

4 x2 ? x ?1 ? x ? 1 x 2 ? sin x

? 2 x ? ? x ?1?2 2、 lim ? 2 ? x ?1 x ? 1 ? ?

2x

四、

? ln ?1 ? ax3 ? ? ? 1 ? tan x ? 1? sin x ? b 确定 a , b 的值,使 f ? x ? ? ? ? 1 1 ? x ? x2 ? ln x 1 ? x ? x2 ? ?

x?0 x ? 0 在 ? ?? , ? ?? 内连 x?0

续。 指出函数 f ? x ? ?

五、

e ?e
x ?1

1 x 1 x

的间断点及其类型。

e ?e
六、 根。 七、

设 a1 , a2 , a3 , a4 为正常数, 证明方程

a a1 a a ? 2 ? 3 ? 4 ? 0 有且仅有三个实 x x ?1 x ? 2 x ? 3

设函数 f ? x ? , g ? x ? 在 ? a , b? 上连续, 且满足 f ? a ? ? g ?a ? , f ?b ? ? g ?b ? , 证明:

在 ? a , b? 内至少存在一点 ? ,使得 f

?? ? ? g ?? ? 。

函数与极限测试题答案(一) 一、1、

e

1? x 1? x



2、

b ? 1? ? a ?1 , ? 2 2 ? ? ?



3、

?4



4、

0



二、1—4、DCBD

4?
三、1、解:原式 ? lim
x ???

1 1 1 ? 2 ?1? x x x ? 3; sin x 1? 2 x
2

x ?1 ? ? ? ? ? x ? 1?2 ? ?? x ?1?2 ? ? 2、解:原式 ? lim ??1 ? ? ? x ?1 ? x2 ? 1 ? ?? ? ? ? ?

?

2x x 2 ?1

? e?1

四、解:注意当 ?

?
4

?x??

?
2

时, 1 ? tan x 无意义,所以不存在 a , b 的值使 f ? x ? 在

。改后即要 ? ?? , ? ?? 内连续。此题应把“在 ? ?? , ? ?? 内连续”改为“在 x ? 0 处连续” 求 lim f ? x ? ? f ? 0 ? ? b ,此式等价于 lim f ? x ? ? lim f ? x ? ? f ? 0 ? ? b ,即 ? ?
x ?0 x ?0 x ?0

?2 x ? ? ln ?1 ? ? 1 1? x ? x ?2 1 ? x ? x2 ? lim ln ? lim ? ? lim ? ?2 ? b 2 2 ? ? ? x ?0 x x ?0 x ?0 1 ? x ? x 1? x ? x x
2

x ?0

lim ?

ln ?1 ? ax3 ? 1 ? tan x ? 1 ? sin x

? lim ?
x ?0

ln ?1 ? ax3 ?

?

1 ? tan x ? 1 ? sin x

?

tan x ? sin x

? lim ?
x ?0

ax3

?

1 ? tan x ? 1 ? sin x 1 3 x 2

? ? 4a ? b ? ?2

所以 a ? ?

1 , b ? ?2 。 2

1 1 ?? 五、解: x ? 0 , x ? ?1 是此函数的间断点,因为 x ? 0 时, ? ?? , e x ? e ? 0 , x
?

所以 lim ?
x ?0

e ?e
x ?1

1 x 1 x

? e , x ? 0? 时,又因为

e ?e

1 1 1 ? ?? , e x ? e?? ? ?? , 1 ? 0 ,所以 x ex

ex
x ?0

lim ?

e ?e
x

1 x 1 x

e?1 ? e

? lim e?1 x ?0? e e
1 x

1 x

?1 ? 1 , x ? 0 是跳跃间断点。 ?1

因为 lim

e ?e
x ?1

1 x 1 x

x ??1

? 1 , x ? 1 是可去间断点。
a ? x ? 1?? x ? 2?? x ? 3? ? a2 x ? x ? 2 ?? x ? 3? ? a3 x ? x ? 1?? x ? 3? ? a4 x ? x ? 1?? x ? 2 ? a a2 a ? 3 ? 4 ? 1 x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3?

e ?e

六、 证明: 因为 a1 ?
x

分子是一个三次多项式,根据代数基本理论,分子最多有三个实的零点,即原方程最多有三 个实根;又因为 lim ? ?
x ?0

a a a ? ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ?? ? x x ?1 x ? 2 x ? 3 ?

a a a a ? a a ? ?a ?a lim ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ?? , lim ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ?? ? ? x ?1 ? x x ?1 ? x x ?1 x ? 2 x ? 3 ? x ?1 x ? 2 x ? 3 ? a a a a ? a a ? ?a ?a lim ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ?? , lim ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ?? ? ? x ?2 ? x x ?2 ? x x ?1 x ? 2 x ? 3 ? x ?1 x ? 2 x ? 3 ? a a a ? ?a lim ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ?? ,所以利用零点定理,在区间 ? x x ?1 x ? 2 x ? 3 ?

x ?3?

? 0 , 1? , ?1 , 2? , ? 2 , 3? 原方程分别至少有一个实根。所以原方程有且仅有三个实根。
七、证明:在区间 ? a , b? 上考虑函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ,由已知可得 F ? x ? 在 ? a , b? 上 连续。 F ? a ? ? f ? a ? ? g ? a ? ? 0 , F ?b ? ? f ?b ? ? g ?b ? ? 0

1)如果 F ? a ? ? 0 或 F ?b? ? 0 ,则 ? 可取 a 或 b 。 2)如果 F ? a ? ? 0 且 F ?b? ? 0 ,由零点定理,至少存在一点 ? ? ? a , b ? ,使得 F ?? ? ? 0 即

f ?? ? ? g ?? ? 。


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