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高二理科下学期期末数学复习综合训练题1,docx.


2013——2014 高二理科数学期末复习综合测试题(1)

试卷副标题
考试范围:xxx;考试时间:120 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)

? x ? y ? 1 ? 0, ? 1.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最小值是( ? y ? 0. ?
A.0 B.

) .

1 2

C.-1

D. ?

3 2
)

2.已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A.

4 5

B.

3 5
3 2

C.

2 5

D.

1 5

3.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1 无极值,则实数 a 的取值范围是 ( A. ?3 ? a ? 6 B. ?3 ? a ? 6 C. a ? ?3或a ? 6

)

D. a ? ?3或a ? 6

4.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x , y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题; ④“存在 ? , ? ? R ,使 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立”的否定. 其中真命题为( A.①② ) B.②③ C.①③ D.③④

5.已知圆的圆心为 C(-1,3) ,直线 3x+4y-7=0 被圆截得的弦长为 8 6 ,则圆的方程为
5




试卷第 1 页,总 5 页

A.(x+1)2+(y-3)2=4 C.(x+1)2+(y+3)2=4

B.(x-1)2+(y+3)2=4 D.(x-1)2+(y-3)2=4

6.在 R 上定义运算 ? : x ? y ?

x ,若关于 x 的不等式 x ? ( x ? 1 ? a) ? 0 的解集是 2? y


{x | ?2 ? x ? 2, x ? R}的子集,则实数 a 的取值范围是(
A. ?2 ? a ? 2 C. ?3 ? a ? ?1 或 ?1 ? a ? 1 B. ?1 ? a ? 2 D. ?3 ? a ? 1

7.在 下 列 三 个 命 题 中 ( 1 ) 命 题 “ 若 p , 则 q ” 与 命 题 “ 若 ?q , 则 ? p ” 互 为 逆 否 命 题 ; ( 2) ,满足
,

则该函数是 周期为 4 的周期函数;

( 3 )命 题 p : ?x ?[0,1], e x ? 1,

2 命 题 q :?x? R , x ? x?1 ?0 , 则 p ? q 为 真 ;

( 4) “a+b=2”是“直线 x+y=0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 相切”的必要不充分条件. 其中错 .误 .的 .个 数 是 ( A. 0 B. 1 ) C. 2 D. 3

8.已知直线 x ? y ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? a 交于 A 、 B 两点, O 是原点,C 是圆上一点,若

OA ? OB ? OC ,则 a 的值为(
A. 1 B. 2 C. 2

) D. 4

9.已知直线 3x ? 4 y ? 3 ? 0 与直线 6 x ? my ? 14 ? 0 平行,则它们之间的距离是 A.

17 10

B.

17 5

C.8

D.2

10.f ( x) 是定义在 R ? 的可导函数, 对 x ? ?0,?? ? , 都有 f ( x) ? 0 , 且 f ( x) ? f ?( x) ? ln x x , 则 A. f (2) ? f (e) ? ln 2 B. f (2) ? f (e) ? ln 2 C. f (2) ? f (e) ? ln 2 D. 不能确定

试卷第 2 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11.若“ ?x ? R, 使 x 2 ? 2ax ? 2 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的范围



12.我们知道,在边长为 a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值 上述结论, 在边长 为 a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值

3 a ,类比 2


13.设抛物线为 y 2 ? 4 x ,过点(1,0)的直线 l 与抛物线交于 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) 两 点,则 x1 x2 ? y1 y2 ? .

14.已知 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,∠F1PF2=900,则△F1PF2 的 25 9

面积为___________; 15. 在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A(2,1),若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y =2px(p>0) 的焦点,则该抛物线的准线方程是 .
2

评卷人

得分 三、解答题(题型注释)

16. 已知实数 x, y 满足

x2 y 2 ? ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? x 的最大值与最小值 4 2

试卷第 3 页,总 5 页

17.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2: 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?

18.命题甲: a ? R, 关于 x 的方程 | x |? ax ? 1(a ? 0) 有两个非零实数解; 命题乙: a ? R, 关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为空集; 当甲、乙 中有且仅有一个为真命题时, 求实数 a 的取值范围.

19.已知函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? 2 在 x ? 1 处取得极值 ?1 .
3 2

(1)求 b、c 的值; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? t ? 0 在区间 ??11 , ? 上有实根,求实数 t 的取值范围.

试卷第 4 页,总 5 页

20. 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, AA1C1C 是边长为 4 的正方形, 平面 ABC⊥平面 AA1C1C, AB=3,BC=5.

(1)求直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值; (2)在线段 BC1 上确定一点 D,使得 AD⊥A1B,并求

BD 的值. BC1

21.以点 F1(-1,0) ,F2(1,0)为焦点的椭圆 C 经过点(1, (I)求椭圆 C 的方程;

3 ) 。 2

(II)过 P 点分别以 k1 , ? k1 , k2 , ? k2 ? k1k2 ? 0 , k1 ? k2 ? 为斜率的直线分别交椭圆 C 于 A, B,M,N,求证: ?? ? R 使得 AB ? ? MN .

试卷第 5 页,总 5 页

参考答案 1.D【解析】 2.B 【解析】 试题分析:椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,即 2a,2b,2c 成等差数列,
2 2 2 所以, 2 ? 2b ? 2a ? 2c, 2b ? a ? c ,又 a ? b ? c , e ?

c , a

所以, (5e ? 3)(e ? 1) ? 0, e ?

3 ,选 B。 5

考点:等差数列,椭圆的几何性质。 点评: 小综合题, 通过椭圆长轴长、 短轴长和焦距成等差数列, 确定得到 a,b,c 的一种关系, 利用,椭圆的几何性质,确定得到离心率 e。 3.A【解析】 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a ? 6 ;由题意知方程 3x 2 ? 2ax ? a ? 6 ? 0 无实根或有两 个等根。则 ? ? 4a2 ?12(a ? 6) ? 0,即a2 ? 3a ?18 ? 0 解得 ?3 ? a ? 6. 故选 A 4.C【解析】 试题分析:解:①“若 x ? y ? 0 , 则 x , y 互为相反数”的逆命题: “若 x, y 互为相反数, 则 x ? y ? 0 ”是真命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题: “若两个三角形不全等,则这两个三角形的面积不 相等”是假命题; ③“若 q ? 1 ,则 x 2 ? 2 x ? q ? 0 有实根”是真命题,则它的的逆否命题也是真命题; ④ “存在 ? , ? ? R , 使s i n ( ? ?? ) ? s i n 故选 C.考点:四种命题及其关系. 5.A【解析】设圆的半径为 R,则 R2=( 4 6 )2+( ? 3 ? 12 ? 7 )2 =4.
5

?sin ?

? 成立”是真命题,它的的否定是假命题.

5

6.D【解析】 试题分析: x ? ( x ? 1 ? a) ? 0 ?

x x x ?0? ?0? ? 0, 2 ? ?x ? 1 ? a ? a ?1? x x ? ?a ? 1?

设 A 为关于 x 的不等式 x ? ( x ? 1 ? a) ? 0 的解集,当 A 为 ? 时,则 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 ;当

a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时, A ? ?0, a ? 1? ? ?? 2,2? ,则 a ? 1 ? 2 即 a ? 1 ,所以 ? 1 ? a ? 1 ;
当 a ? 1 ? 0 即 a ? ?1 时 , A ? ?a ? 1,0? ? ?? 2,2? , 则 a ? 1 ? ?2 即 a ? ?3 , 所 以

? 3 ? a ? ?1 ;综上可知 ?3 ? a ? 1 .
考点:新定义、含参数不等式的解法. 7.B【解析】略 8.C【解析】

答案第 1 页,总 6 页

试 题 分 析 : ∵ A, B, C 均 为 圆 x 2 ? y 2 ? a 上 的 点 , 故 O A ? O B ?

O C?
2 2

a ∵ ,
,即

OA ? OB ? OC ,∴ OA ? OB

?

? ? ?OC ?
2

2

,即 OA

? ?

2

? 2OA ? OB ? OB

? ? ? ? OC ?

a ? 2a ? cos ? ? a ? a ,故 ?AOB ? 120? ,则圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?
解得 a ? 2 .考点:向量在几何中的应用;直线与圆相交的性质. 9.D【解析】 10.A【解析】略 11. [? 2, 2] 【解析】略

1 a , ? 2 2

12.

6a 【解析】略 3

?3 【解析】略 13. 14.9【解析】解:∵a=5,b=3;∴c=4, 2 2 2 2 设|PF1|=t1,|PF2|=t2,则 t1+t2=10①t1 +t2 =8 ②,由① -②得 t1t2=18,
∴S△F1PF2=

1 1 t1t2= ×18=9.故答案为:9. 2 2

15.x=-

5 1 ? 1? 【解析】线段 OA 的斜率 k= ,中点坐标为 ?1, ? . 4 2 ? 2?
y-

所以线段 OA 的垂直平分线的方程是

1 =-2(x-1), 2

令 y=0 得到 x=

5 ?5 ? . 即抛物线的焦点为 ? , 0 ? . 4 ?4 ? 5 . 4
3 ,当 x ? ?2 时, x2 ? y 2 ? x 取得最大值 6 2

所以该抛物线的准线方程为 x=-

16.当 x ? 1 时, x2 ? y 2 ? x 取得最小值

【解析】 【解题思路】 把 x2 ? y 2 ? x 看作 x 的函数



x2 y 2 1 1 ? ? 1 得 y 2 ? 2 ? x 2 , ? 2 ? x 2 ? 0 ? ?2 ? x ? 2 2 2 4 2

1 2 1 3 x ? x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? , x ? [?2,2] 2 2 2 3 当 x ? 1 时, x2 ? y 2 ? x 取得最小值 ,当 x ? ?2 时, x2 ? y 2 ? x 取得最大值 6 2 ? x2 ? y2 ? x ?
【名师指引】注意曲线的范围,才能在求最值时不出差错
答案第 2 页,总 6 页

17.解:设长方体的宽为 x(m) ,则长为 2x(m),高为 18 ? 12x 3? ? h? ? 4.5 ? 3x(m) ? 0<x< ? . 4 2? ? 故长方体的体积为
V ( x) ? 2x 2 (4.5 ? 3x) ? 9x 2 ? 6x 3 (m 3 ) 3 (0<x< ). 2

从而 V ?( x) ? 18x ? 18x 2 (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x). 令 V′(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=1,因此 x=1. 当 0<x<1 时,V′(x)>0;当 1<x<
2 时,V′(x)<0, 3

故在 x=1 处 V(x)取得极大值,并且这个极大值就是 V(x)的最大值。 2 3 3 从而最大体积 V=V′(x)=9×1 -6×1 (m ) ,此时长方体的长为 2 m,高为 1.5 m. 3 答:当长方体的长为 2 m 时,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体积最大,最大体积为 3 m 。 【解析】略 7 18. a ? [ ? ,0] ? {1} 9 【解析】当甲真时,设 y ?| x | 和y ? ax ? 1 (a ? 0) ,即两函数图象有两个交点. 则0 ? a ?1

?a 2 ? 1 ? 0 当乙真时, a ? 1 时 满足 或 ? 也满足 ? ??0
则?

7 ? a ?1 9

a ? 1或a ? 0 ? ? 0 ? a ?1 7 ? ? ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时,即 ? 或? 7 a ? 1或a ? ? ? ? a ?1 ? 9 ? ? ? 9
∴ a ? [?

7 ,0] ? {1} 9
(2) ?7 ? t ? 1
2

19.(1) b ? 1, c ? ?5

【解析】(1) f ? ? x ? ? 3x ? 2bx ? c 由已知得:

1分
2分
解得: ?

? ? f ? ?1? ? 3 ? 2b ? c ? 0 ? ? ? f ?1? ? 3 ? b ? c ? ?1
3 2

? b ?1 ?c ? ?5

1分

(2) 设 g ? x ? ? f ? x ? ? t ? x ? x ? 5x ? 2 ? t ,则

g? ? x ? ? 3x2 ? 2x ? 5 ? ?3x ? 5?? x ?1?
5? ? ? g ? x? 的单调增区间是 ? ??, ? ? , ?1, ?? ? 3? ?

1分


? 5 ? g ? x ? 的单调减区间是 ? ? ,1? ? 3 ?

? g ? x? 在区间 ??11 , ? 上递增

3分
答案第 3 页,总 6 页

要使关于 x 的方程 f ? x ? ? t ? 0 在区间 ??11 , ? 上有实根,只需 ? 解得: ?7 ? t ? 1 20.(1)

? ? g ? ?1? ? 0 , ? ? g ?1? ? 0

2分

2分

BD 9 12 ? (2) 25 BC1 25

【解析】试题分析:(1)解决这类问题的思路是,根据几何体的结构特征找出或作出所求 的线面角,再设法利用三角形知识求其正弦;或是建立适当的空间直角坐标系,借助法向量 和直线的方向向量求直线与平面所成角的正弦; 由于该问题中的几何体中棱的垂直关系较为 明显,可采用后者. (2)在(1)中已建立空间直角坐标系的基础上,用向量法解决垂直问题很是方便. 设 D(x,y,z)是线段 BC1 上一点,且 BD =λ BC1 (λ ∈[0,1]),求出向量 AD 的坐标, 利用互相垂直的向量的数量积为零建立方程,求出 ? 的值. 试题解析:(1)∵AA1C1C 为正方形,∴AA1⊥AC. ∵平面 ABC⊥平面 AA1C1C, ∴AA1⊥平面 ABC, ∴AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由已知 AB=3,BC=5,AC=4,∴AB⊥AC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-xyz,

则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), ∴A 1B =(0,3,-4), AC 1 1 =(4,0,0), B 1C1 =(4,-3,0). 设平面 A1BC1 的法向量为 n=(x,y,z),则

? ?n ? A1 B ? 0 ?3 y ? 4 z ? 0 即? ? ? ?n ? A1C1 ? 0 ?4 x ? 0
令 z=3,则 x=0,y=4,∴n=(0,4,3). 设直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成的角为 θ ,则 sinθ =|cos< B1C1 ,n>|=

B1C1 ? n B1C1 n



3 ? 4 12 = . 5 ? 5 25

答案第 4 页,总 6 页

故直线 B1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为

12 . 25

6分

(2)设 D(x,y,z)是线段 BC1 上一点,且 BD =λ BC1 (λ ∈[0,1]), ∴(x,y-3,z)=λ (4,-3,4), ∴x=4λ ,y=3-3λ ,z=4λ , ∴ AD =(4λ ,3-3λ ,4λ ). 又A 1B =(0,3,-4), 由 AD · A 1B =0,得 3(3-3λ )-4×4λ =0, 即 9-25λ =0,解得 λ =

9 ∈[0,1]. 25

故在线段 BC1 上存在点 D,使得 AD⊥A1B. 此时

BD 9 =λ = . 25 BC1
x2 y 2 (II)详见试题解析. ? ? 1; 4 3

12 分

考点:1、直线与平面所成角的概念;2、空间直角坐标系;3、空间向量的夹角公式的应用. 21. (I) 【解析】 试题分析: (I)设椭圆 C :
?c ? 1 , x2 y 2 ? 2 由已知得 ? ? 1 a ? b ? 0 . ? ? ?b 3 解出 a , b 得椭圆方程; a 2 b2 ? ? . ?a 2
? x2 y2 ? ?1, ? 3 ? . 由 题 意 可 知 PA : y ? ? k1 ? x ? 1? . 联 立 ? 4 3 得 2 ? y ? 3 ? k ? x ? 1? . 1 ? ? 2

( II ) 只 要 证 k AB ? kMN

?3 ? 4k ? x
2 1

2

? 4 ? ?2k12 ? 3k1 ? x ? 4k12 ?12k1 ? 3 ? 0 .

















k AB ?

y ? yN y A ? yB , k MN ? M , 验算得 k AB ? kMN ,从而证得结论. x A ? xB xM ? x N

?a ? 2 , ?c ? 1 , ? x2 y 2 ? 2 试题解析: (I)设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? . 由已知得 ? b 3 ? ?b ? 3 , , a b ? ? . ?c ? 1. ?a 2 ?

故椭圆

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

4分
? x2 y2 ? ?1, ? ?4 3 ? ? y ? 3 ? k ? x ? 1? . 1 ? ? 2

( II

) 由 题 意 可 知

PA : y ?

3 ? k1 ? x ? 1? . 2







?3 ? 4k ? x
2 1

2

? 4 ? ?2k12 ? 3k1 ? x ? 4k12 ?12k1 ? 3 ? 0 .

6分

答案第 5 页,总 6 页

? xA ?

4k12 ? 12k1 ? 3 4k12 ? 12k1 ? 3 x ? , ? k k 用 代替 即得 B 1 1 3 ? 4k12 3 ? 4k12

? k AB

3 ? 3? k1 ? xA ? 1? ? ? ??k1 ? xB ? 1? ? ? y ? yB 2 ? 2 ? k1 ? xA ? xB ? ? 2k1 ? A ? ? ? ?? . xA ? xB xA ? xB xA ? xB

9分

? x A ? xB ?

4k12 ? 12k1 ? 3 4k12 ? 12k1 ? 3 8k12 ? 6 4k 2 ? 12k1 ? 3 4k12 ? 12k1 ? 3 ?24k1 ? ? , x A ? xB ? 1 ? ? . 2 2 2 3 ? 4k1 3 ? 4k1 3 ? 4k1 3 ? 4k12 3 ? 4k12 3 ? 4k12

11 分
1 1 代入 ? ?? 式,即 k AB ? . 同理 kMN ? . 故 ?? ? R , 使得 AB ? ? MN . 2 2 考点:1.圆锥曲线方程的求法;2.直线与圆锥曲线的位置关系.

13 分

答案第 6 页,总 6 页



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