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【数学】2.4《等比数列》教案(新人教A版必修5)(2课时)


知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来
课题: §2.4 等比数列 授课类型: 授课类型:新授课 (第 1 课时) ●教学目标 知识与技能: 知识与技能:掌握等比数列的定义;理解等比数列的通项公式及推导; 过程与方法: 过程与方法:通过实例,理解等比数列的概念;探索并掌握等比数列的通项公式、性质,能 在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,提高数学建模能力;体会等比数列与指数函数 的关系。 情感态度与价值观: 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并 应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习:等差数列的定义 (n≥2,n∈N + ) 复习:等差数列的定义: a n - a n ?1 =d , 等差数列是一类特殊的数列,在现实生活中,除了等差数列,我们还会遇到下面一类特殊的 数列。 课本 P41 页的 4 个例子: ①1,2,4,8,16,… ②1,

1 1 1 1 , , , ,… 2 4 8 16
2 3 4

③1,20, 20 , 20 , 20 ,… ④ 10000 × 1.0198 , 10000 × 1.0198
2

, 10000 × 1.0198

3

, 10000 × 1.0198

4



10000 × 1.01985 ,……
观察:请同学们仔细观察一下,看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征? 共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1.等比数列 . 比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个 常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表 示(q≠0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1

1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) { a n }成等比数列 ?

a n +1 + =q( n ∈ N ,q≠0) an

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2° 隐含:任一项 a n ≠ 0且q ≠ 0 “ a n ≠0”是数列{ a n }成等比数列的必要非充分条件. 3° q= 1 时,{an}为常数。 2.等比数列的通项公式 1: a n = a1 ? q 等比数列的通项公式 由等比数列的定义,有:
n ?1

(a1 ? q ≠ 0)

a 2 = a1 q ;
a 3 = a 2 q = (a1q )q = a1q 2 ; a 4 = a 3 q = (a1 q 2 )q = a1 q 3 ;
… … … … … … …

a n = a n ?1 q = a1 ? q n?1 (a1 ? q ≠ 0)
3.等比数列的通项公式 2: a n = a m ? q 等比数列的通项公式 等比数列的

新疆 王新敞
奎屯

m ?1

(a1 ? q ≠ 0)

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 既是等差又是等比数列的数列 探究: 探究:课本 P56 页的探究活动——等比数列与指数函数的关系 等比数列与指数函数的关系: 等比数列与指数函数的关系 的通项公式 a n = a1 ? q 等比数列 a n } { (q>0)上的一些孤立的点。 当 a1 > 0 ,q >1 时,等比数列{ a n }是递增数列; 当 a1 < 0 , 0 < q < 1 ,等比数列{ a n }是递增数列; 当 a1 > 0 , 0 < q < 1 时,等比数列{ a n }是递减数列; 当 a1 < 0 ,q >1 时,等比数列{ a n }是递减数列; 当 q < 0 时,等比数列{ a n }是摆动数列;当 q = 1 时,等比数列{ a n }是常数列。 [范例讲解] 范例讲解] 课本 P57 例 1、例 2、P58 例 3 解略。 Ⅲ.课堂练习 课本 P59 练习 1、2 补充练习] [补充练习] 2.(1) 一个等比数列的第 9 项是
n ?1

(a1 ? q ≠ 0) ,它的图象是分布在曲线 y =

a1 x q q

4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项(答案: a1 =2916) 9 3

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(2) 一个等比数列的第 2 项是 10, 3 项是 20, 第 求它的第 1 项与第 4 项 (答案:a1 =

a2 =5, q

a 4 = a3 q=40)
Ⅳ.课时小结 本节学习内容:等比数列的概念和等比数列的通项公式. Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 A 组 1、2 题 ●板书设计 ●授后记

课题: §2.4 等比数列 授课类型: 授课类型:新授课 (第2课时) ●教学目标 知识与技能: 知识与技能:灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项概念;熟悉等比数列 的有关性质,并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 过程与方法: 过程与方法:通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。 情感态度与价值观: 情感态度与价值观:充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并 应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比中项的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, .等比数列 那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠ 0) ,即:

an =q(q≠0) a n ?1
n ?1

2.等比数列的通项公式 a n = a1 ? q 等比数列的通项公式: 等比数列的通项公式 3. a n }成等比数列 ? . { 列的必要非充分条件

(a1 ? q ≠ 0) , a n = a m ? q n ? m (a m ? q ≠ 0)

a n +1 + =q( n ∈ N ,q≠0) “ a n ≠0”是数列{ a n }成等比数 an

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 既是等差又是等比数列的数列 Ⅱ.讲授新课

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1.等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 .等比中项: G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号) 如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G , 使 a,G , b 成 等 比 数 列 , 则

G b = ? G 2 = ab ? G = ± ab , a G
反之, G =ab,则 若 ≠0) 范例讲解] [范例讲解] 课本 P58 例 4 证明: 设数列 {a n } 的首项是 a1 , 公比为 q1 ; {bn } 的首项为 b1 , 公比为 q 2 , 那么数列 {a n ? bn }的第 n 项与第 n+1 项分别为:
2

G b = ,即 a,G,b 成等比数列。∴a,G,b 成等比数列 ? G 2 =ab(a· b a G

a1 ? q1

n ?1

? b1 ? q 2 与a1 ? q1 ? b1 ? q 2 即为a1b1 (q1 q 2 ) n ?1 与a1b1 (q1 q 2 ) n
n n

n ?1

a n +1 ? bn +1 a1b1 (q1 q 2 ) n ∵ = = q1 q 2 . a n ? bn a1b1 (q1q 2 ) n ?1
它是一个与 n 无关的常数,所以 {an ? bn }是一个以 q1q2 为公比的等比数列 拓展探究: 拓展探究: 对于例 4 中的等比数列{ an }与{ bn },数列{

an }也一定是等比数列吗? bn an a ,则 cn +1 = n +1 bn bn +1

探究:设数列{ an }与{ bn }的公比分别为 q1和q2 ,令 cn =

an +1 cn +1 bn +1 a b a q ∴ = = ( n +1 )i( n +1 ) = 1 ,所以,数列{ n }也一定是等比数列。 an bn cn an bn q2 bn
课本 P59 的练习 4 已知数列{ an }是等比数列, (1) a5 = a3 a7 是否成立? a5 = a1a9 成立吗?为什么?
2 2

(2) an = an ?1an +1 ( n > 1) 是否成立?你据此能得到什么结论?
2 2 an = an ? k an + k (n > k > 0) 是否成立?你又能得到什么结

论? 结论:2.等比数列的性质:若 m+n=p+k,则 a m a n = a p a k .等比数列的性质: 在等比数列中,m+n=p+q, a m , a n , a p , a k 有什么关系呢?

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由定义得: a m = a1 q
m ?1

a n = a1 q n ?1
2

a p = a1 q p ?1
p + k ?2

a k = a1 ? q k ?1

a m ? a n = a1 q m+ n ?2
2

, a p ? a k = a1 q

则 am an = a p ak

Ⅲ.课堂练习 课本 P59-60 的练习 3、5 Ⅳ.课时小结 1、若 m+n=p+q, a m ? a n = a p ? a q 2、若 {a n }, {bn }是项数相同的等比数列,则 {an ? bn }、{ Ⅴ.课后作业 课本 P60 习题 2.4A 组的 3、5 题 ●板书设计 ●授后记

an }也是等比数列 bn

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