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2.1-2.2向量及其运算线性关系


第二章 向量与线性方程组
2.1 向量及其运算

2.2 向量的线性关系
2.3 向量组与矩阵的秩

2.4
2.5 2.6
2016年5月24日星期二

齐次线性方程组
非齐次线性方程组 数学建模实例*
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当方程组的系数

行列式等于0,或者方程的个数少于未知量的 个数时,求逆矩阵和克拉默法则的这两种方法都失效了。 ?此时,是否有解?如果有,有几个?不止一个时,解与解之 间是什么联系?

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2

第2.1节 向量及运算
由n个数组成的有序数组称为向量

(a1 , a2 ,?, an )
? b1 ? ? ? ? b2 ? ??? ? ?b ? ? ? n?

行向量

分量都是零的 向量称为零向 量,记为0
列向量

ai 或 bi 叫作向量的分量,分量的个数叫做向量的维数。
行(列)向量可以看作只有一行(列)的矩阵
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向量的线性运算
与矩阵的加减法和数乘运算法则相同,向量的加减和 数乘只要把对应分量进行加减和数乘

?1 ? (4, ?5, 2), ?2 ? (?1,3, ?3), 求 3?1 ? ?2
解 答

3?1 ? ? 2 ? (12, ?15,6) ? (?1,3, ?3)
? (13, ?18,9)

向量的加减和数乘运算统称为向量的线性运算,

八 ①? ? ? ? ? 条 运 ③ ? ?0 ?? 算 律 ⑤ 1? ? ? ?
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??

② (? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? )
④ ? ? (?? ) ? 0 ⑥? (? ? ) ? (?? )?
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⑦ ? (? ? ? ) ? ?? ? ?? ⑧(? ? ? ) ? ? ?? ? ? ?

第2.2节
?向量的线性组合

向量的线性关系

?,? m,? 为n维向量, 设 ?1,? 2, 如果存在

k1,k2, ?,km 满足
? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? km? m
称? 可表示为?1,? 2, ? ? m的线性表示,或? 可 由?1,? 2, ? ? m线性组合。

k1,k 2, ?,k m 可以全为0, 因此,n维0向量可以由任意 一组n维向量线性表示.
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例: 设 ?1 ? ? 95 96 ? ,? 2 ? ? 97 98 ? , ? ? ? ? 99 100 ? , 讨论?能否由?1,?2线性表示. 解:考虑方程 x1?1 ? x2? 2 ? ? , 其分量形式为

?

?

? 95 x1 ? 97 x 2 ? 99 ? ?96 x1 ? 98 x 2 ? 100
该方程组的系数行列式显然不为零,故有解。
可见向量?能由?1,?2线性表示.

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6

定义 称全体n维向量组成的集合为n维向量空间,
记为

n

Rn

为n维基本向量。En ? ?? 1 设 ? ? ? a1 ,

R 中,称向量 ? 1 ? ?1, 0, ?, 0?? , ? 2 ? ?0, 1, ?, 0?? , ? …… ? n ? ?0, 0, ?, 1?
?2 ? ?n ?

任意n维向量?必能表示为?1,? 2, ?,? n的线性组合

a2 , ?, an ?

? ? En? ? ??1
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?2

? a1 ? ? ? a2 ? ? ? ?n ? ? a1?1 ? a2? 2 ? ? ? an? n ?? ? ? ? ? an ?
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?

向量组的线性相关性 定义 给定向量组S: ?1 , ? 2 , ?, ? m , 如果存在不全为零 的实数 k1 , k2 , ?, km , 使

k1?1 ? k2?2 ? ?? km?m ? 0
则称向量组S线性相关;否则称S线性无关。

(1)

?1, ?2 , ?, ?m 线性无关 ? ( 1)式仅当 k1 ? ? ? km ? 0成立
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例: 讨论n维向量组

? 1 ? ?1, 0, ?, 0?? , ? 2 ? ?0, 1, ?, 0?? ,

? n ? ?0, 0, ?, 1? 的线性相关性.

……

?

解:设有一组 x1 , x2 ,?, xn , 使得 x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n ? 0. 写成分量形式 ( x1 ,0,0,?,0) ? (0, x2 ,0,?,0) ? ? ? (0,0,0,?, xn ) ? 0
? ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) ? (0,0,0,?,0) ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 0

只有惟一的零解,因此,线性无关.
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线性相关的等价叙述

?1 ,? 2 ,?,? m 如果方程 设有n维向量组S:
x1?1 ? x2?2 ? ?? xm?m ? 0
有非零解

?

向量组 ?1 , ? 2 , ?, ? m , 线性相关。

否则,如果方程只有零解

?
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向量组 ?1 ,? 2 ,?,? m 线性无关。

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例 讨论向量

?1 ? (1,1,1), ?2 ? (1, ?1, 2), ?3 ? (1, 2,3)
的线性相关性。
解 考虑方程

x1?1 ? x2? 2 ? x3?3 ? 0

? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 0 ? x ? 2 x ? 3x ? 0 2 3 ? 1
由于方程组
方程组

(?)
1 2 1 3
11

(?) 的系数行列式

1 1

(?) 只有零解。 ?1 ,? 2 ,?3 线性无关
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1 ?1 2 ? ?5 ? 0

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A ? ??1 ?2 ? ?n ? 的行列式 A ? 0 ,则该向量 组线性无关。 证明 考虑方程

定理: 设有n维向量组 ?1 ,? 2 ,?,? n 如果方阵

x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n ? Ax ? 0
由于系数行列式 方程

(?)

A ? 0 由克莱姆法则的推论

(?)


只有零解。

推论

设有n维向量组 ?1 ,?, ? n

如果行列

?1 ? ?n ? 0 则该向量组线性相关。
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线性相关的一些命题(*定理2.3) 1. 含有零向量的向量组,总是线性相关的。

不妨设?1 ? 0,则 1? ?1 ? 0 ? ? 2 ? ? ? 0 ? ? m ? 0
注:单个零向量构成的向量组线性相关。单个 非零向量是线性无关的。
2.含有相同向量的向量组,总是线性相关的。

不妨设?1 ? ? 2,则 1? ?1 ? (-1) ??2 ? ? ? 0 ??m ? 0
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3.线性相关的向量组添加若干向量后,仍是线性 相关的。

设存在不全为零

k1 , k2 , ?, kr 使

k1?1 ? k2?2 ? ? ? kr?r ? 0

k1?1 ? k2?2 ? ?? kr?r ? 0 ??r ?1 ??? 0 ??m ? 0
推论: 线性无关向量组的部分向量组,仍是线性 无关的。 4: 线性无关向量组中的每个向量扩大同样的维 数,得到的新向量组仍然线性无关。
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例 已知向量组

?1,?2,?3线性无关,证明:向量组 ?1 ? ?2,?2 ? ?3,?3 ? ?1 线性无关。


证明

k1 ??1 ? ?2 ? ? k2 ??2 ? ?3 ? ? k3 ??3 ? ?1 ? ? 0

(k1 ? k2)?2 ? (k2 ? k3)?3 ? 0 则 (k1 ? k3)?1 ?
因为 ?1,? 2,?3 线性无关

? k1 ? k3 ? 0 ? 所以有 ? k1 ? k 2 ? 0 ?k ? k ? 0 ? 2 3
解得

k1 ? k2 ? k3 ? 0

所以向量组
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?1 ? ?2,?2 ? ?3,?3 ? ?1 线性无关。
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定理2.1 设向量组 ?1 , ?2 , ?, ? m 线性无关, 而向量组 ?1 , ?2 , ?, ?m , ? 线性相关,则 ? 必能由 ?1 , ?2 , ?, ? m 线性表示,且表示式是唯一的. 证明: 设存在不全为零 k1 , k2 , ?, km ,k 使

k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m ? k ? ? 0
则 k ? 0,(若k ? 0,可推出?1 , ? 2 , ?, ? m相关) km k1 ?? ( ? )?1 ? ? ? (? )? m k k ? ? ?1?1 ? ? ? ?m? m ? ?1??1 ? ? ? ?m?? m
(?1 ? ?1? )?1 ? ? ? (?m ? ?m? )? m ? 0 由无关性即得.
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定理2.2

向量组 ?1 ,? 2 ,?,? m (m大于2)线性相关。

? 量是其余向量的

组内至少有一向

线性组合. 证明 必要性 设向量组?1 ,? 2 ,?,? m 线性相关,则存在 不全为零的数 k1 , k2 ,?, km ,使得

k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m ? 0 不妨设 k1 ? 0 于是有

充分性 不妨设? m 可由?1 ,?, ? m?1线性表示,即设

km k2 ?1 ? (? )? 2 ? ? ? (? )? m k1 k1

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? m ? ?1?1 ? ? ? ?m?1? m?1 ?1?1 ? ? ? ?m?1? m?1 ? (?1)? m ? 0 ?1 ,?, ?m?1 , ?1不全为零。
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定理2.2

向量组 ?1 ,? 2 ,?,? m (m大于2)线性相关。

?

组内至少有一向量是其 余向量的线性组合.

由以上的定理可以看出,一个线性方程组中有没有多余 的方程,那就是看对应的向量组是否线性相关,若向量 组线性相关,则该方程组就一定有多余的方程.

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设向量组 ??1,?2 ,?3? 线性相关,向量组

??2 ,?3 ,?4? 线性无关。
( 1)?1 能否由?2 ,?3线性表示?
(2)?4 能否由?1,?2,?3线性表示?

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讨论题答案

??2 ,?3 ,?4?线性无关 ?{?2 ,?3}线性无关
又??1,?2 ,?3?线性相关 ? ?1可由?2 ,?3唯一线性表示
(2) 假设?4可由?1 ,?2 ,?3线性表示,且

?4 ? k1?1 ? k2?2 ? k3?3

( 1)

?1可由?2,?3线性表示 ? 存在数?2,?3,使得

?1 ? ?2? 2 ? ?3?3

与?? 2 ,? 3 ,? 4 ? 线性无关矛盾
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代入( 1)式可知? 4能由? 2,? 3线性表示
20

小结2.1---2.2
?向量的定义及运算 (1) 向量组

?1 ,? 2 ,?,? n

线性相关

齐次线性方程组

x1?1 ? x2?2 ? ? ? xn?n ? 0
(2) 向量组

有非零解

?1 ,? 2 ,?,? n

线性无关 只有零解

齐次线性方程组

x1?1 ? x2?2 ? ? ? xn?n ? 0

(3) 向量 ? 可由向量组 ?1 ,? 2 ,?,? n 线性表示
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线性方程组

x1?1 ? x2?2 ? ? ? xn?n ? ? 有解
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1.

解.

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作业P71 2.1: (1), (2).
1.如果向量? 可由向量组?1,?2 ,...,?s线性表示,则下列结论中正确的是( ) (A)存在一组不全为0的数k1 , k2 ,..., ks使等式? ? k1?1 ? k2?2 ? ... ? ks?s成立. (B)存在一组全为0的数k1, k2 ,..., ks使等式? ? k1?1 ? k2?2 ? ... ? ks?s成立. (C)存在一组数k1 , k2 ,..., ks使等式? ? k1?1 ? k2?2 ? ... ? ks?s成立.
(D)对?的线性表达式唯一.

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