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2016高考


第3讲

平面向量的数量积

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)· b= A.-1 B.0 C .1 D.2 ( )

解析 (2a-b)· b=2a· b-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0,故选 B. 答案 B 2.

(2014· 大纲全国卷)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b| = A.2 解析 B. 2 C .1 2 D. 2 ( )

a=a2+a· b=0, ?(a+b)· 由题意得 ? ? - 2a2 + b2 = 0 ,即- 2|a|2 + |b|2 2 ( 2 a + b ) · b = 2 a · b + b = 0 ?

=0,又|a|=1,∴|b|= 2.故选 B. 答案 B 3.已知 a=(1,sin2x),b=(2,sin 2x),其中 x∈(0,π ).若|a· b|=|a||b|,则 tan x 的值等于 A.1 B.-1 C. 3 2 D. 2 ( )

解析 设 a 与 b 的夹角为 θ.由|a· b|=|a||b|, 得|cos θ|=1,所以向量 a 与 b 共线, 则 sin 2x=2sin2x,即 2sin xcos x=2sin2x. 又 x∈(0,π),所以 2cos x=2sin x,即 tan x=1. 答案 A

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4.(2015· 银川质量检测)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 2, → → BC=2, 点 E 为 BC 的中点, 点 F 在 CD 上, 若AB· AF= 2, 则AE·BF的值是 A. 2 C.0 解析 B.2 D.1





(

)

→ → → → → → → → → → → 依题意得AE·BF= (AB+ BE)· (AF - AB)=AB· AF- AB2 + BE· AF- →

BE·AB= 2-2+1×2-0= 2,故选 A. 答案 A 5.(2014· 四川卷)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m= A.-2 B.-1 C .1 D.2 ( ).



解析 a=(1,2),b=(4,2),则 c=ma+b=(m+4,2m+2),|a|= 5,|b|= 2 5,a· c=5m+8,b· c=8m+20. ∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 5m+8 8m+20 c· a c· b ∴|c|· = ,∴ = ,解得 m=2. |a| |c|· |b| 5 2 5 答案 D 二、填空题 6.(2014· 上海八校联合调研)向量 a=(3,4)在向量 b=(1,-1)方向上的投影为 ________. 解析 依题意得 a· b=-1,|b|= 2,因此向量 a 在向量 b 方向上的投影为 2 =- 2 . 2 答案 - 2 π 7.(2014· 云南统一检测)已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 3 ,若|a|=2,|b|=3, 则|2a-3b|=________.
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a· b |b|

解析

π 由题意可得 a· b = |a|· |b|cos 3 = 3 ,所以 |2a - 3b| = (2a-3b)2 =

4|a|2+9|b|2-12a· b= 16+81-36= 61. 答案 61

1 8.(2014· 江西卷)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α =3,向量 a=3e1 -2e2 与 b=3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β =________. 解析 因为 a2=(3e1-2e2)2=9-2×3×2×cos α+4=9, 所以|a|=3, b2=(3e1 -e2)2=9-2×3×1×cos α+1=8,所以|b|=2 2,a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2) 1 a· b 8 2 =9e2 1-9e1·e2+2e2=9-9×1×1× +2=8,所以 cos β= 3 |a|· |b|=3×2 2= 2 2 3 . 答案 2 2 3

三、解答题 ?1 3? 9.已知平面向量 a=( 3,-1),b=? , ?. ?2 2 ? (1)证明:a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k 和 t, 使 c=a+(t2-3)b, d=-ka+tb, 且 c⊥d, 试求函数关系式 k=f(t). (1)证明 (2)解 1 3 ∵a· b= 3×2-1× 2 =0,∴a⊥b. ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且 c⊥d,

∴c· d=[a+(t2-3)b]· (-ka+tb) =-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a· b=0. 又 a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a· b=0, ∴c· d=-4k+t3-3t=0, t3-3t ∴k=f(t)= 4 (t≠0). 10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)· (2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+b|;
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(3)若AB=a,BC=b,求△ABC 的面积. 解 (1)∵(2a-3b)· (2a+b)=61, ∴4|a|2-4a· b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a· b-27=61, a· b -6 1 ∴a· b=-6.∴cos θ =|a||b|= =-2. 4×3 2π 又 0≤θ≤π ,∴θ = 3 . (2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a· b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|= 13. 2π 2π π → → (3)∵AB与BC的夹角 θ= 3 ,∴∠ABC=π - 3 = 3 .





→ → 又|AB|=|a|=4,|BC|=|b|=3,
1→ → 1 3 ∴S△ABC=2|AB||BC|sin∠ABC=2×4×3× 2 =3 3.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
?x,x≥y, ?y,x≥y, 11.(2014· 浙江卷)记 max{x,y}=? min{x,y}=? 设 a,b 为 ?y,x<y, ?x,x<y, 平面向量,则 A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 解析 对于 min{|a+b|,|a-b|}与 min{|a|,|b|},相当于平行四边形的对角线 长度的较小者与两邻边长的较小者比较,它们的大小关系不定,因此 A,B 均错;而|a+b|,|a-b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此 有 max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2,因此选 D. 答案 D ( )

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12.(2015· 合肥质量检测)在△ABC 中,设AC2-AB2=2AM·BC,那么动点 M 的 轨迹必通过△ABC 的 A.垂心 B.内心 C.外心 ( D.重心 )









解析 假设 BC 的中点是 O.则AC2-AB2=(AC+AB)· (AC-AB)=2AO·BC= 2AM·BC,即(AO-AM)· BC=MO·BC=0,所以MO⊥BC,所以动点 M 在线 段 BC 的中垂线上,所以动点 M 的轨迹必通过△ABC 的外心,选 C. 答案 C 13.(2014· 东北三省四市联考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 的坐标为(3, a),a∈R,点 P 满足OP=λOA,λ ∈R,|OA|·|OP|=72,则线段 OP 在 x 轴 上的投影长度的最大值为________. 解析 点 A 的坐标为(3,a),则|OA|≥3,又OP=λOA,则 O,P,A 三点共线, |OA||OP|=72,故|OP|=























→ →























→ →



.设 OP 与 x 轴夹角为 θ,则 OP 在 x 轴上的投影长 |OA|

72



216 → → 3 度为|OP|cos θ=|OP| = ≤24,即线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最 → →2 |OA| |OA| 大值为 24. 答案 24

→ → 14.已知平面上三点 A,B,C,BC=(2-k,3),AC=(2,4).
(1)若三点 A,B,C 不能构成三角形,求实数 k 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,求 k 的值. 解 (1)由三点 A,B,C 不能构成三角形,得 A,B,C 在同一直线上,即向 量BC与AC平行, 1 ∴4(2-k)-2×3=0,解得 k=2. (2)∵BC=(2-k,3),∴CB=(k-2,-3), ∴AB=AC+CB=(k,1).若△ABC 为直角三角形, 则当 A 是直角时,AB⊥AC,即AB·AC=0,
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∴2k+4=0,解得 k=-2; 当 B 是直角时,AB⊥BC,即AB·BC=0, ∴k2-2k-3=0,解得 k=3 或 k=-1; 当 C 是直角时,AC⊥BC,即AC·BC=0,∴16-2k=0, 解得 k=8.综上得 k 的值为-2,-1,3,8.

















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