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辽宁省丹东市四校协作体2011届高三第二次联合考试数学(理)试题


2011 年辽宁省丹东市四校协作体第二次联合考试 高三数学试卷
(供理科考生使用) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)题~第(24) 题为选考题,其它题为必考题.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 6 页.考生作答时,将答案 答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第I

卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,选择 一个符合题目要求的选项. (1)设集合 M = x x = 3n + 1, n ∈ Z , N = y y = 3n ? 1, n ∈ Z ,若 x0 ∈ M , y0 ∈ N ,则

{

}

{

}

x0 y0 与 M , N 的关系是
(A) x 0 y 0 ∈ M (C) x 0 y 0 ∈ M I N (B) x 0 y 0 ∈ N (D) x0 y0 ? M U N

(2)已知 α 、 β 、 γ 为互不重合的三个平面,命题 p : 若 α ⊥ β , β ⊥ γ ,则 α // γ ;命 题 q : 若 α 上不共线的三点到 β 的距离相等,则 α // β 。对以上两个命题,下列结论中正确 的是 (A)命题“ p 且 q ”为真 (C)命题“ p 或 q ”为假 (3)若关于 x 的方程 log 1 =
2

(B)命题“ p 或 ?q ”为假 (D)命题“ ?p 且 ?q ”为假

m 在区间(0,1)上有解,则实数 m 的取值范围是 1? m
(B) (1,2) (D) (?∞,0) U (1,+∞ )

(A) (0,1) (C) (?∞,1) U (2,+∞ )

(4)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且

An 7 n + 45 , = Bn n+3

则使得

an 为整数的正偶数时, n 的值是 bn
(B)2 (C)5 (D)3 或 11

(A)1

e x ? e? x (5)已知函数 f ( x ) = ln ,则 f ( x ) 是 2
(A)非奇非偶函数,且在 ( 0, +∞ ) 上单调递增 (B)奇函数,且在 R 上单调递增

(C)非奇非偶函数,且在 ( 0, +∞ ) 上单调递减

(D)偶函数,且在 R 上单调递减

(6)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,AC=2, BC=

3 ,D,E 分别是 AC1 和 BB1 的中点,则直线 DE 与平面 BB1C1C
所成的角为 (A)

C1 A1

B1

π
6

( B )

π
4
C

E D B A

(C)

π
3
2

π
(D) 2

(7)设函数 f ( x) = ax + b(a ≠ 0), 若 (A) ± 1 (B) 2



3

0

f ( x)dx = 3 f ( x0 ), 则x0 =
(C) ± 3 (D)2

(8)已知等比数列 {an }的公比q>0且q ≠ 1,又a 6 < 0 ,则 (A) a5 + a7 > a4 + a8 (B) a5 + a7 < a4 + a8 (C) a5 + a7 = a4 + a8 (D) | a5 + a7 |>| a4 + a8 | (9)已知数列{ an }满足 log 3 an + 1 = log 3 an +1 ( n ∈ N * ) ,且 a2 + a4 + a6 = 9 ,则

log 1 ( a5 + a7 + a9 ) 的值是
3

(A) ?

1 5

(B) ?5

(C)5

(D)

1 5

(10)已知函数 f ( x) = 2 x ? 1 ,对于满足 0 < x1 < x2 < 2 的任意 x1 , x2 ,给出下列结论: (1) ( x2 ? x1 ) [ f ( x2 ) ? f ( x1 )] < 0 ; (3) f ( x2 ) ? f ( x1 ) > x2 ? x1 ; 其中正确结论的序号是 (A) (2) (1) (2) x2 f ( x1 ) < x1 f ( x2 ) ; (4)

f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x > f ( 1 2), 2 2
(C) (4) (3) (D) (4) (2)

(B) (3) (1)

(11)定义在 R 上的函数 f ( x) ,当 0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 时, f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) ,且满足下列条件: ① f (1) = 1,
1 16

② f?

?1 ? ? x? + ?2 ?

?1 ? f ? + x ? = 1 , ③ 2 f ( x ) = f (5 x ) .则 ?2 ?
(B)
1 32

? 1 ? f? ? 等于 ? 2010 ?
(D)

(A)

(C)

1 64

1 2010

? x ? [ x], x ≤ 0 ( 12 ) 设 函 数 f ( x) = ? , 其 中 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 ? f ( x ? 1), x > 0

[?1.2] = ?2, [1.2] = 1, [1] = 1 ,若 f ( x) = kx + k 有三个不同的根,则实数 k 的取值范围是
(A) ( , ]

1 1 4 3

(B) (0, ]

1 4

(C) [ , ]

1 1 4 3

(D) [ , )

1 1 4 3

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ( 13)数列 {an }的前n项和为S n , 满足S n =

3 n 3 1 an ? ? , 设bn = log 3 ( an + ) , 则数 列 2 2 4 2

{

1 } 的前 19 项和为 bn ? bn +1



(14)如图是一个简单的组合体的直观图与三视图.下面是一个棱长为 4 的正方体,正上面 放一个球,且球的一部分嵌入正方体中,则球的半径是 ;

正视图

侧视图

1

俯视图

(15)设 x ∈ R ,用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,例如 [ ?1.5] = ?2, [5.1] = 5 .则下列对 函数 f ( x ) = [ x ] 所具有的性质说法正确的有 ; (填上正确的编号)

①定义域是 R ,值域是 Z ;②若 x1 ≤ x2 ,则 [ x1 ] ≤ [ x2 ] ;③ [ n + x ] = n + [ x ] ,其中 n ∈ Z ; ④ [ x ] ≤ x < [ x ] + 1 ;⑤ [ ? x ] = ? (16)给出下列四个命题: ① " ?x ∈ R, x 2 ? x > 0" 的否定是 " ?x ∈ R, x 2 ? x ≤ 0" ; ②对于任意实数 x,有 f (? x) = ? f ( x), g (? x) = g ( x), 且x > 0时, f ' ( x) > 0, g ' ( x) > 0, 则

?? [ x ] ? 1 ? ?? [ x ] ?

( x ? Z) ( x ∈ Z)

x < 0时, f ' ( x) > g ' ( x);
③函数 f ( x) = log a

3+ x (a > 0, a ≠ 1) 是偶函数; 3? x

④若对 ?x ∈ R, 函数 f(x)满足 f ( x + 2) = ? f ( x ) ,则 4 是该函数的一个周期,其中真命

题的个数为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分) 设数列 {an } 满足: a1 = 2, an +1 = an + (I)证明: an > (II)令 bn =

1 (n ∈ N ? ) . an

2n + 1 对 n ∈ N ? 恒成立;
( n ∈ N ? ) ,判断 bn 与 bn +1 的大小,并说明理由.

an n

(18) (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P ? ABC 中, ⊥ AC , ⊥ AB , = AB , ABC = PA PA PA ∠ 点 D , E 分别在棱 PB, PC 上,且 DE // BC , (I)求证: BC ⊥ 平面 PAC ; (II)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的大小; (III)是否存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 为直二面角?并说明理由.

π
3

, BCA = ∠

π
2



(19) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x-ln(x+a). a 是常数) ( (I)求函数 f(x)的单调区间; 1 2 (II) 当 y = f (x ) 在 x=1 处取得极值时,若关于 x 的方程 f(x)+2x=x +b 在[ ,2]上恰 2 有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围; (III)求证:当 n ≥ 2, n ∈ N + 时 ?1 +

? ?

1 ?? 1? ? 1 ? 1 + 2 ?......?1 + 2 ? < e . 2 ?? 2 ?? 3 ? ? n ?

(20) (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD ,线段 CD 为圆 O 的弦, AE 垂 直于圆 O 所在平面,垂足 E 是圆 O 上异于 C . D 的点, AE = 3 ,圆 O 的直径为 9. (I)求证:平面 ABCD ⊥ 平面 ADE ; (II)求二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值.

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = ln x ?

1 2 ax ? 2 x ( a < 0). 2

(I)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (II)若 a = ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) = ? x + b 在 [1, 4] 上恰有两个不相等的实数根, 求 2 2

实数 b 的取值范围; (III) 设 各 项 为 正 的 数 列 {an } 满 足 : a1 = 1, an +1 = ln an + an + 2, n ∈ N * . 求 证 :

an ≤ 2 n ? 1

请考生在(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 、 、 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,AB 是⊙O 的直径,G 为 AB 延长线上的一点,GCD 是⊙O 的割线,过点( G 作 AB 的垂线,交 AC 的延长线于点 E,交 AD 的延长线于点 F,过 G 作⊙O 的切线,切点为 H .求证: A (I)C,D,F,E 四点共圆; 2 (II)GH =GE·GF. D O H C B

F

E

G

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合.直

3 ? ? x = ?1 + 5 t π ? 线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 2 sin(θ + ) . 4 ? y = ?1 + 4 t ? 5 ?
(I)求曲线 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 相交于 M , N 两点,求 M,N 两点间的距离.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (I)已知 x, y 都是正实数,求证: x3 + y 3 ≥ x 2 y + xy 2 ; (II)已知 a , b, c 都是正实数,求证: a 3 + b3 + c 3 ≥

1 2 ( a + b 2 + c 2 )( a + b + c ) . 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解: (1)证法一:当 n = 1 时, a1 = 2 > 假设 n = k 时, ak >

2 ×1 + 1 ,不等式成立,

2k + 1 成立

(2 分) ,

2 2 当 n = k + 1 时, ak +1 = ak +

1 1 (5 + 2 > 2k + 3 + 2 > 2( k + 1) + 1 . 分) 2 ak ak

∴ n = k + 1 时, ak +1 > 2(k + 1) + 1 时成立
综上由数学归纳法可知,

an > 2n + 1 对一切正整数成立 2 ×1 + 1 ,结论成立;

(6 分)

证法二:当 n = 1 时, a1 = 2 > 3 = 假设 n = k 时结论成立,即 ak > 由函数 f ( x ) = x +

2k + 1 (2 分) 当 n = k + 1 时,

1 ( x > 1) 的单增性和归纳假设有 x

ak +1 = ak +

1 1 (4 分), > 2k + 1 + ak 2k + 1

因此只需证: 2k + 1 +

1 ≥ 2k + 3 , 2k + 1 1 1 ) 2 ≥ 2k + 3 ? ≥0, 2k + 1 2k + 1

而这等价于 ( 2k + 1 +

显然成立,所以当 n = k + 1 是,结论成立; 综上由数学归纳法可知,

an > 2n + 1 对一切正整数成立

(6 分)

(2)解法一:

bn +1 a n 1 n 1 n = n +1 = (1 + 2 ) < (1 + ) (8 分) bn an n + 1 2n + 1 n + 1 an n + 1
1 1 (n + )2 ? 2 4 <1 1 n+ 2

2 n(n + 1) 2(n + 1) n = = = 2n + 1 (2n + 1) n + 1

(10 分)

又显然 bn > 0( n ∈ N ? ) ,故 bn +1 < bn 成立 解法二: bn +1 ? bn =

(12 分)

an +1 a ? n n +1 n
1 n( n + 1) an
2 [ n ? ( n + 1 ? n ) an ]

=

a 1 1 ( an + ) ? n = an n +1 n 1 n( n + 1) an



[ n ? ( n + 1 ? n )(2n + 1)] (由(1)的结论) 分) (8

=

1 [ n ( n + 1 + n ) ? (2n + 1)] n(n + 1)( n + 1 + n )an 1 [ n(n + 1) ? (n + 1)] n(n + 1)( n + 1 + n )an 1 ( n ? n + 1) < 0 n ( n + 1 + n )an

(10 分)

=

=

所以 bn +1 < bn 解法三: bn +1 ? bn =
2 2

(12 分)
2 2 an +1 an a2 1 1 2 ? = (an + 2 + 2) ? n n +1 n n +1 am n

(8 分)

2 1 1 an 1 1 2n + 1 = (2 + 2 ? ) < (2 + ? ) n +1 am n n +1 2n + 1 n

(10 分)

=

1 1 1 ( ? )<0 n + 1 2n + 1 n
(12 分)

2 2 故 bn +1 < bn ,因此 bn +1 < bn

(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面 PAC,∴DE⊥平面 PAC, 又∵AE ? 平面 PAC,PE ? 平面 PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE, ∴∠AEP 为二面角 A ? DE ? P 的平面角,∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AC,∴ ∠PAC = 90° .∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC, 这时 ∠AEP = 90° ,故存在点 E 使得二面角 A ? DE ? P 是直二面角.(12 分) (法 2)如图,以 A 为原煤点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 PA = a , 由已知可得 P (0, 0, a ) , A(0, 0, 0) , B ( ?

1 3 3 a, a, 0) , C (0, a, 0) . 2 2 2 uuu uuu r r uuu r 1 uuu r (Ⅰ)∵ AP = (0, 0, a ) , BC = ( a, 0, 0) ,∴ AP ? BC = 0 , 2

∴BC⊥AP.又∵ ∠BCA = 90° ,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC.(4 分)

(19) (本小题满分 12 分) 解:(I) 由已知由函数 f ( x ) 的定义域为 x > ?a , f ′( x ) = 1 ?

Q ? a < ?a + 1 ,
∴ 由 f ′( x ) > 0, 得 x > ?a + 1 ,
由 f ′( x ) < 0, 得 ? a < x < ?a + 1 ,

x + a ?1 1 , = x+a x+a

所以函数 f (x ) 的减区间为 (? a,?a + 1) ,增区间为 (? a + 1,+∞) . (II)由题意,得 f ′(1) = 0 ,∴ a=0 . ……5 分

…4 分

∴ 由(Ⅰ)知 f(x)=x-lnx,
∴f(x)+2x=x +b ,即 x-lnx+2x=x +b ,∴ x -3x+lnx+b=0,
2 2 2

设 g ( x ) =x -3x+lnx+b(x>0),
2

1 2x -3x+1 (2x-1)(x-1) 则 g ′( x ) =2x-3+ = = , x x x 当 x ∈ ? , 2 ? 变化时, g ′( x ) , g ( x ) 的变化情况如下表: 2

2

?1 ?

? ?

(III)由(I) 和(II)可知当 a = 0, x ∈ ? , +∞ ? 时, f ( x ) ≥ f (1) ,即 ln x ≤ x ? 1 ,

?1 ?2

? ?

∴ 当 x > 1 时, ln x < x ? 1 .
令 x = 1+

……… 10 分

1 1 ? 1 ? ( n ≥ 2, n ∈ N * ),则 ln?1 + 2 ? < 2 . 2 n ? n ? n

所以当 n ≥ 2, n ∈ N * 时,

1? 1? 1? 1 1 1 ? ? ? ln?1 + 2 ? + ln?1 + 2 ? + ....... + ln?1 + 2 ? < 2 + 2 + ...... + 2 3 n ? 2 ? ? 3 ? ? n ? 2 < 1 1 1 1 + + ...... + = 1 ? < 1, 1× 2 2 × 3 n × (n ? 1) n
? ?

即 ln?1 +

1 ?? 1? 1 ? ? 1 + 2 ?.......?1 + 2 ? < 1 , 2 ?? 2 ?? 3 ? ? n ?
……12 分

1 ?? 1? ? 1 ? ? ∴ ?1 + 2 ??1 + 2 ?......?1 + 2 ? < e . ? 2 ?? 3 ? ? n ?

(20) (本小题满分 12 分) 解: (I)证明:∵ AE 垂直于圆 O 所在平面, CD 在圆 O 所在平面上, ∴ AE ⊥ CD . 在正方形 ABCD 中, CD ⊥ AD , ∵ AD I AE = A ,∴ CD ⊥ 平面 ADE . ∵ CD ? 平面 ABCD ,

∴平面 ABCD ⊥ 平面 ADE . (II)解法 1:∵ CD ⊥ 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ⊥ DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE = 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a , 在 Rt △ CDE 中, DE = CE ? CD = 81 ? a ,
2 2 2 2

在 Rt △ ADE 中, DE = AD ? AE = a ? 9 ,
2 2 2 2 2 2 由 81 ? a = a ? 9 ,解得, a = 3 5 .

∴ DE =

AD 2 ? AE 2 = 6 .

在 Rt △ EFG 中, FG = AB = 3 5 , ∴ tan ∠EGF =

EF 2 = . FG 5

2 . 5 解法 2:∵ CD ⊥ 平面 ADE , DE ? 平面 ADE , ∴ CD ⊥ DE . ∴ CE 为圆 O 的直径,即 CE = 9 . 设正方形 ABCD 的边长为 a ,
故二面角 D ? BC ? E 的平面角的正切值为
2 2 2 2 在 Rt △ CDE 中, DE = CE ? CD = 81 ? a ,

在 Rt △ ADE 中, DE 2 = AD 2 ? AE 2 = a 2 ? 9 ,
2 2 由 81 ? a = a ? 9 ,解得, a = 3 5 .

∴ DE =

AD 2 ? AE 2 = 6 .

(21) (本小题满分 12 分) 解: (1) f ′( x) = ?

ax 2 + 2 x ? 1 ( x > 0). x

依题意 f ′( x ) ≥ 0 在 x > 0 时恒成立,即 ax 2 + 2 x ? 1 ≤ 0 在 x > 0 恒成立. 则a ≤

1 ? 2x 1 = ( ? 1) 2 ? 1 在 x > 0 恒成立, 2 x x

1 ? 1) 2 ? 1) min ( x > 0) x 1 当 x = 1 时, ( ? 1) 2 ? 1 取最小值 ?1 x
即 a ≤ (( ∴ a 的取值范围是 ( ?∞, ?1] …… 4′

(3)设 h( x) = ln x ? x + 1, x ∈ [1, +∞ ) ,则 h′( x ) =

1 ?1 ≤ 0 x

∴ h( x ) 在 [1, +∞ ) 为减函数,且 h( x)max = h(1) = 0, 故当 x ≥ 1 时有 ln x ≤ x ? 1 .

Q a1 = 1. 假设 ak ≥ 1( k ∈ N * ), 则 ak +1 = ln ak + ak + 2 > 1 ,故 an ≥ 1( n ∈ N * ).
从而 an +1 = ln an + an + 2 ≤ 2an + 1. ∴1 + an +1 ≤ 2(1 + an ) ≤ LL ≤ 2 n (1 + a1 ). 即 1 + an ≤ 2n ,∴ an ≤ 2n ? 1 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)连接 BC. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°. ∵AG⊥FG,∴∠AGE=90°. 又∠EAG=∠BAC,∴∠ABC=∠AEG. 又∠FDC=∠ABC,∴∠FDC=∠AEG. ∴∠FDC+∠CEF=180°. ………… 12′

∴C,D,F,E 四点共圆. …………5 分 (Ⅱ)∵GH 为⊙O 的切线,GCD 为割线, 2 ∴GH =GC·GD. 由 C,D,F,E 四点共圆,得∠GCE=∠AFE,∠GEC=∠GDF. ∴△GCE∽△GFD.∴
GC GF = ,即 GC·GD=GE·GF, GF GD

∴CH =GE·GF.

2

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 (Ⅰ)∵ ( x 3 + y 3 ) ? ( x 2 y + xy 2 ) = x 2 ( x ? y ) + y 2 ( y ? x)

= ( x ? y )( x 2 ? y 2 ) = ( x ? y )2 ( x + y ) ,
又∵ x, y ∈ R + ,∴ ( x ? y ) 2 ≥ 0, x + y > 0 ,∴ ( x ? y ) 2 ( x + y ) ≥ 0 , ∴ x3 + y 3 ≥ x 2 y + xy 2 .………………………5 分 法二:∵ x 2 + y 2 ≥ 2 xy ,又∵ x, y ∈ R + ,∴ x + y > 0 , ∴ ( x 2 + y 2 )( x + y ) ≥ 2 xy ( x + y ) ,展开得 x3 + y 3 + x 2 y + xy 2 ≥ 2 x 2 y + 2 xy 2 , 移项,整理得 x3 + y 3 ≥ x 2 y + xy 2 .………………………5 分 (Ⅱ) ∵ a, b, c ∈ R + ,由(Ⅰ)知:

a 3 + b3 ≥ a 2b + ab 2 ; b3 + c 3 ≥ b 2 c + bc 2 ; c 3 + a 3 ≥ c 2 a + ca 2 ;
3 3 3 2 2 2 2 2 2 将上述三式相加得: 2( a + b + c ) ≥ ( a b + ab ) + (b c + bc ) + (c a + ca ) ,

3(a 3 + b3 + c 3 ) ≥ (a 3 + a 2b + ca 2 ) + (b3 + ab 2 + b 2 c) + (c3 + bc 2 + c 2 a ) = a 2 (a + b + c) + b 2 (a + b + c) + c 2 (a + b + c) = (a + b + c) + (a 2 + b 2 + c 2 )
∴ a 3 + b3 + c3 ≥

1 2 ( a + b 2 + c 2 )( a + b + c ) .………………………10 分 3


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