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2015年湖南省中学数学教师解题比赛


2015 年湖南省中学数学教师解题比赛 高中组决赛试卷
(考试时间:2015 年 11 月 21 日 9:00-11:30)
说明: 1.请用蓝色、黑色或蓝黑色钢笔或签字笔作答; 2.答案请写在本试卷相应位置,试卷范围以外作答无效. 二 题号 一 总分 11 12 13 14 15 16 记分 评卷人 复核人 一、填空题(请把唯一正确的答案写在题中的横线上,

每小题 6 分,共 60 分) 1.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A、B、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市. 乙说:我没去过 C 城市. 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . ?? ? ?? ?? ? ?? ? 2.有一列向量 an : a1 ? ( x1 , y1 ) , a2 ? ( x2 , y2 ) ,? , an ? ( xn , yn ) ,如果从第二

? ?

项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量,那么这列向量称为等差向 ?? ? ??? ???? ? 量列.已知 a2 ? (1, ?4) , a10 ? (?7,12) .那么, a1121 ? . 3.方程 ( x2 ? 3x ? 2)( x2 ? 7 x ? 12) ? 24 的实数根为 . 4.三棱锥 P ? ABC 中,D,E 分别是 PB,PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体 积为 V1 ,三棱锥 P ? ABC 的体积为 V2 ,则
V1 ? V2



5.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 为偶函数,若对任意实数 x , y ,均满足方程 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy , 则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) ? . 6.已知 a1 ? 0 , an 是函数 f n ( x) ? 1 x3 ? 1 (3an ? n 2 ) x 2 ? 3n 2an x 的极小值,则数列
3 2 ?an ? 的前 4 项的和 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?



7.已知圆的方程是 ( x ?1)2 ? y2 ? 144 ,点 A(?3,0) ,点 P 是圆上一点,是否存 在定点 B,使
PA 1 ? ?若不存在,在横线上填“不存在” ;若存在,在横 PB 2

线上填点 B 的坐标,则本题的答案是 . 8.下列的图案称之为“五角数” ,设从左至右图案中点的个数为 a1 , a2 ,? ,

an ,则第 n 个“五角数”的个数 an 的值为



1

5

12

22

35

9 . 设 a ? 0 使 得 对 所 有 x ? 0 , 不 等 式 a x ? a x均 成 立 , 则 a 的 取 值 集 合 为 . 10.如图,将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换成 0,得到如图所示的 0-1 三角 数表,从上往下数,第 2015 行中 1 的个数是 .
第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 第 5行 1 …… 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1

二、解答题(请将详细解答步骤写在题后空白处,每小题 15 分,共 90 分. ) 11.如图, ?ABC 的内切圆 I 切 BC,AC 边分别于点 D,E,直线 BI 与 DE 交 于点 F, 过 F 作 FM//BC 交于 AB 于点 M, 求证: A M 为 AB 的中点.
M F

I B D

E C

12.李先生居住在城镇的 A 处,每天开车到单位 B 处上班,若该地各段堵车 事件是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件 1 1 F 12 B 20 最多只发生一次,发生堵车事件的概率如下 E 图. (例如:A-C-D 算作两个路段;路段 AE 发生 1 3 1 堵车事件的概率为 1 等) . 4 20 6
4

(1)选择一条由 A 到 B 的路线,使得中途发生

A

1 10

C

1 15

D

堵车事件的概率最小; (2)设路线 A-C-F-B 中途遇到堵车次数为随机变量 x ,求 x 的数学期望.

??? ? ??? ? 13.在 ?ABC 中,若 CA ? ( x1 , y1 ) , CB ? ( x2 , y2 ) ,求证: S?ABC ? 1 x1 y2 ? x2 y1 .
2

14.对于任意的正实数 x , y , z ,则均值不等式,得: ( x ? y ? z)2 ? 3( xy ? yz ? zx) ① 其中等号当且仅当 x ? y ? z 取得, 请你用式①证明如下不等式: 设 a , b , c 为正实数,则 a3 ? b3 ? c3 ? 3abc .

15.已知椭圆 C1 :x2 ? 4 y2 ? 1 ,双曲线 C2 : y2 ? 2x2 ? 1,若 A、B 分别是椭圆 C1 与双曲线 C2 上的动点,O 是坐标原点,且 OA ? OB ? 0 . (1)求 ?OBC 面积的最小值; (2)过点 O,作 AB 的垂线,垂足为 P,求点 P 的轨迹方程.
??? ? ??? ?

16. (1)对于任意实数 b , c , d ,其中 b ? 0 ,证明:存在 M,当 x ? M 时, ebx ? cx ? d 恒成立; (2)设 a ? 1 ,证明:对于任意 n 次多项式,Pn ( x) ,都存在实数 N ,当 x ? N 时,式子 a x ? Pn ( x) 恒成立.(注:不能使用罗必塔法则) .


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