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2016届新课标数学(理)一轮复习讲义 第九章 第8讲 二项分布及其应用


第 8 讲 二项分布及其应用

1.条件概率 条件概率的定义 设 A、 B 为两个事件, 且 P(A)>0, P(AB) 称 P(B|A)= 为在事件 A P(A) 发生的条件下, 事件 B 发生的条 件概率 条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)如果 B 和 C 是两个互斥事 件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+ P(C|A).

2.事件的相互独立性 (1)定义:设 A,B 为两个事件,如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立. (2)性质: ①若事件 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)=P(B), P(A|B)=P(A),P(AB)=P(A)P(B). - - - - ②如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也相互独立. 3.独立重复试验与二项分布 独立重复试验 在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复 试验 用 Ai(i=1,2,?,n)表示 第 i 次试验结果,则 P(A1A2A3?An) = P(A1)P(A2)?P(An) 二项分布 在 n 次独立重复试验中,用 X 表示事件 A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的 概率是 p, 此时称随机变量 X 服从二项分布, 记作 X~B(n,p),并称 p 为成功概率 在 n 次独立重复试验中, 事件 A 恰好发生 k - k k 次的概率为 P(X=k)=Cnp (1-p)n k(k=0, 1,2,?,n)

定义

计算 公式 [做一做]

1 1.若事件 E 与 F 相互独立,且 P(E)=P(F)= ,则 P(EF)的值等于________. 4 答案: 1 16

1? 2.设随机变量 X~B? ?6,2?,则 P(X=3)等于________. 答案: 5 16

1.辨明两个易误点 (1)两事件互斥是指两事件不可能同时发生,两事件相互独立是指一个事件的发生与否

对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. (2)P(B|A)是在 A 发生的条件下 B 发生的概率,而 P(A|B)是在 B 发生的条件下 A 发生的 概率. 2.理解事件中常见词语的含义: (1)A,B 中至少有一个发生的事件为 A∪B; (2)A,B 都发生的事件为 AB; -- (3)A,B 都不发生的事件为 A B ; - - (4)A,B 恰有一个发生的事件为 A B ∪ A B; - - -- (5)A,B 至多一个发生的事件为 A B ∪ A B∪ A B . [做一做] 1 3 3.已知 P(B|A)= ,P(AB)= ,则 P(A)等于( 2 8 3 A. 16 3 C. 4 13 B. 16 1 D. 4 )

3 解析:选 C.由 P(AB)=P(A)P(B|A),可得 P(A)= . 4 4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A, “骰子向 上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一个发生的概率是( ) 5 A. 12 7 C. 12 1 B. 2 3 D. 4

1 1 解析:选 C.依题意,得 P(A)= ,P(B)= ,且事件 A,B 相互独立,则事件 A,B 中至 2 6 1 5 7 - - - - 少有一个发生的概率为 1-P( A · B )=1-P( A )· P( B )=1- × = ,故选 C. 2 6 12

考点一__条件概率____________________________ 如图,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一颗豆子随机 地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”,B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内”,则 P(B|A)=________.

1 ×1×1 2 2× 2 2 1 [解析] 依题意得,P(A)= = ,P(AB)= = ,则由条件概率的意义 π π π 2π P(AB) 1 可知,P(B|A)= = . P(A) 4 [答案] 1 4 P(AB) 求 P(B|A). P(A)

[规律方法] 条件概率的两种求解方法: (1)定义法:先求 P(A)和 P(AB),再由 P(B|A)=

(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再求事 件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)= n(AB) . n(A)

1.在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球(除颜色外完全相同),不放回地依次 摸出 2 个球,在第一次摸到红球的条件下,求第二次也摸到红球的概率. 解:记 A 表示“第二次摸到红球”,B 表示“第一次摸到红球”,则 A|B 表示“第一次 摸到红球,第二次又摸到红球”. 法一:直接利用 A|B 的含义求解. 由题意,事件 B 发生后,袋中还有 9 个球,其中 5 个红球,4 个白球,则 A 发生的概率 5 5 为 ,即 P(A|B)= . 9 9 法二:用公式求解. P(AB) 6 3 C2 1 6 P(B)= = , 而 AB 表示两次都摸到红球, 则 P(AB)= 2 = , 所以 P(A|B)= = 10 5 C10 3 P(B) 1 3 5 = . 3 9 5 考点二__相互独立事件的概率__________________

(2014· 高考陕西卷)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1 000 元,此 作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概率 300 0.5 500 0.5

作物市场价格(元/kg) 概率

6 0.4

10 0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物, 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的 概率. [解] (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” ,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” , 由题设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利润=产量×市场价格-成本. ∴X 所有可能的取值为 500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800. - - P(X=4 000)=P( A )P( B )=(1-0.5)×(1-0.4) =0.3, - - P(X=2 000)=P( A )P(B)+P(A)P( B ) =(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以 X 的分布列为 X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i=1,2,3),由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季利润不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=3×0.82×0.2=0.384, 所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 0.512+0.384=0.896. [规律方法] 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁琐或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 2.(2015· 湖北武汉调研)某次飞镖比赛中,规定每人至多发射三镖.在 M 处 每射中一镖得 3 分,在 N 处每射中一镖得 2 分,如果前两次得分之和超过 3 分即停止发射, 否则发射第三镖.某选手在 M 处的命中率 q1=0.25,在 N 处的命中率为 q2.该选手选择先在 M 处发射一镖,以后都在 N 处发射,用 X 表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为 X P 0 0.03 2 P1 3 P2 4 P3 5 P4

(1)求随机变量 X 的分布列; (2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过 3 分的概率与选择都在 N 处发射飞镖 得分超过 3 分的概率的大小. 解:(1)设该选手在 M 处射中为事件 A,在 N 处射中为事件 B,则事件 A,B 相互独立, - - 且 P(A)=0.25,P( A )=0.75,P(B)=q2,P( B )=1-q2. 根据分布列知:当 X=0 时, - - - - - - P( A B B )=P( A )P( B )P( B )=0.75(1-q2)2=0.03, 所以 1-q2=0.2,q2=0.8. - - -- - - - - 当 X=2 时,P1=P( A B B + A B B)=P( A )P(B)P( B )+P( A )P( B )P(B)=0.75q2(1- q2)×2=0.24, 当 X=3 时, -- - - P2=P(A B B )=P(A)P( B )P( B ) =0.25(1-q2)2=0.01, 当 X=4 时, - - P3=P( A BB)=P( A )P(B)P(B)=0.75q2 2=0.48, - - 当 X=5 时,P4=P(A B B+AB)=P(A B B)+P(AB) - =P(A)P( B )P(B)+P(A)P(B) =0.25q2(1-q2)+0.25q2=0.24. 所以随机变量 X 的分布列为: X P 0 0.03 2 0.24 3 0.01 4 0.48 5 0.24

(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过 3 分的概率为 0.48+0.24=0.72. 该选手选择都在 N 处发射飞镖得分超过 3 分的概率为 - - - - P( B BB+B B B+BB)=P( B BB)+P(B B B)+P(BB)
2 =2(1-q2)q2 +q2 2=0.896. 所以该选手选择都在 N 处发射飞镖得分超过 3 分的概率大. 考点三__独立重复试验与二项分布(高频考点)____

独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容, 也是高考命题的热点, 多以解答题的 形式呈现,试题难度较大,多为中高档题目. 高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下两个命题角度: (1)已知二项分布,求二项分布列; (2)已知随机变量服从二项分布,求某种情况下的概率. (2014· 高考四川卷节选)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次, 每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即

1 获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列. (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? [解] (1)X 可能的取值为 10,20,100,-200. 根据题意,有
1 2 ?1? ? 1? 3 P(X=10)=C1 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 2 1 ?1? ? 1? 3 P(X=20)=C2 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 3 0 ?1? ? 1? 1 P(X=100)=C3 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8

1?0 ? 1?3 1 ? P(X=-200)=C0 × 3 ?2? ×?1-2? =8. 所以 X 的分布列为 X P 10 3 8 20 3 8 100 1 8 -200 1 8

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3),则 1 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 8 所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1?3 1 511 1-P(A1A2A3)=1-? ?8? =1-512=512. 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 [规律方法] (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、 各次之间相互独立地进行的一 种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且 任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件: ①每次试验中,事件发生的概率是相同的. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数. 3.某气象站天气预报的准确率为 80%,计算(结果保留到小数点后第 2 位): (1)5 次预报中恰有 2 次准确的概率; (2)5 次预报中至少有 2 次准确的概率; (3)5 次预报中恰有 2 次准确,且其中第 3 次预报准确的概率. 4? 解:令 X 表示 5 次预报中预报准确的次数,则 X~B? ?5,5?,故其分布列为 P(X=k)=
k 5-k ?4? ?1-4? (k=0,1,2,3,4,5). Ck 5 5 ? ? ? 5? 2 3 16 1 ?4? ? 4? (1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率为 P(X=2)=C2 ≈ 5× 5 × 1-5 =10× × ? ? ? ? 25 125

0.05. (2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率为 P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-C0 5× 4 ? 4? ?4? ×?1-4? -C1 × × 1- =1-0.000 32-0.006 4≈0.99. 5 ?5? ? 5? 5 ? 5? 4 3 4 1 4 1- ? × ≈ (3)“5 次预报中恰有 2 次准确, 且其中第 3 次预报准确”的概率为 C4 × ×? 5? 5 5 ? 0.02.
0 5 4

方法思想——辨明事件的属性,正确求解概率的综合问题 (2014· 高考山东卷)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有 两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C,D.某次测试要求队员接到落点 在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情 1 况记 0 分.对落点在 A 上的来球,队员小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 2 1 1 3 ;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在 C 上的概率为 ,在 D 上的概率为 .假设共有 3 5 5 两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求:

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和 ξ 的分布列与数学期望. [解] (1)记 Ai 为事件“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 1 1 1 1 1 则 P(A3)= ,P(A1)= ,P(A0)=1- - = . 2 3 2 3 6 记 Bj 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分”(j=0,1,3), 1 3 1 3 1 则 P(B3)= ,P(B1)= ,P(B0)=1- - = . 5 5 5 5 5 记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的独立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) 1 1 1 1 1 3 1 1 3 = × + × + × + × = , 2 5 3 5 6 5 6 5 10 3 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为 . 10 (2)由题意,随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3,4,6,

由事件的独立性和互斥性,得 1 1 1 P(ξ=0)=P(A0B0)= × = , 6 5 30 1 1 1 3 1 P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)= × + × = , 3 5 6 5 6 1 3 1 P(ξ=2)=P(A1B1)= × = , 3 5 5 1 1 1 1 2 P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)= × + × = , 2 5 6 5 15 1 3 1 1 11 P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)= × + × = , 2 5 3 5 30 1 1 1 P(ξ=6)=P(A3B3)= × = . 2 5 10 可得随机变量 ξ 的分布列为:

ξ
P

0 1 30

1 1 6

2 1 5

3 2 15

4 11 30

6 1 10

1 1 1 2 11 1 91 所以数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× +4× +6× = . 30 6 5 15 30 10 30 [名师点评] 对于概率问题的综合题,首先要准确地确定事件的性质,把问题化归为古 典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种;其次判断事件是 A+B 还是 AB 事件,确定事件至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件公式; 最后选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公 式求解. 甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床生产的正品率 是 0.9,乙机床生产的正品率是 0.95. (1)从甲机床生产的产品中任取 3 件,求其中恰有 2 件正品的概率(用数字作答); (2)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件,求其中至少有 1 件正品的概率(用数字 作答). 2 解:(1)任取甲机床生产的 3 件产品中恰有 2 件正品的概率为 p=C2 3×0.9 ×0.1=0.243. (2)法一:设“任取甲机床生产的 1 件产品是正品”为事件 A, “任取乙机床生产的 1 件 产品是正品”为事件 B,则任取甲、乙两台机床生产的产品各 1 件,其中至少有 1 件正品的 - - 概率为:P(AB)+P(A B )+P( A B) =0.9×0.95+0.9×0.05+0.1×0.95=0.995. 法二:设“任取甲机床生产的 1 件产品是正品”为事件 A, “任取乙机床生产的 1 件产 - - 品是正品”为事件 B,运用对立事件的概率公式,可知所求的概率为:1-P( A B )=1- 0.1×0.05=0.995.

4 1.(2015· 包头模拟)某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 3 粒这样的 5 种子恰有 2 粒发芽的概率是( 12 A. 125 48 C. 125 ) 16 B. 125 96 D. 125

4? 解析:选 C.用 X 表示发芽的粒数,独立重复试验服从二项分布 X~B? ?3,5?,P(X=2)
2 1 ?4? ?1? = 48 . =C2 3 5 ? ? ?5? 125

2.(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的 概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空 气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 解析: 选 A.已知连续两天为优良的概率是 0.6, 那么在前一天空气质量为优良的前提下, 0.6 要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得 P= =0.8. 0.75 3. (2015· 广州调研)设事件 A 在每次试验中发生的概率相同, 且在三次独立重复试验中, 63 若事件 A 至少发生一次的概率为 ,则事件 A 恰好发生一次的概率为( 64 1 A. 4 9 C. 64 3 B. 4 27 D. 64 )

解析:选 C.假设事件 A 在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为 p, 63 3 由题意得,事件 A 发生的次数 X~B(3,p),则有 1-(1-p)3= ,得 p= ,则事件 A 恰好 64 4 3 ? 3?2 9 发生一次的概率为 C1 3× × 1-4 = ? 64. 4 ? 4.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( ) 1 A. 8 2 C. 5 1 B. 4 1 D. 2

2 C2 C2 1 1 3+C2 2 2 解析: 选 B.P(A)= = , P(B)= 2= , 又 A?B, 则 P(AB)=P(B)= , 所以 P(B|A) 2 C5 5 C5 10 10

P(AB) P(B) 1 = = = . P(A) P(A) 4 1? 5.如果 X~B? ?15,4?,则使 P(X=k)取最大值的 k 值为( A.3 B.4 )

C.5 D.3 或 4 解析:选 D.观察选项,采用特殊值法. 1?3?3?12 ? ∵P(X=3)=C3 15 4 ? ? ?4? , 1?4?3?11 ? P(X=4)=C4 15 4 ? ? ?4? ,
5 10 ?1? ?3? , P(X=5)=C5 15 4 ? ? ?4?

经比较,P(X=3)=P(X=4)>P(X=5),故使 P(X=k)取最大值时 k=3 或 4. 1 1 - - 1 6. 事件 A, B, C 相互独立, 如果 P(AB)= , P( B C)= , P(AB C )= , 则 P(B)=________, 6 8 8 - P( A B)=________.

? ? - 1 P(C)= , 解析:由?P( B )· 8 1 ? C )= , ?P(A)·P(B)·P(- 8
1 1 得 P(A)= ,P(B)= . 3 2 2 1 1 - - ∴P( A B)=P( A )P(B)= × = . 3 2 3 1 1 答案: 2 3 7.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18,19,20 层停靠,若该电梯在底层有 5 1 个乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率都为 ,用 ξ 表示 5 位乘客在第 20 层下 3 电梯的人数,则 P(ξ=4)=________. 解析: 考查一位乘客是否在第 20 层下电梯为一次试验, 这是 5 次独立重复试验, 故 ξ~
k 5-k 1 ?1? ×?2? ,k=0,1,2,3,4,5. 5, ?,即有 P(ξ=k)=Ck B? 5 ? 3? ?3? ?3?

1 P(A)· P(B)= , 6

1?4 ?2?1 10 ? 故 P(ξ=4)=C4 5 3 × 3 = ? ? ? ? 243. 10 答案: 243 8.已知甲有 5 张红卡、2 张蓝卡和 3 张绿卡,乙有 4 张红卡、3 张蓝卡和 3 张绿卡.他 们分别从自己的 10 张卡片中任取一张进行打卡游戏比赛.设事件 A1,A2,A3 表示甲取出的 一张卡分别是红卡、蓝卡和绿卡;事件 B 表示乙取出的一张卡是红卡,则下列结论中正确 的是________(写出所有正确结论的编号). 1 2 ①P(B)= ;②P(A1|B)= ;③事件 B 与事件 A1 相互独立;④A1,A2,A3 是彼此相互独 3 3 立的事件;⑤A1,A2,A3 是两两互斥的事件.

4 2 解析:因为 P(B)= = ,所以①错误;因为事件 B 与事件 A1 相互独立,所以 P(A1|B) 10 5 5 1 =P(A1)= = ,所以②错误,③正确;A1,A2,A3 是两两互斥的事件,所以④错误,⑤正 10 2 确. 答案:③⑤ 9.抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗 骰子的点数之和大于 8”. (1)求 P(A),P(B),P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,求两颗骰子的点数之和大于 8 的概率. 2 1 解:(1)P(A)= = . 6 3 ∵两颗骰子的点数之和共有 36 个等可能的结果,点数之和大于 8 的结果共有 10 个. 10 5 ∴P(B)= = . 36 18 当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,两颗骰子的点数之和大于 8 的结果有 5 个,故 P(AB) 5 = . 36 5 P(AB) 36 5 (2)由(1)知 P(B|A)= = = . 1 12 P(A) 3 10.在一次数学考试中,第 21 题和第 22 题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中 1 选做一题.设 4 名考生选做每一道题的概率均为 . 2 (1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ξ,求 ξ 的概率分布列. 解:(1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题”,事件 B 表示“乙选做第 21 题”,则甲、乙 -- 两名学生选做同一道题的事件为“AB+ A B ” ,且事件 A、B 相互独立. - - - - 故 P(AB+ A B )=P(A)P(B)+P( A )P( B ) 1 1 1 1 1 = × +(1- )×(1- )= . 2 2 2 2 2 (2)随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4, 1 且 ξ~B(4, ). 2 1k 1 4-k 14 则 P(ξ=k)=Ck =Ck 4( ) (1- ) 4( ) (k=0,1,2,3,4). 2 2 2 14 1 P(ξ=0)=C0 , 4( ) = 2 16 14 1 P(ξ=1)=C1 4( ) = , 2 4

14 3 P(ξ=2)=C2 4( ) = , 2 8 14 1 P(ξ=3)=C3 4( ) = , 2 4 14 1 P(ξ=4)=C4 . 4( ) = 2 16 故变量 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 16 1 1 4 2 3 8 3 1 4 4 1 16

1.某商场为吸引顾客消费推出一项促销活动,活动规则如下:顾客消费额每满 100 元 就可抽一次奖,例如:顾客消费额为 299 元可抽奖两次,所得奖金金额是两次抽奖获得的奖 1 1 金金额的和.顾客每一次抽奖,得 100 元奖金的概率为 ,得 50 元奖金的概率为 ,得 10 10 5 7 元奖金的概率为 . 10 (1)如果某位顾客恰好消费了 100 元,并按规则参与抽奖活动,求该顾客得到的奖金金 额不低于 20 元的概率; (2)假设某位顾客消费额为 230 元, 并按规则参与抽奖活动, 所获得的资金金额为 X(元), 求 X 的分布列. 解:设顾客抽奖一次,获得奖金为 100 元、50 元、10 元分别为事件 A、B、C,根据题 1 1 7 意得 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . 10 5 10 (1)如果某位顾客恰好消费了 100 元,根据规则,该顾客可抽一次奖,得到的奖金金额 3 不低于 20 元为事件“A∪B”,根据题意得 P(A∪B)=P(A)+P(B)= , 10 3 ∴该顾客得到的奖金金额不低于 20 元的概率为 . 10 (2)假设某位顾客消费额为 230 元,由题意,该顾客可抽奖两次,设所获得的奖金金额 为 X(元),则 X 的所有可能取值为:20,60,100,110,150,200. 根据题意得: 49 P(X=20)=P(C)P(C)= ; 100 7 P(X=60)=2P(B)P(C)= ; 25 1 P(X=100)=P(B)P(B)= ; 25 7 P(X=110)=2P(A)P(C)= ; 50 1 P(X=150)=2P(A)P(B)= ; 25 1 P(X=200)=P(A)P(A)= . 100

故 X 的分布列为: X P 20 49 100 60 7 25 100 1 25 110 7 50 150 1 25 200 1 100

1 2.(2015· 四川成都模拟)某人向一目标射击 4 次,每次击中目标的概率为 .该目标分为 3 3 个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为 1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概 率与其面积成正比. (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (2)若目标被击中 2 次, A 表示事件 “第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次”, 求 P(A). 1 解:(1)依题意知 X~B(4, ), 3 10 1 4 16 P(X=0)=C0 , 4( ) (1- ) = 3 3 81 11 1 3 32 P(X=1)=C1 , 4( ) (1- ) = 3 3 81 12 1 2 24 P(X=2)=C2 , 4( ) (1- ) = 3 3 81 13 11 8 P(X=3)=C3 , 4( ) (1- ) = 3 3 81 14 10 1 P(X=4)=C4 . 4( ) (1- ) = 3 3 81 即 X 的分布列为 X P 0 16 81 1 32 81 2 24 81 3 8 81 4 1 81

(2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2.Bi 表示事件“第二次 击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2. 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1, P(A2)=P(B2)=0.3, - - A=A1 B 1∪ A 1B1∪A1B1∪A2B2, 所求的概率为 - - P(A)=P(A1 B 1)+P( A 1B1)+P(A1B1)+P(A2B2) - - =P(A1)P( B 1)+P( A 1)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)·P(B2) =0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28. 3.一个口袋中有 2 个白球和 n 个红球(n≥2,且 n∈N*),每次从袋中摸出两个球(每次 摸球后把这两个球放回袋中),若摸出的两个球颜色相同为中奖,否则为不中奖. (1)试用含 n 的代数式表示一次摸球中奖的概率; (2)若 n=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率; (3)记三次摸球恰有一次中奖的概率为 f(p),当 n 为何值时,f(p)取最大值?

2 解:(1)一次摸球从 n+2 个球中任选两个,有 C2 n+2种选法,其中两球颜色相同有 Cn+ 2 C2 n2-n+2 n+C2 2 C2 种选法,因此一次摸球中奖的概率为 2 = 2 . Cn+2 n +3n+2

2 (2)若 n=3,则一次摸球中奖的概率为 ,三次摸球是独立重复试验,三次摸球中恰有一 5 2 2 2 54 次中奖的概率是 C1 . 3· ·(1- ) = 5 5 125 (3)设一次摸球中奖的概率是 p,则三次摸球恰有一次中奖的概率是 f(p)=C1 p·(1-p)2 3· =3p3-6p2+3p,0<p<1. ∵f′(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1), 1 1 ∴f(p)在(0, )上是增函数,在( ,1)上是减函数, 3 3 1 ∴当 p= 时,f(p)取最大值, 3 n2-n+2 1 ∴p= 2 = (n≥2,且 n∈N*),∴n=2. n +3n+2 3 故 n=2 时,f(p)取最大值.


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