tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

2014届高考数学一轮复习 第62讲《圆锥曲线的综合问题》热点针对训练 理


第62讲

圆锥曲线的综合问题
2

1.已知 λ ∈R,则不论 λ 取何值,曲线 C:λ x -x-λ y+1=0 恒过定点( D ) A.(0,1) B.(-1,1) C.(1,0) D.(1,1) 2 2 解析:由 λ x -x-λ y+1=0,得 λ (x -y)-(x-1)=0. 2 ?x -y=0 ?x=1 ? ? 依

题设? ,即? , ? ? ?x-1=0 ?y=1 可知不论 λ 取何值,曲线 C 过定点(1,1). 2 2.若点 A 的坐标为(3,2), 为抛物线 y =2x 的焦点, P 在抛物线上移动, F 点 为使|PA| +|PF|取最小值,P 点的坐标为( B ) A.(3,3) B.(2,2) 1 C.( ,1) D.(0,0) 2 解析:如图,根据抛物线的定义可知|PF|等于点 P 到准线 l 的距离|PQ|.则当 A、P′、 Q′三点共线时|PA|+|PF|最小,此时,可求得 P′(2,2).

3.(2012·山东省高考冲刺预测)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上任意一点 P,引与实 → → 轴平行的直线,交两渐近线于 M、N 两点,则PM·NP为定值( D ) 2 2 A.a b B.2ab 2 2 C.a D.-a 解析:设 P(x,y),则 M( y,y),N(- y,y),

x2 y2 a b

a b

a b

a a → → 于是PM·PN=( y-x,0)·(- y-x,0) b b
=( y-x)(- y-x)

a b

a b

b a2b2 2 = 2 =a , b

1 2 2 2 2 = 2(b x -a y )

→ → → → 2 所以PM·NP=-PM ·PN=-a ,故选 D. 4.(2012·山东省莱芜市上期末)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点, 9 5 → → 点 P 为椭圆上任意一点,则OP·FP的最小值为( A ) 11 A. B.3 4 C.8 D.15 解析:设 P(x,y),由题意得 F(-2,0), → → 所以OP·FP=(x+2,y)·(x,y) 2 2 =x +2x+y 4 2 = x +2x+5 9
1

x2 y2

4 9 2 11 = (x+ ) + (-3<x<3), 9 4 4 11 所以最小值为 ,故选 A. 4 2 2 5.双曲线 x -y =4 上一点 P(x0,y0)在双曲线的一条渐近线上的射影为 Q,已知 O 为 坐标原点,则△POQ 的面积为定值 1 .

解析:如图,双曲线 x - y =4 的两条渐近线为 y=±x, 即 x±y=0,设 P 在另一条渐近线上的射影为 R,则 |x0-y0| |PQ|= , 2 |x0+y0| |PR|= , 2 2 2 1 |x0-y0| 所以 S△POQ= |PQ||PR|= =1. 2 4 6.椭圆 + =1 和圆 x +y -4x+3=0 上最近两点之间的距离为 2 ,最远两点 25 16 间的距离为 8 . 解析:由题设知圆的圆心为(2,0),半径为 1,本题可转化为求椭圆上的点 P (x0,y0)到 定点 A(2,0)的最近、最远距离;易求得|PA|min=3,|PA|max=7,从而知所 求的最近距离为 2, 最远距离为 8. 7.(2012·柳州市第一次模拟)如图, 正六边形 ABCDEF 的两个顶点 A、 为椭圆的两个 D 焦点,其余 4 个顶点在椭圆上,则该椭圆的离心率是 3-1 .

2

2

x2

y2

2

2

解析:设正六边形的边长为 2c,则焦距为 2c,连接 EA,AD, 则在三角形 EAD 中,|EA|+|ED|=2a,DE⊥AE, 1 2 2 2 所以 DE +AE =AD ,DE= AD,解得 AE= 3c, 2 所以 3c+c=2a,所以 e= 3-1.

x y → → 8.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点,且OP·OQ=0(O 为 a b
坐标原点). 1 1 (1)求证: 2+ 2等于定值;

2

2

a

b

(2)若椭圆离心率 e∈[ 解析:(1)证明:由?
2 2 2 2

3 2 , ]时,求椭圆长轴 长的取值范围. 3 2

? ?b

2 2

x +a2y2=a2b2
2

?x+y-1=0 ?
2

? (a +b )x -2a x+a (1-b )= 0.①
2

由 Δ >0? a b (a +b -1)>0, 2 2 因为 a>b>0,所以 a +b >1. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,x2 是①的两根, 2 2a a2? 1-b2? 所以 x1+x2= 2 .② 2,x1x2= a +b a2+b2 → → 由OP·OQ=0 得,x1x2+y1y2=0, 即 2x1x2-(x1+x2)+1=0,③ 1 1 2 2 2 2 将②代入③得,a +b =2a b ,所以 2+ 2=2,为 定值.

2 2

2

2

b 2 (2)由(1)a +b =2a b 得 2-e =2a (1-e ), 2 2-e 1 1 2 所以 a = = + , 2 2 2? 1-e ? 2 2? 1-e ?
2 2 2 2 2 2

a



3 2 5 6 ≤e≤ ,所以 ≤a≤ ,长轴 2a∈[ 5, 6]. 3 2 2 2

x2 y2 9.(2012·山东省淄博市第一学 期期中)已知点 F1, 2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) F a b 的左、 右焦点,点 P 为椭圆上任意一点,P 到焦点 F2 的距离的最大值为 2+1,且△PF1F2
的最大面积为 1. (1)求椭圆 C 的方程; 5 (2)点 M 的坐标为( ,0),过点 F2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点.对 4 → → 于任意的 k∈R,MA·MB是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由. 解析:(1)由题意可知: 1 a+c= 2+1, ×2c×b=1, 2 2 2 2 2 2 2 因为 a =b +c ,所以 a =2,b =1,c =1, 所以所求椭圆的方程为 +y =1. 2 (2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1), 5 A(x1,y1),B(x2,y2),M( ,0), 4

x2

2

?x +y2=1 ? 联立? 2 ?y=k? x-1? ?
2 2 2 2

2

,消去 y,得

(1+2k )x -4k x+2k -2=0,

? ? 2k -2 则? xx= 1+2k ? ?Δ >0
x1+x2=
1 2 2 2

4k 2 1+2k .

2

5 5 → → 因为MA=(x1- ,y1),MB=(x2- ,y2), 4 4 5 5 → → MA·MB=(x1- )(x2- )+y1y2 4 4 5 25 =- (x1+x2)+x1x2+ +y1y2 4 16

3

5 25 2 =- (x1+x2)+x1x2+ +k (x1-1)(x2-1) 4 16 5 25 2 2 2 =(- -k )(x1+x2)+(1+k )x1x2+k + 4 16 7 =- . 16 7 → → 对任意 x∈R,有MA·MB=- 为定值. 16

4


推荐相关:

第71讲定点1

第62讲直线方程2 第63讲两条直线的位置关系... ...20页 1财富值 高考数学一轮单元复习:第... 24页...圆锥曲线的参数方程或三 角代换,将所求最值问题...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com