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高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 . 一元二次不等式及其解法练习 理-课件


第六章 不等式、推理与证明 6.2 一元二次不等式及其解法练习 理
[A 组·基础达标练] 1.[2016·山西四校联考]设全集为 R,集合 A={x∈R|x <4},B={x|-1<x≤4},则
2

A∩(?RB)=(
A.(-1,2)

) B.(-2,-1) D.(-2,2)

C.(-2,-1] 答案 C
2

解析 由 x <4, 得-2<x<2,所以 A={x|-2<x<2}. ?RB={x|x≤-1 或 x>4}, 所以 A∩(?
R

B)={x|-2<x≤-1},故选 C.
2.[2015·长春三模]x<2 是 x -3x+2<0 成立的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由 x -3x+2<0 解得 1<x<2,再根据已知条件易知选 A. 3.[2015·惠州模拟]不等式 A.[-2,1] C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案 B 1-x 解析 由 ≥0 得(x-1)(x+2)≤0,且 x≠-2,得 2+x -2<x≤1,故选 B. 4.[2016·皖南八校联考]不等式 x -2x+5≥a -3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的
2 2 2 2

)

1-x ≥0 的解集为( 2+x

)

B.(-2,1] D.(-∞,-2]∪(1,+∞)

取值范围为( A.[-1,4]

) B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.[-2,5]
2 2

C.(-∞,-1]∪[4,+∞) 答案 A
2

解析 由 x∈R, x -2x+5≥a -3a 恒成立, 先求出 y=x -2x+5 的最小值, 当 x=1 时,

ymin=4,所以 a2-3a≤4?a2-3a-4≤0,解得-1≤a≤4,故选 A.
?x+2,x≤0, ? 5.[2015·惠州二模]已知函数 f(x)=? ?-x+2,x>0, ?

则不等式 f(x)≥x 的解集为( A.[-1,1] C.[-2,1] 答案 A 解析 当 x≤0 时,x+2≥x ,
2

2

) B.[-2,2] D.[-1,2]

1

∴-1≤x≤0,① 当 x>0 时,-x+2≥x ,∴0<x≤1.② 由①②得,原不等式的解集为{x|-1≤x≤1}.故选 A.
? ? ? 1 6.[2016·辽宁五校联考]已知一元二次不等式 f(x)≤0 的解集为?x?x≤ 或x≥3 2 ? ? ? ? ? ?, ? ?
2

则 f(e )>0 的解集为( B.{x|ln 2<x<ln 3} C.{x|x<ln 3}

x

)

A.{x|x<-ln 2 或 x>ln 3}

D.{x|-ln 2<x<ln 3} 答案 D
? ? ?1 解析 f(x)>0 的解集为?x? <x<3 ? ?2 ? ? ? ?, ? ?

1 x x 由 f(e )>0 得 <e <3, 2 1 解得 ln <x<ln 3, 2 即-ln 2<x<ln 3. 故选 D. 7.[2016·沈阳质检]不等式 x +ax+4<0 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是 ________. 答案 (-∞,-4)∪(4,+∞) 解析 Δ =a -4×4=a -16>0,解得 a<-4 或 a>4.
2 2 2

? 1 1? 2 2 8.已知关于 x 的不等式 ax +2x+c>0 的解集为?- , ?,则不等式-cx +2x-a>0 的 ? 3 2?
解集为________. 答案 (-2,3) 1 1 2 ? ?-3+2=-a, 依题意可知? 1 1 c ?-3×2=a, ?

解析

解得:a=-12,c=2 ∴不等式-cx +2x-a>0,即为 -2x +2x+12>0 即 x -x-6<0 解得-2<x<3,所以不等式的解集为(-2,3). 9.不等式(x-1)
2 2 2

x2-x-2≥0 的解集为________.
2 2

答案 {x|x≥2 或 x=-1} 解析 原不等式可化为(x-1) x -x-2>0 或(x-1)· x -x-2=0,

2

即?

?x-1>0, ? ?x -x-2>0 ?
2

或?

?x-1=0, ? ?x -x-2≥0 ?
2

或 x -x-2=0,

2

解得 x>2 或 x∈?或 x=2 或 x=-1, 综上可知,原不等式的解集为{x|x≥2 或 x=-1}. 10. [2015·铜陵一模]已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a, 且不等式 f(x)>0 的解集为 (1,2),若 f(x)的最大值小于 1,则 a 的取值范围是________. 答案 (-4,0) 解析 由题意知 a<0,且方程 f(x)=0 的两根为 1,2,

f(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+2a, a ?3? ∴[f(x)]max=f? ?=- <1, 2 4 ? ?
∴a>-4,故-4<a<0. [B 组·能力提升练] 1.[2016·山西质监]若关于 x 的不等式 4a 成立,则 a 的取值范围为( )
x-1

<3x-4(a>0,且 a≠1)对于任意的 x>2 恒

? 1? A.?0, ? ? 2?
C.[2,+∞) 答案 B 解析 不等式 4a
x-1

? 1? B.?0, ? ? 2?
D.(2,+∞) 3 3 x-1 < x-1.令 f(x)=a ,g(x)= x-1,当 a>1 时, 4 4 3 ≤ ×2-1, 4

<3x-4 等价于 a

x-1

在同一坐标系中作出两个函数的图象,如图 1 所示,由图知不满足条件;当 0<a<1 时,在同 一坐标系中作出两个函数的图象,如图 2 所示,由题意知,f(2)≤g(2),即 a 1 ? 1? 即 a≤ ,所以 a 的取值范围是?0, ?,故选 B. 2 ? 2?
2-1

2.[2016·贵州六校联考]若不等式

t+2 ≤a≤ 2 在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值 t +9 t
2

t

3

范围是(

)

?1 ? A.? ,1? ?6 ? ?1 4 ? C.? , ? ?6 13?
答案 D 解析 = t +9
2

?1 ? B.? ,2 2? ?6 ?
D.?

? 2 ,1? ? ?13 ?

t

9 9 9 13 t 1 ,而 y=t+ 在(0,2]上单调递减,故 t+ ≥2+ = , 2 = 9 t t 2 2 t +9 9 t+ t+ 1

t

t

2 1 1 t+2 1 2 ?1 1?2 1 ≤ (当且仅当 t=2 时等号成立),因为 ≥ ,所以 2 = + 2=2? + ? - ≥1(当且仅当 13 t 2 t t t ?t 4? 8

? ? t=2 时等号成立),故 a 的取值范围为? ,1?.
2 ?13

?

3.[2015·福州期末]若不等式 x -(a+1)x+a≤0 的解集是[-4,3]的子集,求 a 的取 值范围是________. 答案 [-4,3] 解析 原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0,当 a<1 时,不等式的解集为[a,1],此时只要

2

a≥-4 即可,
即-4≤a<1, 当 a=1 时,不等式的解为 x=1,此时符合要求, 当 a>1 时,不等式的解集为[1,a], 此时只要 a≤3 即可,即 1<a≤3, 综上,-4≤a≤3. 4.[2013·重庆高考]设 0≤α ≤π ,不等式 8x -(8sinα )x+cos2α ≥0 对任意 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围是________.
2

? π ? ?5 ? 答案 ?0, ?∪? π ,π ? 6 6 ?
2 2 2

? ?

?
2

解析 由题意知,(8sinα ) -4×8·cos2α ≤0, ∴2sin α -cos2α ≤0, ∴2sin α -(1-2sin α )≤0, ∴4sin α -1≤0, 1 2 ∴sin α ≤ , 4 又 0≤α ≤π , 1 ∴0≤sinα ≤ . 2 π 5π ∴0≤α ≤ 或 ≤α ≤π . 6 6 5.已知函数 f(x)=ax +(b-8)x-a-ab,当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. 当 x∈(-3,2)时,f(x)>0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域;
4
2 2

(2)若 ax +bx+c≤0 的解集为 R,求实数 c 的取值范围. 解 (1)因为当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,
2

2

当 x∈(-3,2)时,f(x)>0, 所以-3,2 是方程 ax +(b-8)x-a-ab=0 的两根,

b-8 ? ?-3+2=- a , 所以可得? -a-ab ?-3×2= a , ?

所以 a=-3,b=5,

? 1?2 2 所以 f(x)=-3x -3x+18=-3?x+ ? +18.75, ? 2?
函数图象关于 x=-0.5 对称,且抛物线开口向下, 所以在区间[0,1]上 f(x)为减函数, 所以函数的最大值为 f(0)=18,最小值为 f(1)=12, 故 f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)由(1)知,不等式 ax +bx+c≤0 化为-3x +5x+c≤0, 因为二次函数 y=-3x +5x+c 的图象开口向下,要使-3x +5x+c≤0 的解集为 R,只 需?
? ?a=-3<0, ?Δ =b -4ac≤0, ?
2 2 2 2 2

25 即 25+12c≤0? c≤- , 12 25? ? 所以实数 c 的取值范围为?-∞,- ?. 12? ?

5


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