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福建省泉州市南安一中2015-2016学年高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年福建省泉州市南安一中高二(下)期中数学试卷 (文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 1.在复平面内,复数 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.下列推理是归纳推理的

是( ) A.由 a1=1,an=3n﹣1,求出 s1,s2,s3,猜出数列{an}的前 n 项和的表达式 B.由于 f(x)=xsinx 满足 f(﹣x)=﹣f(x)对? x∈R 都成立,推断 f(x)=xsinx 为偶函 数 C.由圆 x2+y2=1 的面积 S=πr2,推断:椭圆 + =1 的面积 S=πab

D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 3. 用反证法证明命题“若 sinθ +cosθ? =1, 则 sinθ≥0 且 cosθ≥0”

时,下列假设的结论正确的是( ) A.sinθ≥0 或 cosθ≥0 B.sinθ<0 或 cosθ<0 C.sinθ<0 且 cosθ<0 D.sinθ>0 且 cosθ>0 4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=4,则输出 y 的值为(



A.

B.

C.

D.
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5. 0. 无限循环小数为有理数, 如: A. B. C. D.

= , 0.

= , 0.

= , …, 则可归纳出 0.

= (



6.函数 f(x)=x3﹣3x2+2 的减区间为( ) A. B. (2,+∞) (﹣∞,2) C. (﹣∞,0) D. (0,2) 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 7. 1 +2 =3 , 1 +2 +3 =6 , 1 +2 +3 +4 =10 根据上述规律, 13+23+33+43+53+63= 观察下列等式, ( ) 2 A.19 B.202 C.212 D.222 8.给出的程序框图如图,那么输出的数是( )

A.2450 B.2550 C.5050 D.4900 9.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=( ) A.﹣e B.﹣1 C.1 D.e 10.若 f(x)是定义在 R 上的可导函数,且满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)>2f(1) C.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 11.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的 一般结论是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=(2n﹣1)2 12.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(x+2) x 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. C. D. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) (1,+∞) (4,+∞) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置) 13.计算(﹣8﹣7i)×(﹣3i)= . 14.执行如图的程序框图,输出 s 和 n,则 s 的值为 .

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15.已知

=2



=3



=4

,…若

=6

, (a,t 均为正

实数) ,则类比以上等式,可推测 a,t 的值,a+t= . 3 2 16.已知函数 f(x)=x +ax +x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(﹣1,1)内, 则实数 a 的取值范围是 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知复数 z=(m2﹣m﹣6)+(m+2)i,m∈R (Ⅰ)当 m=3 时,求|z|; (Ⅱ)当 m 为何值时,z 为纯虚数. 18.某分公司经销某种产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交纳 6 元的 管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为 x2 万件. (Ⅰ)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大? 19.设 f(x)= (1)求函数 f(x)的单调递增,递减区间; (2)当 x∈[﹣1,2]时,f(x)<m 恒成立,求实数的取值范围. 20.设 n∈N*且 sinx+cosx=﹣1,请归纳猜测 sinnx+cosnx 的值. (先观察 n=1,2,3,4 时的 n n 值,归纳猜测 sin x+cos x 的值,不必证明. ) 2 2 21.已知函数 f(x)=x ﹣2lnx,h(x)=x ﹣x+a. (1)其求函数 f(x)的极值; (2)设函数 k(x)=f(x)﹣h(x) ,若函数 k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点求实数 a 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=lnx+x2+ax,a∈R. (1)若函数 f(x)在其定义域上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 时,函数 g(x)= ﹣x 在区间[t,+∞) (t∈N*)上存在极值,求 t 的最大

值. (参考数值:自然对数的底数 e≈2.71828)

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2015-2016 学年福建省泉州市南安一中高二(下)期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡相应位置) 1.在复平面内,复数 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解答】解:复数 故选:C. 2.下列推理是归纳推理的是( ) A.由 a1=1,an=3n﹣1,求出 s1,s2,s3,猜出数列{an}的前 n 项和的表达式 B.由于 f(x)=xsinx 满足 f(﹣x)=﹣f(x)对? x∈R 都成立,推断 f(x)=xsinx 为偶函 数 C.由圆 x2+y2=1 的面积 S=πr2,推断:椭圆 + =1 的面积 S=πab = =﹣i﹣1 对应的点(﹣1,﹣1)位于第三象限,

D.由平面三角形的性质推测空间四面体的性质 【考点】归纳推理. 【分析】直接利用归纳推理的定义,判断选项的正误即可. 【解答】解:对于 A,设数列﹛an﹜的前 n 项和为 sn,由 a1=1,an=3n﹣1,求出 s1,s2,s3, 猜出数列{an}的前 n 项和的表达式,满足归纳推理的形式与步骤,所以 A 正确. 对于 B,由 f(x)=xsinx,满足 f(﹣x)=﹣f(x)对? x∈R 都成立,推断 f(x)=xsinx 为 奇函数,是函数的奇偶性的定义的应用,是演绎推理,所以 B 不正确; 对于 C,由圆 x2+y2=r2 的面积 s=πr2 推断:椭圆 + =1(a>b>0)的面积 S=πab,是类

比推理,所以 C 不正确; 对于 D,由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理,所以 D 不正确. 故选:A.

3. 用反证法证明命题“若 sinθ

+cosθ?

=1, 则 sinθ≥0 且 cosθ≥0”

时,下列假设的结论正确的是( ) A.sinθ≥0 或 cosθ≥0 B.sinθ<0 或 cosθ<0 C.sinθ<0 且 cosθ<0 D.sinθ>0 且 cosθ>0
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【考点】反证法与放缩法. 【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤,应先假设要证命题的否定成立.根据要 证命题的否定,从而得出结论. 【解答】解:用反证法证明,应先假设要证命题的否定成立. 而要证命题的否定为:sinθ<0 或 cosθ<0, 故选:B. 4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=4,则输出 y 的值为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】循环结构. 【分析】由 x←4,先计算 y← ,进行判断|1﹣4|>1,不满足判断框,应执行“否”,

将 y 的值输给 x,即 x←1;依此类推,当满足|y﹣x|<1 时,即可输出 y 的值. 【解答】解:由 x←4,先计算 y← “否”,将 y 的值输给 x,即 x←1; 由 x←1,先计算 y← 将 y 的值输给 x,即 x← 由 x← ,先计算 y← . ,进行判断| ; ,进行判断| |<1,满足判断框, |>1,不满足判断框,应执行“否”,再 ,进行判断|1﹣4|>1,不满足判断框,应执行

应执行“是”,应输出 y← 故选 A.

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5. 0. 无限循环小数为有理数, 如: A. B. C. D.

= , 0.

= , 0.

= , …, 则可归纳出 0.

= (



【考点】归纳推理. 【分析】由题意,0. 【解答】解:由题意,0. 故选:D. 6.函数 f(x)=x3﹣3x2+2 的减区间为( ) A. B. (2,+∞) (﹣∞,2) C. (﹣∞,0) =0.45+0.0045+…,利用等比数列的求和公式,即可得到结论. =0.45+0.0045+…= = ,

D. (0,2)

【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的单调性及单调区间. 【分析】求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系解 f′(x)<0 即可. 【解答】解:函数的导数为 f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2) , 由 f′(x)<0 得 3x(x﹣2)<0, 得 0<x<2, 即函数的单调递减区间为(0,2) , 故选:D. 7. 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102 根据上述规律, 13+23+33+43+53+63= 观察下列等式, ( ) 2 A.19 B.202 C.212 D.222 【考点】归纳推理;等差数列与等比数列的综合. 【分析】 解答此类的方法是从特殊的前几个式子进行分析找出规律. 观察前几个式子的变化 规律,发现每一个等式左边为立方和,右边为平方的形式,且左边的底数在增加,右边的底 数也在增加.从中找规律性即可. 【解答】解:∵所给等式左边的底数依次分别为 1,2;1,2,3;1,2,3,4; 右边的底数依次分别为 3,6,10, (注意:这里 3+3=6,6+4=10) , ∴由底数内在规律可知:第五个等式左边的底数为 1,2,3,4,5,6, 右边的底数为 10+5+6=21.又左边为立方和,右边为平方的形式, 故有 13+23+33+43+53+63=212. 故选 C. 8.给出的程序框图如图,那么输出的数是( )

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A.2450 B.2550 C.5050 D.4900 【考点】循环结构. 【分析】首先根据程序框图,分析 sum 求和问题,然后根据等差数列求和问题求解 s.最后 输出 s 的值. 【解答】解:根据题意,按照程序框图进行运算: s=0 i=2 s=2 i=4 s=6 i=6 s=12 i=8 …i=100 s=2+4+6+10+…+98 s 为首项为 2,末项为 98 的等差数列 ∴s=2450 故选 A. 9.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+lnx,则 f′(1)=( A.﹣e B.﹣1 C.1 D.e )

【考点】导数的乘法与除法法则;导数的加法与减法法则. 【分析】已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,利用求导公式对 f(x)进行求导,再把 x=1 代入,即可求解; 【解答】解:∵函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x, (x>0) ∴f′(x)=2f′(1)+ ,把 x=1 代入 f′(x)可得 f′(1)=2f′(1)+1, 解得 f′(1)=﹣1, 故选 B; 10.若 f(x)是定义在 R 上的可导函数,且满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有( ) A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)>2f(1) C.f(0)+f(2)≤2f(1) D.f(0)+f(2)≥2f(1) 【考点】利用导数研究函数的单调性.
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【分析】对 x 分段讨论,解不等式求出 f′(x)的符号,判断出 f(x)的单调性,利用函数 的单调性比较出函数值 f(0) ,f(2)与 f(1)的大小关系,利用不等式的性质得到选项. 【解答】解:∵(x﹣1)f'(x)≥0 ∴x>1 时,f′(x)≥0;x<1 时,f′(x)≤0 ∴f(x)在(1,+∞)为增函数;在(﹣∞,1)上为减函数 ∴f(2)≥f(1) f(0)≥f(1) ∴f(0)+f(2)≥2f(1) 故选 D. 11.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,可以得出的 一般结论是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=n2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2)=(2n﹣1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=n2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣1)=(2n﹣1)2 【考点】归纳推理. 【分析】分析已知中 1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,各式子左 右两边的形式,包括项数,每一个式子第一数的值等,归纳分析后,即可得到结论. 【解答】解:1=12, 2+3+4=32, 3+4+5+6+7=52, 4+5+6+7+8+9+10=72, …, 由上述式子可以归纳: 左边每一个式子均有 2n﹣1 项,且第一项为 n,则最后一项为 3n﹣2 右边均为 2n﹣1 的平方 故选 B 12.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(x+2) x 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. 2 B 0 C 1 D ∞ ∞ ∞ (﹣ ,+ ) . ( ,+ ) . ( ,+ ) . (4,+∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 【分析】构造函数 g(x)= (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质和函

数值,即可求解 【解答】解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于 x=0 对称 ∴y=f(x)的图象关于 x=2 对称 ∴f(4)=f(0) 又∵f(4)=1,∴f(0)=1 设 g(x)= (x∈R) ,则 g′(x)= =

又∵f′(x)<f(x) ,∴f′(x)﹣f(x)<0 ∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减 ∵f(x)<ex
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∴g(x)<1 又∵g(0)= ∴g(x)<g(0) ∴x>0 故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置) 13.计算(﹣8﹣7i)×(﹣3i)= ﹣21+24i . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:原式=24i﹣21, 故答案为:﹣21+24i. 14.执行如图的程序框图,输出 s 和 n,则 s 的值为 9 . =1

【考点】程序框图. 【分析】框图首先对累加变量和循环变量进行了赋值,然后对判断框中的条件进行判断,满 足条件,执行 S=S=3,T=2T+n,n=n+1,不满足条件,输出 S,n,从而得解. 【解答】解:首先对累加变量和循环变量赋值,S=0,T=0,n=1, 判断 0≤0,执行 S=0+3=3,T=2×0+1=1,n=1+1=2; 判断 1≤3,执行 S=3+3=6,T=2×1+2=5,n=2+1=3; 判断 5≤6,执行 S=6+3=9,T=2×5+3=13,n=3+1=4; 判断 13>9,算法结束,输出 S,n 的值分别为 9,4, 故答案为:9.

15.已知

=2



=3



=4

,…若 .

=6

, (a,t 均为正

实数) ,则类比以上等式,可推测 a,t 的值,a+t= 41 【考点】类比推理.

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【分析】 观察所给的等式, 等号右边是



…第 n 个应该是 ,



左边的式子 【解答】解:观察下列等式 =2 , =3 ,

,写出结果.

=4

,…

照此规律,第 5 个等式中:a=6,t=a2﹣1=35 a+t=41. 故答案为:41. 16.已知函数 f(x)=x3+ax2+x+2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(﹣1,1)内, 则实数 a 的取值范围是 ( ,2) . 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】求导函数,则问题转化为方程 3x2+2ax+1=0 的根都在区间(﹣1,1)内,构造函数 g(x)=3x2+2ax+1,即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:函数 f(x)=x3+ax2+x+2(a>0)求导函数,可得 f′(x)=3x2+2ax+1 则由题意,方程 3x2+2ax+1=0 的两个不等根都在区间(﹣1,1)内,

构造函数 g(x)=3x2+2ax+1,则

,即



∴ <a<2 ∴实数 a 的取值范围是( 故答案为: ( ,2) .

,2)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知复数 z=(m2﹣m﹣6)+(m+2)i,m∈R (Ⅰ)当 m=3 时,求|z|; (Ⅱ)当 m 为何值时,z 为纯虚数. 【考点】复数的基本概念;复数求模. 【分析】 (Ⅰ)当 m=3 时,根据复数模长的定义即可求|z|; (Ⅱ)根据 z 为纯虚数,建立方程或不等式关系进行求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)当 m=3 时,z=(m2﹣m﹣6)+(m+2)i=(9﹣3﹣6)+5i=5i,则|z|=5; (Ⅱ)若 z 为纯虚数,则 即 m=3. ,则 .

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18.某分公司经销某种产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交纳 6 元的 管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的销售量为 x2 万件. (Ⅰ)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (Ⅱ)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大? 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】 (Ⅰ)根据题意先求出每件产品的利润,再乘以一年的销量,便可求出分公司一年 的利润 L 与每件产品的售价 x 的函数关系式,但应当注意变量的范围; (Ⅱ)运用导数求得函数的单调性,借以判断最值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可得,L=x2(x﹣9)=x3﹣9x2,9≤x≤11. (Ⅱ)L′=3x2﹣18x=3x(x﹣6) , 令 L′=0,∴x=0 或 x=6, ∴L′>0 在[9,11]上恒成立,即 L 在[9,11]上单调递增, ∴当 x=11 时,L 取得最大值, ∴当每件产品的售价为 11 元时,分公司一年的利润 L 最大.

19.设 f(x)= (1)求函数 f(x)的单调递增,递减区间; (2)当 x∈[﹣1,2]时,f(x)<m 恒成立,求实数的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)先求出函数 f(x)的导数,令导函数大于 0,求出增区间,令导函数小于零, 求出减区间; (2)恒成立问题可转化成 f(x)max<m 即可可.函数在[﹣1,2]上的最大值,利用极值与 端点的函数值可以确定. 【解答】解: (1)f′(x)=3x2﹣x﹣2,令 f′(x)=0,解得 x=1 或﹣ , 令 f′(x)>0,解得 x∈(﹣∞,﹣ ) , (1,+∞) , 令 f′(x)<0,解得 x∈(﹣ ,1) , f(x)的单调递增为(﹣∞,﹣ ) , (1,+∞) ,递减区间为(﹣ ,1) . (2) )∵f(﹣1)=5 ,f(﹣ )=5 ,f(1)=3 ,f(2)=7;

即 f(x)max=7, 要使 x∈[﹣1,2]时,f(x)<m 恒成立,即 f(x)max<m, ∴m>7, 故实数 m 的取值范围为(7,+∞) . 20.设 n∈N*且 sinx+cosx=﹣1,请归纳猜测 sinnx+cosnx 的值. (先观察 n=1,2,3,4 时的 值,归纳猜测 sinnx+cosnx 的值,不必证明. ) 【考点】归纳推理. 【分析】先观察 n=1,2,3,4 时的值,再归纳猜测 sinnx+cosnx 的值. 【解答】解:当 n=1 时,有 sinx+cosx=﹣1;
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当 n=2 时,有 sin2x+cos2x=1; 当 n=3 时,有 sin3x+cos3x=(sin2x+cos2x) (sinx+cosx)﹣sinxcosx(sinx+cosx) 2 2 注意到(sinx+cosx) =(﹣1) ∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=1 ∴sinxcosx=0 代入前式得 sin3x+cos3x=1?(﹣1)﹣0?(﹣1)=﹣1. 当 n=4 时,sin4x+cos4x=(sin3x+cos3x) (sinx+cosx)﹣sinxcosx(sin2x+cos2x)=(﹣1)2﹣0 ×1=1 由以上我们可以猜测,当 n∈N+时,可能有 sinnx+cosnx=(﹣1)n 成立. 21.已知函数 f(x)=x2﹣2lnx,h(x)=x2﹣x+a. (1)其求函数 f(x)的极值; (2)设函数 k(x)=f(x)﹣h(x) ,若函数 k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (I)先在定义域内求出 f′(x)=0 的值,再讨论满足 f′(x)=0 的点附近的导数的 符号的变化情况,来确定极值; (II)先求出函数 k(x)的解析式,然后研究函数 k(x)在[1,3]上的单调性,根据函数 k

(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,建立不等关系

,最后解之即可.

【解答】解: (Ⅰ)∵f′(x)=2x﹣ ,令 f′(x)=0,∵x>0,∴x=1, 所以 f(x)的极小值为 1,无极大值. (Ⅱ)∵ 1) 1 x (0, (1,+∞) f′(x) _ 0 + f(x) 1 减 增 又∵k(x)=f(x)﹣g(x)=﹣2lnx+x﹣a, ∴k′(x)=﹣ +1, 若 k′(x)=0,则 x=2 当 x∈[1,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(2,3]时,f′(x)>0. 故 k(x)在 x∈[1,2)上递减,在 x∈(2,3]上递增.



,∴

,∴2﹣2ln2<a≤3﹣2ln3.

所以实数 a 的取值范围是: (2﹣2ln2,3﹣2ln3] 22.已知函数 f(x)=lnx+x2+ax,a∈R. (1)若函数 f(x)在其定义域上为增函数,求 a 的取值范围;
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(2)当 a=1 时,函数 g(x)=

﹣x 在区间[t,+∞) (t∈N*)上存在极值,求 t 的最大

值. (参考数值:自然对数的底数 e≈2.71828) 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)函数 f (x)在其定义域上为增函数?f' (x) ≥0,即 都成立.通过分离参数 a,再利用基本不等式的性质即可得出. (2)当 a=1 时,g(x)= . .由于函数 g(x)在[t,+∞) (t∈N*) 对 x∈(0,+∞)

上存在极值,可知:方程 g'(x)=0 在[t,+∞) (t∈N*)上有解, 即方程 在[t,+∞) (t∈N*)上有解.再利用导数研究其单调性、函数的零点

即可. 【解答】解: (1) :函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , ∵f(x)=lnx+x2+ax,∴ ∵函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f'(x)≥0,即 ∴ 当 x>0 时, ∴ ,即 ∴a 的取值范围为 (2)当 a=1 时, . . . 对 x∈(0,+∞)都成立. .

对 x∈(0,+∞)都成立. ,当且仅当 ,即 时,取等号.

. ∵函数 g(x)在[t,+∞) (t∈N*)上存在极值, ∴方程 g'(x)=0 在[t,+∞) (t∈N*)上有解, 即方程 令 由于 x>0,则 在[t,+∞) (t∈N*)上有解. (x>0) , ,

∴函数 φ(x)在(0,+∞)上单调递减. ∵ ,

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, ∴函数 φ(x)的零点 x0∈(3,4) . ∵方程 φ(x)=0 在[t,+∞) (t∈N*)上有解,t∈N* ∴t≤3. ∵t∈N*, ∴t 的最大值为 3.

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2016 年 9 月 1 日

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