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2013年全国高中数学联赛模拟卷(1-7)(一试)附详细解答


2013 年全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) sin x cos x ? 1 1. 函数 y ? 的值域是___________ sin x ? cos x ?

1
2. 设 a, b, c 为 RT△ACB 的三边长, 点(m, n)在直线 ax+by+c=0 上. 则 m2+n2 的最小值是___________ 3. 若 n ? N ,且 n 2 ? 24 ? n 2 ? 9 为正整数,则 n ? ________ . 4. 掷 6 次骰子, 令第 i 次得到的数为 a i , 若存在正整数 k 使得 质的正整数. 则 log6 m ? log7 n = .

?a
i ?1

k

i

? 6 的概率 p ?

n ,其中 m, n 是互 m

5. 已知点 P 在曲线 y=ex 上,点 Q 在曲线 y=lnx 上,则 PQ 的最小值是_______ 6. 已知多项式 f (x)满足: f ( x2 ? x ? 3) ? 2 f ( x2 ? 3x ? 5) ? 6x2 ?10x ? 17( x ? R) , 则 f (2011) ? _________ 7. 四面体 OABC 中, 已知∠AOB=450,∠AOC=∠BOC=300, 则二面角 A-OC-B 的平面角 ? 的余弦值是 __________ 8. 设向量 ? π ], 2

? ( x ? 3, x), ? ? (2sin? cos? , a sin? ? a cos? ) 满足对任意 x ? R 和 θ∈[0,
则实数 a 的取值范围是________________.

| ? ? ? |? 2 恒成立.

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 2 a an 9. 设数列 {an } 满足 a0 ? N ? , an ?1 ? .求证:当 0 ? n ? 0 ? 1 时, [an ] ? a0 ? n . (其中 [ x ] 表示不 2 an ? 1 超过 x 的最大整数).

10. 过点 (2,3) 作动直线 l 交椭圆

x2 ? y 2 ? 1 于两个不同的点 P, Q ,过 P, Q 作椭圆的切线, 4 两条切线的交点为 M , ⑴ 求点 M 的轨迹方程; ⑵ 设 O 为坐标原点,当四边形 POQM 的面积为 4 时,求直线 l 的方程.

11. 若 a 、 b 、 c ? R? ,且满足

kabc ? (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 ,求 k 的最大值。 a?b?c

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案
1.解:令 sinx+cosx=t, 则 t= 2 sin( x ?

?
4

) ? [? 2 ,?1) ? (?1, 2 ] ,2sinxcosx=t2-1,

sin x cos x ? 1 1 t ?3 1 2 1 2 ? ? ? (t ? 1 ? ) ? (t ? 1 ? ) ? 1 关于 t+1 在 [1 ? 2 ,0) 和 sin x ? cos x ? 1 2 t ? 1 2 t ?1 2 t ?1 1? 2 1? 2 1? 2 1? 2 或y? , 即值域 (??, ]?[ ,??) . (0,1 ? 2 ] 上均递增,所以, y ? 2 2 2 2 y?
2

2. 解:因(m2+n2)c2=(m2+n2)(a2+b2)=(ma)2+(nb)2+(mb)2+(na)2 ?(ma)2+(nb)2+2mnab=(ma+nb)2=c2, 所以 m2+n2?1, 等号成立仅当 mb=na 且 am+bn+c=0,

a b ,? ), 所以 m2+n2 最小值是 1. c c 33 2 2 2 2 3. 解: n ? 24 ? n ? 9 ? 由 知 n ? 24 ? n ? 9 可能为 1,3, 11, 33, 从而解得 n ? 5. 2 2 n ? 24 ? n ? 9 1 1 2 4.解:当 k ? 1 时,概率为 ;当 k ? 2 时, 6 ? 1 ? 5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 3 ,概率为 5 ? ( ) ; 6 6 1 3 1 3 当 k ? 3 时, 6 ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ,概率为 (3 ? 6 ? 1) ? ( ) ? 10 ? ( ) ; 6 6 1 4 1 4 当 k ? 4 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ,概率为 (4 ? 6) ? ( ) ? 10 ? ( ) ; 6 6 1 5 1 6 当 k ? 5 时, 6 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ,概率为 5 ? ( ) ;当 k ? 6 时,概率为 ( ) ;故 6 6 5 1 1 1 1 1 1 1 1 7 p ? ? 5 ? ( )2 ? 10 ? ( )3 ? 10 ? ( )4 ? 5 ? ( )5 ? ( )6 ? ? (1 ? )5 ? 6 ,即 n ? 75 , m ? 66 ,从而 log6 m ? log7 n ? 1 . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 x 5. 解:因曲线 y=e 与 y=lnx 关于直线 y=x 对称.所求 PQ 的最小值为曲线 y=ex 上的点到直线 y=x 最小
解得(m, n)=( ? 距离的两倍,设 P(x, e )为 y=e 上任意点, 则 P 到直线 y=x 的距离 d ( x) ?
x x

| ex ? x | 2

?

ex ? x 2

,

2 ,即 PQ min= 2 . 2 2 2 2 2 6.解: 解:用 1 ? x 代替原式中的 x 得: f ( x ? 3x ? 5) ? 2 f ( x ? x ? 3) ? 6 x ? 2 x ? 13 2 2 解二元一次方程组得 f ( x ? x ? 3) ? 2x ? 2x ? 3 ,所以: f ( x) ? 2 x ? 3 ,则 f (2011) ? 4019 . (分析得 f ( x ) 为一次多项式,可直接求 f ( x ) 解析式)
因d
/

( x) ?

e x ?1

? 0 ? x ? 0, d / ( x) ? 0 ? x ? 0 ,所以, d ( x) min ? d (0) ?

A 7. 解:不妨设 AC⊥OC⊥BC,∠ACB= ? ,∠AOC=∠BOC= ? ,∠AOB= ? . 因 OA ? OB ? (OC ? CA) ? (OC ? CB) = | OC |
2

?CA ? CB
C O B

即 | OA || OB | cos? ?| OA | cos? ? | OB | cos? ? | CA || CB | cos? , 两端除以 | OA || OB | 并注意到

| CA | | OA |

? sin ? ,

| CB | | OB |

? ? , 即得 cos ?

? cos ? ? sin ? cos? ,
2 2

将 ? =450, ? =300 代入得

2 3 1 ? ? cos? , 所以, cos? ? 2 2 ? 3 . 2 4 4

? cos? ? t , 则 t ?[1, 2 ] , 2 sin ? cos? ? t 2 ?1, ? ? ? ? (t 2 ? x ? 2, x ? at) , 1 2 1 2 2 2 2 2 2 因 (t ? x ? 2) ? ( x ? at ) ? (t ? x ? 2 ? x ? at ) ? (t ? at ? 2) , 2 2
8.解:令 sin ? 所以, | ?

? ? |? 2 ? (t 2 ? x ? 2) 2 ? ( x ? at) 2 ? 2 对任意 x ? R 恒成立

1 2 (t ? at ? 2) 2 ? 2 ? t 2 ? at ? 0 或 t 2 ? at ? 4 ? 0 ? a ? t 或 a ? t ? 4 对任意 2 t t ? [1, 2 ] 恒成立 ? a ? 1 或 a ? 5 .
?
9. 证明:对于任何正整数 n ,由递推知 an ? 0 .由 an ? an?1 ? an ? 又对任意 n ? N , an ? a0 ?
*
2 an a ? n ? 0 知数列 {an } 递减. an ? 1 an ? 1

? (a ? a
i ?1 i

n

i ?1 ) ? a0 ? ?

n ai ?1 1 ? a0 ? ? (1 ? ) 1 ? ai ?1 i ?1 1 ? ai ?1 i ?1

n

? a0 ? n ? ?
当 n ? 1 时,

1 ?a0 ? n .即有 an ? a0 ? n ,从而 an?1 ? a0 ? (n ?1) .于是, i ?1 1 ? ai ?1

n

?1? a
i ?1

n

1

?

i ?1

1 ? 1; 1 ? a0

a 当 2 ? n ? 0 ? 1 时,由 {an } 递减得 2
故 a0 ? n ? an ? a0 ? n ?

?1 ? a
i ?1

n

1

?
i ?1

n n ? ? 1. 1 ? an?1 a0 ? n ? 2

?1? a
i ?1

n

1

? a0 ? n ? 1.所以, [an ] ? a0 ? n .
2 3

10. 解(1)依题意设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ? 3 ,与椭圆联立得

i ?1

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k (3 ? 2k ) x ? 4(4k 2 ? 12k ? 8) ? 0 , ? ? 64(3 ? 2k ) ,由 ? ? 0 得 k ?
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,则过 P, Q 椭圆的切线分别为

x1 x x x ? y1 y ? 1 ??①和 2 ? y 2 y ? 1 ??② 4 4 1 3 (k ? ) , ① ? x2 ? ② ? x1 ,并且由 y1 ? k ( x1 ? 2) ? 3 及 y2 ? k ( x2 ? 2) ? 3 得 y ? 3 ? 2k 2 ? 4k 3 (k ? ) ,故点 M 的轨迹方程为 x ? 6 y ? 2 ? 0 (在椭圆外) 同理 x ? 3 ? 2k 2
(2) PQ ?

64(3k ? 2)(1 ? k 2 ) 1 ? 4k
4 3k ? 2
2

,O 到 PQ 的距离为 d1 ?

3 ? 2k 1? k
2

,M 到 PQ 的距离为

d2 ?

3 ? 2k 1 ? k 2

, d1 ? d 2 ?

4k ? 1
2

3k ? 2 1 ? k 2



1 4 3k ? 2 (d1 ? d 2 ) ? PQ ? 2 3 ? 2k 11 当 S ? 4 时解得 k ? 1 或 k ? ,直线 l 为 x ? y ? 1 ? 0 或 11x ? 4 y ? 10 ? 0 4 2 2 2 2 11. 解:由均值不等式得 (a ? b) ? (a ? b ? 4c) ? (a ? b) ? [(a ? 2c) ? (b ? 2c)]
四边形 POQM 的面积 S ?

? (2 ab) 2 ? (2 2ac ? 2 2bc) 2 ? 4ab ? 4 ? 2ac ? 4 ? 2bc ? 2 ? 2 ? 2 ? 2c ? ab

? 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab , (a ? b) 2 ? (a ? b ? 4c) 2 4ab ? 8ac ? 8bc ? 16c ab ∴ ? ( a ? b ? c) ? ? ( a ? b ? c) abc abc c 8 8 16 1 1 1 1 1 a a b b ?( ? ? ? )(a ? b ? c) ? 8( ? ? ? ? )( ? ? ? ? c) 4 b a 2c b a ab ab ab 2 2 2 2

? 8(5 ? 5

1 a 2b 2 c ) ? (5 ? 5 ) ? 100,等号成立当且仅当 a ? b ? 2c ? 0 , 故 k 的最大值为 100 . 2a 2 b 2 c 24
A E M F · O B G N D C

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(2)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共 5 节课,如果第 1 节不排生物,最后 1 节 不排物理,那么不同的排课表的方法有__________种. 2、函数 f (x)的定义域为 D,若满足①f (x)在 D 内是单调函数,②存在[a, b]?D,使 f (x)在[a, b]上的值域 为[a, b],那么 y=f (x)叫做闭函数,现有 f ( x) ? 3、如图,在△ABC 中, cos

x ? 2 ? k 是闭函数,那么 k 的取值范围是_________

? C 2 5 ???? ??? , AH ? BC ? 0, AB ? (CA ? CB) ? 0 , ? 2 5

则过点 C,以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________ 4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合,并且正方形在圆的内部, 1 在圆上随机选一点,则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为 ,则该圆的半径为________ 2 5、 有一个正四棱锥, 它的底面边长与侧棱长均为 a , 现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸, 但可以折叠),那么包装纸的最小边长应为____________. 6、 若实数 a, b, x, y 满足 ax ? by ? 3, ax2 ? by 2 ? 7 ,ax3 ? by3 ? 16 ,ax4 ? by 4 ? 42 , ax5 ? by5 ? ________ 则 7、设对于任意满足

m ? 7 的自然数 m , n 有不等式 7 ? m 2 ? ? 恒成立,则 ? 的最大值为__________ n n2 n2

8、圆周上有 10 个等分点, 则以这 10 个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中, 梯形所占的比为_______

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.已知正实数 x, y ,设 a ? x ? y , b ? x2 ? 7xy ? y2 . (1)当 y ? 1 时,求 的取值范围;
(2)若以 a , b 为三角形的两边,第三条边长为 c 构成三角形,求
c2 的取值范围. xy

b a

2 10. 已知数列{an}: a1 ? 20, a2 ? 30, an?1 ? 3an ? an?1 . ⑴ 证明: an ? an?1an?1 ? ?500 (n ? 2) ⑵ 求出所有的正整数 n ,使得 5an?1an ? 1为完全平方数.

11. 设 a, b, c, d 为正实数,且 a ? b ? c ? d ? 4 .证明:

a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? 4 ? ( a ? b) 2 . b c d a

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(2)答案
1、由容斥原理知,有

5! 4! 3! ? 2 ? ? ? 39 种. 2 2 2

2、 x ? 2 ? k ? x 在[-2, +∞)有两不等实根. 设 x ? 2 ? t ?[0, ??) , g () ? 2? ?k ? 2 ?0 则 t t t ( ) [0, +∞)有两个不等实数根,则 ? ? 1 ? 4(k ? 2) ? 0 且 g (0) ? 0 解得 k ? ?

3、取 AB 的中点 D, 则 CA ? CB ? 2 AD , 由 AB ? (CA ? CB) ? 0 得 AB ? AD ? 0 , 即 AB ? AD . 故△ABC 的底边 AB 上的高线与中线重合. 从而△ABC 是等腰三角形. AC=BC. 由 AH ? BC ? 0 知,

??? ??? ? ?

????

? 9 , ?2??? 4 ??? ???? ?
2 tan





???? ??? ?

C 1 2? C 1 C 2 5 C 5 2 ? 2 ?4. AH ? BC . 由 cos ? , 知 sin ? , tan ? ,则 tan C ? C 1 2 2 2 5 2 5 1 ? tan 2 1 ? ( )2 3 2 2

AH 2 ? CH 2 =5. AH 4 ? ? 2. 故以 A、H 为两焦点的双曲线的离心率为 e ? AC ? CH 5 ? 3
在 Rt△ACH 中, 不妨设 CH=3, 则 AH=4, BC=AC= 4、在正方形相邻边所夹的劣弧上,可以看到完整的两条边。而由题设“可以看到正方形的两条完整的 1 4?2 2 边的概率为 ” ,可知延长正方形的边与圆的 8 个交点将圆周 8 等分.可以得到圆半径为 . 2 2 5、将正四棱锥的侧面向外展开到底面,则 4 个侧面三角形的顶点所构成的正方形即为最小正方形,

2? 6a . 2 3 3 3 3 6、因为 ax ? by ? 16 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 16( x ? y) .
边长为 所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by ) ? 16( x ? y) .即 42 ? 7 xy ? 16( x ? y) ??⑴
4 4 2 2

因为 ax ? by ? 7 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 7( x ? y) .
2 2 2 2

所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by) ? 7( x ? y) .即 16 ? 3xy ? 7( x ? y) ??⑵ 由⑴、⑵,解得 x ? y ? ?14 , xy ? ?38 .
3 3

又因为 ax ? by ? 42 ,所以 (ax ? by )( x ? y) ? 42( x ? y) .
4 4 4 4

2 2 7、 原不等式 ? 7n ? m ? ? . 7n ? 0 ? mod 7 ? , m ? 0,1, 2, 4 ? mod7 ? . ∴ ?max ? 3 .
2 2

所以 (ax ? by ) ? xy(ax ? by ) ? 42( x ? y) .所以 ax ? by ? 42( x ? y) ?16xy ? 20 . 注:用递归数列也可求解.
5 5 3 3 5 5

8、任选 4 点,共有 C10 ? 210 个凸四边形,其中梯形的两条平行边可以从 5 组平行于直径的 5 条平行
4

弦中选取,也可以从不平行于直径的 4 条平行弦中选取,除去矩形,梯形共有 60 个,所以,梯形所 占的比为

2. 7


9、解: (1)∵ x ? a ? 1 ,且 a ? x ? 1 ? 1

(a ? 1)2 ? 7(a ? 1) ? 1 b a 2 ? 5a ? 5 1 1 9 ? ? ? ?5( ? )2 ? a a a2 a 2 4 b 1 1 1 9 9 ? 3? 又 a ? x ? 1 ? 1 ? ? (0,1) , 结合二次函数的图像知 1 ? ?5( ? )2 ? ? ,故 的取值范围为 ? 1, ? a a a 2 4 4 ? 2?

b x2 ? 7 x ? 1 x2 ? 7 x ? 1 5x ? 2 ? 1? 2 另解: ? = 1? a x ?1 x ? 2x ? 1 x ? 2x ? 1

5 1 x?2? x

1 5 5 ? , ? x ? 2 ? ? 4,0 ? 1 4 x x?2? x

?1 ?
(2)设

b b 3 ? 3? ? ,得 的取值范围为 ? 1, ? a a 2 ? 2?
?c ? ( x ? y ) ? x 2 ? 7 xy ? y 2 c2 ? ? k ,则 c ? k ? xy ? ? 恒成立, , c ? x 2 ? 7 xy ? y 2 ? ( x ? y ) xy ? ?

? ( x ? y ) ? x 2 ? 7 xy ? y 2 ? x y x y ? k? ? ?2? ? ?7 ? k? xy y x y x ? ? 即 ? ,? 恒成立, x y x y x 2 ? 7 xy ? y 2 ? ( x ? y ) ? ? ? k? ? k ? y ? x ?7 ? y ? x ?2 xy ? ? x 1 1 1 令 ? t ,由于 y ? t ? 在 ?1, ?? ? 是增函数,令 f (t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 , y t t t
1 1 1 1 则 f (t ) ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ? 9 ? 4 ? 5 又 ? t ? ? 7 ? t ? ? 2 ? t t t t

5 1 1 t ? ?7 ? t ? ?2 t t

?1

?1 ? k ? 5,1 ? k ? 25 ,得

c2 的取值范围为 ?1, 25 ? xy

2 10、解 a1 ? 20, a2 ? 30, a3 ? 70, a4 ? 180. 我们用归纳法证明. an ? an?1an?1 ? ?500 ( n ? 2) (*)

(1)当 n ? 2 时,结论成立.
2 (2)假设当 n ? k ( k ? 2) 时,结论成立。即 ak ? ak ?1ak ?1 ? ?500. 2 2 又由于 ak ?1 ? 3ak ? ak ?1 . 代入上式可得: ak ? 3ak ak ?1 ? ak ?1 ? ?500 ??① . 2 2 2 则当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ak ak ?2 ? ak ?1 ? ak (3ak ?1 ? ak ) ? ak ?1 ? 3ak ak ?1 ? ak ? ?500(由①)

2

故当 n ? k ? 1 时,结论成立,即(*)式成立.
2 又 an?1 ? 3an ? an?1 可知: an?1 ? 3an an?1 ? an ? ?500. 2

则 5an?1an ? (an?1 ? an ) 2 ? 500, 5an?1an ? 1 ? (an?1 ? an ) 2 ? 501. 设 5an?1an ? 1 ? t (t ? N ). 则 t ? (an?1 ? an ) 2 ? 501. 知: [t ? (an?1 ? an )] ? (an?1 ? an ? t ) ? 501.
2 2

又 an?1 ? an ? N 且 501 ? 1 ? 501 ? 3 ? 167 故?

? a n ?1 ? a n ? t ? ?1 ? a n ?1 ? a n ? t ? ?3 或? a n ?1 ? a n ? t ? 501 ?a n ?1 ? a n ? t ? 167 ? 则当 n ? 3 时,满足条件.

故?

t ? 251 t ? 85 ? ? 或? (舍去) a n ?1 ? a n ? 250 ?a n ?1 ? a n ? 82 ?

11.证明 因为 a ? b ? c ? d ? 4 ,要证原不等式成立,等价于证明

a2 b2 c2 d 2 4(a ? b) 2 ? ? ? ? a?b?c?d ? ?? ① b c d a a?b?c?d a2 b2 c2 d 2 ? ? ? ? (a ? b ? c ? d ) 事实上, b c d a a2 b2 c2 d2 ? ( ? b ? 2a) ? ( ? c ? 2b) ? ( ? d ? 2c) ? ( ? a ? 2d ) b c d a 1 1 1 1 ? (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? d ) 2 ? (d ? a) 2 ??? ② b c d a 2 2 (a ? b) (b ? c) (c ? d ) 2 (d ? a) 2 ? ? ? ](a ? b ? c ? d ) 由柯西不等式知 [ b c d a

? (| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 又由 | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |?| b ? a | 知

????? ③

(| a ? b | ? | b ? c | ? | c ? d | ? | d ? a |) 2 ? 4(a ? b) 2 ????④
由②,③,④,可知①式成立,从而原不等式成立.

C D' E Q D A P B

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1、设 a, b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是 24·3·2· 那么这样的有序正整数对(a, b)有 3 7 11, 1 2、方程 16sinπxcosπx=16x+ 的解集合为 x 3、三棱锥 S ? ABC 是三条侧棱两两垂直的三棱锥, O 是底面 ?ABC 内的一点, 那么 W ? tan ?OSA ? tan ?OSB ? tan ?OSC 的最小值是______________
2 4、对任意 x, y ? R ,代数式 M ? 2 x ? 6 x ? 5 ?

_

组.

y 2 ? 4 y ? 5 ? 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 的最小值为________

5、计算: sin

?
2011

sin

2? 3? 2010? sin ? sin ? _______________ 2011 2011 2011

6、篮球场上有 5 个人在练球,其战术是由甲开始发球(第一次传球) ,经过六次传球跑动后(中途每人 的传球机会均等)回到甲,由甲投 3 分球,其中不同的传球方式为___________种. 7、对 ?x, y ? R ,函数 f ( x, y) 都满足:① f (0, y) ? y ? 1 ;② f ( x ? 1,0) ? f ( x,1) ; ③ f ( x ? 1, y ? 1) ? f ( x, f ( x ? 1, y)) ;则 f (3, 2011) ? __________________
2 n ?1

8、设 2n 个实数 a1 , a2 ,?, a2 n 满足条件

? (a
i ?1

i ?1

? ai )2 ? 1

则 ? ? (an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ) ? (a1 ? a2 ? ?? an ) 的最大值为________________

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) m m ?1 ? 2? 9.设由不超过 1000 的两个正整数组成的数对 (m, n) 满足条件: . n ?1 n 试求所有这样的数对 (m, n) 的个数.

10. P 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点,F1 , F2 是椭圆的焦点,PF1 , PF2 分别交椭圆与 A, B 两点,
求证:

x2

y2

| PF1 | | PF2 | ? 是定值. | F1 A | | F2 B |

11. 给定大于 2011 的正整数 n ,将 1, 2,3,?, n2 分别填入 n ? n 的棋盘的方格中,使每个方格恰有一个
数,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格内所填的数,且大于它所在列至少 2011 个方格内所填的数,则称这个方格为“优格” ,求棋盘中“优格”个数的最大值.

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案
1、设 a ? 2 ? 3 ? 7 3 ?11 4 , b ? 2 1 ? 3 2 ? 7 3 ?11 4 , 则有
?1 ?2 ? ? ? ? ? ?

{?1, ?1}max ? 4,{?2 , ?2}max ? 3,{?3 , ?3}max ? 2,{?4 , ?4}max ? 1 . 故有序正整数对(a, b)有 (2 ? 4 ? 1)(2 ? 3 ? 1)(2 ? 2 ? 1)(2 ?1 ? 1) =945 组.
1 1 2、当 x>0 时,16x+ ?8,(x= 取到等号)而 x 4 1 ,(x= +k, k∈Z 取到 4 1 1 等号), 于是有当 x>0 时,方程只有一个解 x= 。由于奇函数的性质,可知 x= 是方程的另一解。 4 4 1 1 故方程的解集合为{ , - } 4 4
2 2 2 2 2 2

3、解:由 cos ?OSA ? cos ?OSB ? cos ?OSC ? 1 , 得 sin ?OSC ? cos ?OSA ? cos ?OSB ? 2cos ?OSA ? cos ?OSB , 同理还有两个不等式,则 W? 2 2 . 4、 配方得 M ? 解:

( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ( x ? y ) 2 , A1 ( , , 0 ) C 2 ( ) ) ( Bxx , 设 ,,

y



点 A 关于直线 y ? x 的对称点为 A1 (2,1) ,关于 y 轴的对称点为 A2 (?1, 2) ,

2? 2? n ? i sin , 则 z1 是方程 z ? 1 的根, n n 2 n 则 1 ? z ? z 2 ? z n?1 ? ( z ? z1 )( z ? z1 )?( z ? z1 ?1 ) , ? 2? (n ? 1)? 2011 ? n ?| (1 ? z1 )(1 ? z12 ) ? (1 ? z1n ?1 ) |? 2 n ?1 sin sin ?sin ,令 n ? 2011 ,则原式= 2010 n n n 2 n?1 6、解:设经过 n 次传球跑动后回到甲的不同传球方式为 an ( n ?2) ,则 an ? an?1 ? 4 ,
5、解:设 z1 ? cos 所以 a6 ? (a6 ? a5 ) ? (a5 ? a4 ) ? ?? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 820
5 4 3 2

所以: M ?| AB | ? | AC | ? | BC |?| A B | ? | A2C | ? | BC | ? | A A2 |? 10 . 1 1

f (2, n) ? 2n ? 3 f (3, n) ? 2n?3 ? 3 . f (3, 2011) ? 22014 ? 3 8、解: 当 n ?2 时,令 x1 ? a1 , xi ?1 ? ai ?1 ? ai i ? 1, 2,3,?, 2n ?1
7、解:由①②③可推出 f (1, n) ? n ? 2
2 n ?1



?x
i ?2

2 i

? 1 , ai ? x1 ? x2 ? ? ? xi

所以: ? ? n( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? nxn?1 ? (n ? 1) xn?2 ? ?? x2n ? (nx1 ? (n ? 1) x2 ? ?? xn )

? x2 ? 2x3 ? ? ? (n ?1) xn ? nxn?1 ? (n ?1) xn?2 ? ?? x2n
? (12 ? 22 ? ? ? n2 ? ? ? 12 ) 9、解:由
2 n ?1 i ?2

? xi2 ?

n(2n2 ? 1) . 3

m m ?1 ? 2? n ?1 n

可得 2n ?1 ? m ? 2(n ?1)

对于每个 n ,在这个范围内的整数个数为 [ 2(n ? 1)] ? [ 2n ?1] ? [ 2(n ?1)] ? [ 2n] ?1 又 707 2 ? 1000 ? 708 2 , 则 n ?707, 但当 n ? 707 时, m ? 999,1000 所以:数对 (m, n) 的总数为
706

? ([
n ?1

706

2(n ? 1)] ? [ 2n] ? 1) ? 2

? ? ([ 2(n ? 1)] ? [ 2n]) ? 708
n ?1

? 708 ? [707 2] ? [ 2] ? 708 ? 999 ? 1 ? 1706

10、证明:如图, 由椭圆的定义知: | PP |? 1

| PF1 | , | F1M |? p , e

P

P1
M

| AA1 |?

| FA1 | 其中 e 为该椭圆的离心率, e

p 为该椭圆的焦准距.由相似形及和分比定理得: | PF1 | | AF1 | ? | AP | | AF1 | ? | F1P | e ? | PF1 | ? | AF1 | ? 2 | PF1 | ? ? e | AF1 | | AF1 | | AF1 | ep ? | AF1 | ep p? e | PF1 | 2 | PF1 | | PF2 | 2 | PF2 | 所以: ? ? 1 , 同理可得: ? ?1 | AF1 | ep | BF2 | ep

A1

A

F1

F2
B

| PF1 | | PF2 | 2 4a 4a 2 所以: ? ? (| PF1 | ? | PF2 |) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 为定值. | F1 A | | F2 B | ep ep b
11、解:定义一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格中所填的数,则称此格为行优的. 又每一行中填较小的 2011 个数的格子不是行优的,得到每行中有 n ? 2011 个格子为行优的. 另外,每一个“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数? n(n ? 2011) . 将棋盘的第 i (i ? 1, 2,3,?, n) 行第 i, i ? 1,?, i ? 2010 (大于 n 时, 取模 n 的余数) 列中的格子填入 “*” , 再将 1, 2,3,?, 2011n 填入有“*”的格子,其余的数填入没有“*”的格子.没有“*”的格子中填的数 大于有“*”的格子中填的数,所以,棋盘中没有“*”的格子都是“优格” ,共有 n(n ? 2011) 个. 容易验证这种填法满足条件,所以“优格”个数的最大值为 n(n ? 2011) 个. A

R D

Q

B P

C

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(4)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1、设 a, b 是两个正整数, 它们的最小公倍数是 24·3·2· 那么这样的有序正整数对(a, b)有 3 7 11, 1 2、方程 16sinπxcosπx=16x+ 的解集合为 x 3、三棱锥 S ? ABC 是三条侧棱两两垂直的三棱锥, O 是底面 ?ABC 内的一点, 那么 W ? tan ?OSA ? tan ?OSB ? tan ?OSC 的最小值是______________
2 4、对任意 x, y ? R ,代数式 M ? 2 x ? 6 x ? 5 ?

_

组.

y 2 ? 4 y ? 5 ? 2 x 2 ? 2 xy ? y 2 的最小值为________

5、计算: sin

?
2011

sin

2? 3? 2010? sin ? sin ? _______________ 2011 2011 2011

6、篮球场上有 5 个人在练球,其战术是由甲开始发球(第一次传球) ,经过六次传球跑动后(中途每人 的传球机会均等)回到甲,由甲投 3 分球,其中不同的传球方式为___________种. 7、对 ?x, y ? R ,函数 f ( x, y) 都满足:① f (0, y) ? y ? 1 ;② f ( x ? 1,0) ? f ( x,1) ; ③ f ( x ? 1, y ? 1) ? f ( x, f ( x ? 1, y)) ;则 f (3, 2011) ? __________________
2 n ?1

8、设 2n 个实数 a1 , a2 ,?, a2 n 满足条件

? (a
i ?1

i ?1

? ai )2 ? 1

则 ? ? (an?1 ? an?2 ? ? ? a2n ) ? (a1 ? a2 ? ?? an ) 的最大值为________________

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) m m ?1 ? 2? 9.设由不超过 1000 的两个正整数组成的数对 (m, n) 满足条件: . n ?1 n 试求所有这样的数对 (m, n) 的个数.

10. P 是椭圆a2+b2=1(a>b>0)上任意一点,F1 , F2 是椭圆的焦点,PF1 , PF2 分别交椭圆与 A, B 两点,
求证:

x2

y2

| PF1 | | PF2 | ? 是定值. | F1 A | | F2 B |

11. 给定大于 2011 的正整数 n ,将 1, 2,3,?, n2 分别填入 n ? n 的棋盘的方格中,使每个方格恰有一个
数,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格内所填的数,且大于它所在列至少 2011 个方格内所填的数,则称这个方格为“优格” ,求棋盘中“优格”个数的最大值.

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(4)答案
1、设 a ? 2 ? 3 ? 7 3 ?11 4 , b ? 2 1 ? 3 2 ? 7 3 ?11 4 , 则有
?1 ?2 ? ? ? ? ? ?

{?1, ?1}max ? 4,{?2 , ?2}max ? 3,{?3 , ?3}max ? 2,{?4 , ?4}max ? 1 . 故有序正整数对(a, b)有 (2 ? 4 ? 1)(2 ? 3 ? 1)(2 ? 2 ? 1)(2 ?1 ? 1) =945 组.
1 1 2、当 x>0 时,16x+ ?8,(x= 取到等号)而 x 4 1 ,(x= +k, k∈Z 取到 4 1 1 等号), 于是有当 x>0 时,方程只有一个解 x= 。由于奇函数的性质,可知 x= 是方程的另一解。 4 4 1 1 故方程的解集合为{ , - } 4 4
2 2 2 2 2 2

3、解:由 cos ?OSA ? cos ?OSB ? cos ?OSC ? 1 , 得 sin ?OSC ? cos ?OSA ? cos ?OSB ? 2cos ?OSA ? cos ?OSB , 同理还有两个不等式,则 W? 2 2 . 4、 配方得 M ? 解:

( x ? 1) 2 ? ( x ? 2) 2 ? 1 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ( x ? y ) 2 , A1 ( , , 0 ) C 2 ( ) ) ( Bxx , 设 ,,

y



点 A 关于直线 y ? x 的对称点为 A1 (2,1) ,关于 y 轴的对称点为 A2 (?1, 2) ,

2? 2? n ? i sin , 则 z1 是方程 z ? 1 的根, n n 2 n 则 1 ? z ? z 2 ? z n?1 ? ( z ? z1 )( z ? z1 )?( z ? z1 ?1 ) , ? 2? (n ? 1)? 2011 ? n ?| (1 ? z1 )(1 ? z12 ) ? (1 ? z1n ?1 ) |? 2 n ?1 sin sin ?sin ,令 n ? 2011 ,则原式= 2010 n n n 2 n?1 6、解:设经过 n 次传球跑动后回到甲的不同传球方式为 an ( n ?2) ,则 an ? an?1 ? 4 ,
5、解:设 z1 ? cos 所以 a6 ? (a6 ? a5 ) ? (a5 ? a4 ) ? ?? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 820
5 4 3 2

所以: M ?| AB | ? | AC | ? | BC |?| A B | ? | A2C | ? | BC | ? | A A2 |? 10 . 1 1

f (2, n) ? 2n ? 3 f (3, n) ? 2n?3 ? 3 . f (3, 2011) ? 22014 ? 3 8、解: 当 n ?2 时,令 x1 ? a1 , xi ?1 ? ai ?1 ? ai i ? 1, 2,3,?, 2n ?1
7、解:由①②③可推出 f (1, n) ? n ? 2
2 n ?1



?x
i ?2

2 i

? 1 , ai ? x1 ? x2 ? ? ? xi

所以: ? ? n( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? nxn?1 ? (n ? 1) xn?2 ? ?? x2n ? (nx1 ? (n ? 1) x2 ? ?? xn )

? x2 ? 2x3 ? ? ? (n ?1) xn ? nxn?1 ? (n ?1) xn?2 ? ?? x2n
? (12 ? 22 ? ? ? n2 ? ? ? 12 ) 9、解:由
2 n ?1 i ?2

? xi2 ?

n(2n2 ? 1) . 3

m m ?1 ? 2? n ?1 n

可得 2n ?1 ? m ? 2(n ?1)

对于每个 n ,在这个范围内的整数个数为 [ 2(n ? 1)] ? [ 2n ?1] ? [ 2(n ?1)] ? [ 2n] ?1 又 707 2 ? 1000 ? 708 2 , 则 n ?707, 但当 n ? 707 时, m ? 999,1000 所以:数对 (m, n) 的总数为
706

? ([
n ?1

706

2(n ? 1)] ? [ 2n] ? 1) ? 2

? ? ([ 2(n ? 1)] ? [ 2n]) ? 708
n ?1

? 708 ? [707 2] ? [ 2] ? 708 ? 999 ? 1 ? 1706

10、证明:如图, 由椭圆的定义知: | PP |? 1

| PF1 | , | F1M |? p , e

P

P1
M

| AA1 |?

| FA1 | 其中 e 为该椭圆的离心率, e

p 为该椭圆的焦准距.由相似形及和分比定理得: | PF1 | | AF1 | ? | AP | | AF1 | ? | F1P | e ? | PF1 | ? | AF1 | ? 2 | PF1 | ? ? e | AF1 | | AF1 | | AF1 | ep ? | AF1 | ep p? e | PF1 | 2 | PF1 | | PF2 | 2 | PF2 | 所以: ? ? 1 , 同理可得: ? ?1 | AF1 | ep | BF2 | ep

A1

A

F1

F2
B

| PF1 | | PF2 | 2 4a 4a 2 所以: ? ? (| PF1 | ? | PF2 |) ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 为定值. | F1 A | | F2 B | ep ep b
11、解:定义一个方格中填的数大于它所在行至少 2011 个方格中所填的数,则称此格为行优的. 又每一行中填较小的 2011 个数的格子不是行优的,得到每行中有 n ? 2011 个格子为行优的. 另外,每一个“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数? n(n ? 2011) . 将棋盘的第 i (i ? 1, 2,3,?, n) 行第 i, i ? 1,?, i ? 2010 (大于 n 时, 取模 n 的余数) 列中的格子填入 “*” , 再将 1, 2,3,?, 2011n 填入有“*”的格子,其余的数填入没有“*”的格子.没有“*”的格子中填的数 大于有“*”的格子中填的数,所以,棋盘中没有“*”的格子都是“优格” ,共有 n(n ? 2011) 个. 容易验证这种填法满足条件,所以“优格”个数的最大值为 n(n ? 2011) 个. A

R D

Q

B P

C

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(5)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)__________
1. 正八边形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 边长为 1,任取两点 Ai A j ,则 Ai A j ? A1 A2 最大值为__________ 2. 若 f ( x) ?
2007 k ?0

? (?1) C
k

(3 ? x) k ? 2007
k

2007 i ?0

?a x
i

2007 ?i

2007

,则

?a
k ?1

k

=_________

3. 若关于 x 的方程 x 2 ? (a 2 ? b 2 ? 6b) x ? a 2 ? b 2 ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 的两个实数根 x1 , x 2 满足 x2 y2 4. 设 P 双曲线 2- 2=1 右支上一动点,过 P 向两条渐近线作垂线,垂足分别为点 A, B ,若点 A, B 始 a b 终在第一、第四象限内,则双曲线离心率 e 的取值范围是___________. 5. 对于实数 x ,?x ? 表示不超过 x 的最大整数。 对于某个整数 k , 恰存在 2008 个正整数 n1 , n2 ,?, n2008 , 满足 k ?

x1 ? 0 ? x2 ? 1, 则 a 2 ? b 2 ? 4a ? 4 的最小值为______________, 最大值分别为____________

? n ? ? ? n ? ? ? ? ? n ? ,并且 k 整除 n (i ? 1,2,?2008) ,则 k =___________.
3 1 3 2 3 2008
i

6. A、 两队进行乒乓球团体对抗赛, B 每队各三名队员, 每名队员出场一次。 队的三名队员是 A1 , A2 , A3 , A i B 队三名队员是 B1, B2, B3,, Ai 对 B j 的胜率为 (1?i, j?3), 队得分期望的最大可能值是________. 且 A i+j 7. △ABC 的三边长分别为 13, 14, 15, 有 4 个半径同为 r 的圆 O, O1, O2, O3 放在△ABC 内,并且⊙O1 与 边 AB、AC 相切,⊙O2 与边 BA、BC 相切,⊙O3 与边 CB、CA 相切,⊙O 与⊙O1, O2, O3 相切, 则 r =_________. 8. 设 a , b 都是正整数,且 a ? b 2 ? 1 ? 2

?
n

?

100

,则 ab 的个位数字是__________

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 1 9.已知:实数 ai (i ? 1,2,?, n) 满足 a ? (i ? 1, 2,?, n) ,证明: i 1 1 2 (a ? 1)(a ? )?(a ? ) ? (1 ? a ? 2a ? ? ? na ) 2 n (n ? 1)!
i

1

2

n

1

2

n

2 10. 已知数列 {an } 由 a ? , a ? a ? a ? ? a ,(n ? N ) 确定, 若对于任意 n ? N * , 3 1 1 1 ? ?? ? M 恒成立。求 M 得最小值。 a ?1 a ?1 a ?1
2 2 2 * 1 n ?1 n n ?1 1

1

2

n

x2 y2 11. 在双曲线 C:4 - 5 =1 中, F1 , F2 分别为双曲线 C 的左右两个焦点,P 为双曲线上且在第一象限内 的点, ?PF F2 的重心为 G,内心为 I. (1) 是否存在一点 P, 使得 IG|| F1F2 ; 1 (2) 已知 A 为双曲线 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F2 与双曲线 C 交于 M,N 两点,若 AM,AN 的斜 1 率 k1 , k2 满足 k1 ? k2 ? - ,求直线 l 的方程. 2

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(5)答案
1、解:根据向量内积的几何意义,只要看向量在 A1 A2 方向上的投影即可。最大值为 2+1 2、令 x ? 1 得
2007 2007 k ?0

? ak = ? (?1) k C 2007 2 k = ?C 2007 (?2) k ? (1 ? 2) 2007 ? ?1 ,
k k k ?0 k ?0 k

2007

2007

又 a0 为

? (?1) C
k ?0

(3 ? x) k 展开式中最高次项的系数 ? 1 ,则 ? ak ? ?2 2007
k k ?1

2007

3、解:设 f ( x) ? x 2 ? (a 2 ? b 2 ? 6b) x ? a 2 ? b 2 ? 2a ? 4b ? 1 ? 0 ,则 f (0) ? 0, f (1) ? 0 ,整理得

(a ? 1) 2 ? (b ? 2) 2 ? 4 ,且 a ? b ? 1 ? 0 ,在以 a, b 分别为横轴和纵轴的坐标系中画出上面两个不等 式所表示的规划区域。则 a 2 ? b 2 ? 4a ? 4 ? (a ? 2) 2 ? b 2 ,点 (?2,0) 到规划区域最小值即为到直线
a ? b ? 1 ? 0 的距离
1 1 2 2 ,则 a ? b ? 4a ? 4 的最小值为距离的平方 ;点 (?2,0) 到规划区域最大值 2 2

2 2 为 (?2,0) 的圆心 (?1,2) 的距离与半径 2 的和 5 ? 2 ,则 a ? b ? 4a ? 4 的最大值为 ( 5 ? 2) 2 = 9 ? 4 5

4、解:由对称性,我们只讨论 A 在第一象限情形.设 P( x0 , y0 ) , A( x A , y A ) ,则直线 PA 的方程为

a b b a a b y ? y 0 ? ? ( x ? x0 ) ,与 y ? x 联立,得: ( ? ) x A ? x0 ? y 0 ? 0 ? x0 ? ? y 0 . b a a b b a 2 2 b 2 2 2 x0 若 P 在第一象限显然满足,若 P 在第四象限或坐标轴上,则 y 0 ? 0 ? 2 x0 ? y 0 ? b ( 2 ? 1) , a a 2 2 2 2 a b a b 2 2 所以 ( 2 ? 2 ) x0 ? ?b ,只须 2 ? 2 ? 0,? a ? b,1 ? e ? 2 b a b a 3 3 3 3 5、解:若 n ? 1 ? k ? n ,则 k ? n, (k ? 1) ? n ,满足 k 整除 n ,则 n 可取

, k 3 , k 3 ? k ,?k 3 ? 3k 2 ? 3k ,共 3k ? 4 个,所以 3k ? 4 ? 2008 k ? 668 91 6、解:讨论可知, A1 : B3 ; A2 : B1 ; A3 : B2 ,最大期望 E? ? 60 7、解:不妨设 a ? 13, b ? 14, c ? 15 。可知 ?ABC 与 ?O1O2 O3 相似,且 O 为 ?O1O2 O3 的外心, 5 12 外接圆半径为 2 r ,则 cos ?O1O3 O2 ? cos C ? , sin ?O1O3 O2 ? ,由正弦定理 13 13 48r 3 4 33 56 O1O2 ? 4r sin ?O1O3O2 ? ,sin B ? ,同理可得 cos A ? , sin A ? , cos B ? , 13 5 5 65 65 48r 15r 260 A B 1 ? cos A 1 ? cos B 15 ? 15 ? ?r ? 15 ? r ,所以 又 O1O2 ? 15 ? r cot ? r cot = 15 ? r ,r ? 13 4 129 2 2 sin A sin B 4 100 100 100 1? 1? 2 ? 1? 2 ? , 8、由二项式定理: a ? b 2 ? 1 ? 2 ,a ? ? ? ? 2? 100 100 200 200 1 ? 1 ? ? b? 1? 2 ? 1 ? 2 ? ,故 ab ? 1? 2 ? 1? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2? 4 2? 100 100 n n 1 ? 1 ? ? 3? 2 2 ? 3 ? 2 2 ? ,设 xn ? 3? 2 2 ? 3? 2 2 ? , ? ? ? ? ? ? 4 2? 4 2?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

n n n ?1 n ?1 ? xy x n ? 2 ? y n ? 2 得: 则 x1 ? 1, x2 ? 6 ,由恒等式 x ? y ? ? x ? y ? x ? y

?

?

?

?

0,?,所以 xn ? 6 ≡ xn ? mod10? , x100 ≡ x6?16?4 ≡ x4 ? 4 ? mod10?

xn ? 6xn?1 ? xn?2 ? n ? 3? , ?xn ? 的个位数字依次为 1,6,5,4,9,0,1,6,5,4,9,

9、证明:原不等式等价于 (n ? 1)(a1 ? 1)(2a2 ? 1)?(nan ? 1) ? 2 n (1 ? a1 ? 2a2 ? ?nan ) , 设 xi ? iai ? 1, (i ? 1,2,?n) ,则 xi ? 2, (i ? 1,2,?n) ,原不等式即为

n ? 1 x1 ? x2 ? ? ? xn ? (n ? 1) (*) ? x1 x2 ? xn 2n x ? x ? ? ? xn ? (n ? 1) 1? 2 3 x1 若令 x2 , x3 ,?, xn 不变,则(*)式右边为 ,由 xi ? 2, (i ? 1,2,?n) 知 x1 ? 2 时 x 2 x3 ? x n n ?1 (*)式右边取最大值。同理知 xi ? 2, (i ? 1,2,?n) 时,(*)式右边取最大值为 n ,即原不等式成立 2 4 12 1 1 2 2 10、解:由题可知 n ? 2 时, an?1 ? an ? an ,又 a 2 ? a1 ? ? ( ) ? ,不妨设 b1 ? , bn ? a n (n ? 2) , 9 3 3 3 2 b b b ?b 1 1 1 2 则 bn?1 ? bn ? bn (n ? N * ) ,∴ ? n ? n ? n?1 n ? ? bn ? 1 bn?1 bn?1bn bn?1bn bn bn?1 3b ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ??? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ? 3? ? n?1 b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 b1 b2 b2 b3 bn bn?1 bn?1 bn?1 3b ? 1 3 57 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 则 = = n?1 ? ?? ? ??? ? ? a1 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 bn ? 1 1 ? a1 1 ? b1 bn?1 20 20 bn?1 57 1 2 2 易知 bn ?1 为正数,且 bn ?1 ? bn ? bn ? b1 ? , n 趋于无穷大时, bn ?1 趋于无穷大,则 M 的最小值为 20 9 x0 y0 11、解:(1)假设存在点 P 坐标为 ( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,而 G 为 ?PF F2 的重心, 故 G ( , ) . 1 3 3 而 I 为 ?PF F2 的内心, 设 ?PF F2 的内切圆半径为 r , 则 1 1 1 1 1 1 S?PF1F2 ? | F1 F2 | ? | y0 |? (| PF1 | ? | PF2 | ? | F1F2 |) ? r , 于是 ? 2c? | y0 |? (| PF1 | ? | PF2 | ?2c) ? r . 2 2 2 2 2cy0 2cy0 y0 . 由 IG∥ F1F2 知, r? ? , 即 | PF1 | ? | PF2 |? 4c . | PF1 | ? | PF2 | ?2c | PF1 | ? | PF2 | ?2c 3 c 又 a ? 2 , e ? . 由焦半径公式知, | PF |? ex0 ? a,| PF2 |? ex0 ? a , 则 | PF | ? | PF2 |? 2ex0 . 1 1 a x2 y2 2c 2 ? 3 故 2ex0 ? 4c , 即 x0 ? ? ? 4 . 又点 P ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 在双曲线上, 则 0 ? 0 ? 1. 3 4 5 e 2 解得 y0 ? 15 (舍负). 故存在 P(4, 15) , 使得 IG∥ F1F2 . (2) 若直线 l 斜率不存在, 显然 k1 ? k2 ? 0 不合题意. 若直线 l 斜率存在, 设过 F2 (3,0) 的直线方程
(n ? 1) x1 x2 ?xn ? 2n ( x1 ? x2 ? ? ? xn ? n ? 1) ,等价于
为 y ? k ( x ? 3) , 直线和椭圆交于 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .将 y ? k ( x ? 3) 代入 5x ? 4 y ? 20 中,
2 2

? 24k 2 x1 ? x2 ? 2 , ? ? 4k ? 5 2 2 2 2 得到 (5 ? 4k ) x ? 24k x ? 36k ? 20 ? 0 . 由韦达定理可知: ? 2 ? x x ? 36k ? 20 . ? 1 2 4k 2 ? 5 ? y1 y x ? 3 x2 ? 3 1 1 ? 2 ? k( 1 ? ) ? k[2 ? 5( ? )] , 又 k AM ? k AN ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2



x1 ? x2 ? 4 1 1 24k 2 ? 4(4k 2 ? 5) 2k 2 ? 1 , ? ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 36k 2 ? 20 ? 48k 2 ? 4(4k 2 ? 5) 5k 2
2k 2 ? 1 1 1 ) ? ? ? , 即 k ? ?2 . 故所求直线 l 的方程为 y ? ?2( x ? 3) . 2 5k k 2

从而 k AM ? k AN ? k (2 ? 5 ?

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 1.函数 y ? 5 x ?1 ? 10 ? 2 x 的最大值是 _______
2.青蛙在正六边形 ABCDEF 上 A 点处,每次向相邻顶点跳跃.到达 D 点或者跳满五次则停止.不同跳跃 方式有____________种. 3.设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , f (0) ? 1, f (1) ? 1, f (?1) ? 1, 则 f (2) 的最大值为 ___________ 4.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? an ?

n ?1 , n ? 1, 2,? ,则通项 an = n(n ? 1)

______

x2 y2 5. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与直线 x ? y ? 1 交于 M, N 两点, 且 OM ? ON ( O 为原点), 当椭圆的离 a b 3 2 心率 e∈[ , ]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________ 3 2 6.对于每个大于等于 2 的整数 n ,令 f (n) 表示 sin nx ? sin x 在区间 [0, ? ] 上不同解的个数,

g (n) 表示 cosnx ? cos x 在区间 [0, ? ] 上不同解的个数,则 ? ( g (n) ? f (n)) =____________
n?2

2007

7.在平面直角坐标系中,定义点 P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为 d(P, Q)=|x1-x2|+|y1-y2| 若 C(x, y)到点 A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等,其中实数 x, y 满足 0?x?10, 0?y?10, 则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为 _________

8.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) a ?b?c 2 ) ? 0 ,求证:-1 与 1 中至少有 9.已知 a, b, c 是实数, 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 满足 f ( 2a 一个是 f ( x) ? 0 的根.
10.设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ?

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

b n ?1 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , an ? n ?1 ? 1 . 2
x2 ? y 2 ? 1 ,过定点 C (1,0) 两条互相垂直的动直线分别椭交圆于 P, Q 两点。 F1 , F2 分别 2 为左右焦点, O 为坐标原点。 (1)求向量 | PF ? PF2 | 的最小值; 1

11.已知椭圆

(2)当向量 PF ? PF2 与 QF ? QF2 互相垂直时,求 P, Q 两点所在直线的斜率。 1 1

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案
1、函数的定义域为[1, 5],且 y>0, y ? 5 x ?1 ? 2 ? 5 ? x

? 52 ? ( 2 ) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( 5 ? x ) 2 ? 27 ? 4 ? 6 3
127 当且仅当 2 ? x ?1 ? 5 5 ? x ,等号成立,即 x= 时函数取最大值 6 3 27 2、 跳 5 步共有 32 种,其中包含 3 步跳到 D 的两种情形,应减去 8 种, 所以满足条件的 5 步跳有 24 种。在加上 2 种 3 步跳,共 26 种。

3、 f ? 2 ? ? 4a ? 2b ? c ? 3 ? a ? b ? c ? ? ? a ? b ? c ? ? 3c ? 3 f ?1? ? f ? ?1? ? 3 f ? 0 ? ? 3 f ?1? ? f ? ?1? ? 3 f ? 0 ?

? 3 ? 1 ? 3 ? 7 , 当 f ? x ? ? ?2x2 ? 1时, f ? 2? ? 7
4. an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ?

n n ?1 n?2?2 1 1 ? an ?1 ? ? an ,即 2 a n ?1 ? ? ? ? an (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n(n ? 1) ?2 1 1 1 = ,由此得 2 (a n ?1 ? . ? an ? ) ? an ? (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

令 bn ? an ?

1 1 1 1 1 1 1 , b1 ? a1 ? ? ( a1 ? 0 ),有 bn ?1 ? bn ,故 bn ? n ,所以 a n ? n ? . 2 2 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) 2


? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 2 2 2 5. 由 ? a 2 b 2 ,可得 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 ?x ? y ? 1 ?

由 OM ? ON 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 , 将 x1 ? x2 ? ?

2a 2 , a 2 ? b2

a 2 ? a 2b 2 1 1 1 1 3 c 2 x1 x2 ? 2 代入得 2 ? 2 ? 2 , 即 2 ? 2 ? 2 , 因为 , 得 ? ? 2 a b b a a ?b 3 a 2 1 b2 1 1 b2 2 3 1 ? 1 ? 2 ? , 得 ? 2 ? , 有 ? a 2 ? (2 ? 2 ) ? 2 , 解得 5 ? 2a ? 6 . 2 a 3 a 2 2 a 3 2k ? 1 2k ? 或x ? ? , x ? [0, ? ] , 6、 sin nx ? sin x 得:nx ? 2k? ? x 或 2k? ? ? ? x , x ? 由 即 又 n ?1 n ?1 n n ?1 2k ? 1 2m * ?? ?, 则0 ? k ? 或0 ? k ? ; 但两组取值可能重复。 若 讨论得: ? 4t ? 1, t ? N n 2 2 n ?1 n ?1 2k 2k n ?1 n ?1 ? 或x ? ? ,0 ? k ? 时重复一组。同理对于 cosnx ? cos x , x ? 或0 ? k ? , n ?1 n ?1 2 2 n ?1 为公共部分, n 为奇数时, n ? 2t ? 1, t ? N * 时重复一组。比较两种解的取值知, 0 ? k ? 2 n ?1 n * 0?k ? 比 0 ? k ? 多一组解,但 g (n) 当 n ? 2t ? 1, t ? N 时重复一组。 2 2 f (n) 只当 n ? 4t ? 1, t ? N * 时重复一组。实质只有当 n ? 4t ? 1, t ? N * 时, g (n) 比 f (n) 多 1 个解, 2007 2005 ? 5 ? 1 ? 501 。 其余情况解相同。所以 ? ( g (n) ? f (n)) = 4 n?2 7. 由条件得 | x ? 1| ? | y ? 3 |?| x ? 6 | ? | y ? 9 | --------① 当 y?9 时,①化为 | x ? 1| ?6 ?| x ? 6 | ,无解; 当 y?3 时,①化为 | x ? 1|? 6? | x ? 6 | ,无解; 当 3?y?9 时,①化为 2 y ? 12 ?| x ? 6 | ? | x ? 1| -------②
若 x?1,则 y=8.5,线段长度为1;若 1?x?6,则 x+y=9.5,线段长度为 5 2;若 x?6, 则 y=3.5,线段长度为4.综上可知,点 C 的轨迹的构成的线段长度之和为 1+5 2+4=5( 2+1)

8. 如答图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面 ABC ,与小球相切于点 D ,则小球球心 O 为正四面体

P ? A1 B1C1的中心, PO ? 面A1B1C1 ,垂足 D 为 A1 B1C1 的中心. 1 1 因 VP ? A B C ? S ?A B C ? PD ? 4 ?VO? A B C ? 4 ? ? S ?A B C ? OD , 1 1 1 3 3 故 PD ? 4OD ? 4r ,从而 PO ? PD ? OD ? 4r ? r ? 3r . 记此时小球与面 PAB 的切点为 P1 ,连接 OP ,则 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1

PP ? PO 2 ? OP 2 ? (3r ) 2 ? r 2 ? 2 2r . 1 1

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 PAB )相切时的情况, 易知小球在面 PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形, 答图 1 记为 P EF ,如答图 2.记正四面体的棱长为 a ,过 P1 作 PM ? PA 于 M . 1 1

3 ? 6r , 6 2 故小三角形的边长 PE ? PA ? 2PM ? a ? 2 6r . 1 小球与面 PAB 不能接触到的部分的面积为(如答图 2 中阴影部分) 3 2 2 S?PAB ? S?PEF ? (a ? (a ? 2 6r )2 ) ? 3 2ar ? 6 3r . 1 4 又 r ? 1 , a ? 4 6 ,所以 S?PAB ? S?P EF ? 24 3 ? 6 3 ? 18 3 . 1
因 ?MPP ? 1 ,有 PM ? PP ? cos MPP ? 2 2r ? 1 1 由对称性,且正四面体共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 答图 2

?

a ?b?c ) ? 0 知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 有零点,若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 只有唯 2a a ?b?c b 2 2 ?? , 一的零点, 则这个零点就是抛物线的顶点, 有 解得 a ? c , ? ? 0 , b ? 4a ? 0 , 由 有 2a 2a b ?2a ? ? ?1 , 则 b ? ?2a , 故抛物线的顶点横坐标为 x ? ? 所以 ?1 与 1 中至少有一个是 f ( x) ? 0 的根。 2a 2a 2 若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 有两个不同的零点,因为:
9、由 f (

? a ? b ? c ? ? 2b ? a ? b ? c ? ? 4ac ? a ? b ? c ? a ?a ? b ? c? b ?a ? b ? c? f? ? ?c ? ?? 2 4a 4a 2a ? 2a ? 2 2 ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? 2b ? ? 4ac ? a ? c ? ? b2 ? 4ac ? a ? c ? ? b2 ? ? ? 4a 4a 4a ? a ? b ? c ?? a ? b ? C ? ? f ? ?1? f ?1? ? 0 ? ,所以 f ? ?1? ? 0 或 f ?1? ? 0 4a 4a 故 ?1 与 1 中至少有一个是 f ? x ? ? 0 的根。 nban ?1 a ban ?1 n 2 n ?1 1 10、解:∵ an ? ,∴ n ? ,∴ ? ? ? n an ?1 ? 2n ? 2 an b an?1 b an ?1 ? 2n ? 2 n n ?1 1 n 1 1 ① 当 b ? 2 时, ? ? ,∴ ? ? (n ? 1) ? ,即 an ? 2 an an ?1 2 an 2 2 n 1 2 n ?1 1 n 1 2 ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, ? ? ( ? ) ,当 n ? 1 时, ? ? an 2 ? b b an?1 2 ? b an 2 ? b b(2 ? b) 2 2 n 1 1 2 n 1 ∴{ ? 为首项, 为公比的等比数列, ∴ } 是以 ? ? ? ( )n b b(2 ? b) an 2 ? b 2 ? b b an 2 ? b
2
2



n(2 ? b)b n n 2n 1 2n ? b n ,∴ an ? ? ? ? 2n ? b n an (2 ? b)bn 2 ? b (2 ? b)bn

? n(2 ? b)b n 综上所述 a ? ? 2n ? b n ,  b ? 0且b ? 2 ? n ?2,   b ? 2    ?

(2)方法一:证明:① 当 b ? 2 时, an ?

b n ?1 ?1 ? 2 ; 2n ?1 ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时, 2n ? bn ? (2 ? b)(2n?1 ? 2n?2 b ? ? ? 2bn?2 ? bn?1 )

an ?

n ? bn n ? bn ? ? 2n?1 ? 2n?2 b ? ? ? 2bn?2 ? bn?1 n n 21?2???( n?1) ? b1? 2???( n?1)
bn ? b 2
n ?1 2 n ?1 2

bn
n

2

n ( n?1) 2

?b

n ( n ?1) 2

? 2

n ?1 2

?b

n ?1 2

?

b n ?1 2n ?1

?

b n ?1 ? 2n ?1 2 b n ?1 ? 2n ?1 b n ?1 ? 2n ?1 bn?1 ? ? ? n?1 ? 1 2 2n ?1 2n ?1 2n ?1

b n ?1 ?1. 2n ?1 b n ?1 b ? 2 时, an ? n ?1 ? 1 ? 2 ; 方法二:证明:① 当 2 b n ?1 nb n (2 ? b) b n ?1 ? n ?1 ? 1 , ② 当 b ? 0 且 b ? 2 时,要证 an ? n ?1 ? 1 ,只需证 2n ? b n 2 2 n(2 ? b) b 1 n b 1 ? n ?1 ? n ,即证 n ?1 ? n ?1 ? n 即证 n n n?2 n?2 n ?1 2 ?b 2 b 2 ? 2 b ? ? ? 2b ? b 2 b b 1 n ?1 n?2 n?2 n ?1 即证 ( n ?1 ? n )(2 ? 2 b ? ? ? 2b ? b ) ? n 2 b b b2 b n ?1 b n 2n ?1 2n ?2 2 1 即证 ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) ? ( n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ) ? n 2 2 2 2 b b b b 2 n ?1 n n ?1 n?2 b b b b 2 2 2 1 ∵ ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) ? ( n ? n ?1 ? ? ? 2 ? ) 2 2 2 2 b b b b 2 n ?1 n?2 n b 1 b 2 b 2 b 2n ?1 ? ( 2 ? ) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( n ? n?1 ) ? ( n?1 ? n ) 2 b 2 b 2 b 2 b
∴对于一切正整数 n , an ?

b 1 b2 2 bn?1 2n?2 bn 2n?1 ? ? 2 3 ? 2 ??? 2 ? n?1 ? 2 n?1 ? n ? n , 22 b 2 b 2n b 2 b n ?1 b ∴原不等式成立。∴对于一切正整数 n , an ? n ?1 ? 1 . 2 11、解: (1) PF ? PF2 ? 2PO ,所以 | PF ? PF2 | =2 | PO | .即最小值为 2b ? 2. 1 1 当 P 点位于短轴上顶点时,取等号. ?2
(2) PF ? PF2 ? 2PO , QF ? QF2 ? 2QO ,所以 PO 与 QO 互相垂直,则线段 PQ 为直角 ?POQ 1 1 与直角 ?PCQ 公共斜边。设线段 PQ 中点为 M ,则 MC ? MO ,即 xP ? xQ ? 2xM ? xC ? 1 设直线 PQ 方程为 y ? kx ? b ,与 ①

x ? y 2 ? 1 联立得: 2 2 2 2 (1 ? 2k ) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0 ,由①得: 1 ? 2k 2 ? 4kb ? 0

2



又由 PO 与 QO 互相垂直知 即 (2 ?

y P yQ x2 x2 y ? kx 2 ? y 2 ? 1 合成得: ? y 2 ? ( ) , ? ? ?1 ③ 直线 PQ 与 2 2 b x P xQ

2 y 2 4k y 2k 2 2 2k 2 2 10 ? 5 )( ) ? ? ? 1 ? 2 ? 0 ,由③得 (2 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? 0 ④,由②与④解得 k ? ? 2 b x b x b b b 10

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(7)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)__________ 1. 集合 A ? {x 2a ?1 ? x ? 3a ? 5} , B ? {x 3 ? x ? 33}, A ? ( A ? B) , 则 a 的取值范围是___________
2. 某人投两次骰子, 先后得到点数 m, n , 用来作为一元二次方程 x ? mx ? n ? 0 的系数, 则使方程有 实根的概率为______________ F E 3. 过四面体 ABCD 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 ABCD 的外接球相切
2

于点 D ,且与平面 ABC 相切。若 AD ? 2 3, ?BAD ? ?CAD ? 45?, ?BAC ? 60? , A 则四面体 ABCD 的外接球的半径 r =________ 4. 如图, M , N 分别为正六边形 ABCDEF 的对角线 AC,CE 的内分点, AM CN 且 = =λ, 若 B,M,N 三点共线,则 ? =______________ AC CE

N M B C

D

5. 已知 f ( x) ? x2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b 是偶函数,则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最大值是 1 6. 对所有的实数 x 及 1 ? t ? 2 均有 ( x ? t 2 ? 2)2 ? ( x ? at )2 > , 则实数 a 的取值范围是 ______ . 8 7. 定义“n 次幂平均三角形”:如果△ABC 的三边满足等式: b ? (

an ? cn 1 ) n ( n ? Z ), 则称△ABC 为 2
______ .

“n 次幂平均三角形”. 如果△ABC 为“3 次幂平均三角形”, 则角 B 的最大值是

8. 设 u , v, w 为复数, 其中 w ? a ? bi a, b ? 3, a ? b ? 25 , u ? w ? 3v , 若 v ? 1 , 则当 u 的辐角主值
2 2

?

?

u 的值为_____________ w 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 9.定义域为实数集 R 的函数 f(x)同时满足以下 3 个条件:①x>0 时,f(x)>0,②f(1)=2, 2 2 ③对任意 m,n ? R ,都有 f(m+n) =f(m)+f(n).设集合 A ? {( x, y ) f (3 x ) ? f (4 y ) ? 24} ,
最小时,

B ? {( x, y) f ( x) ? f (ay) ? f (3) ? 0} , C ? {( x, y ) | f ( x) ?
且 A∩C≠Ф ,试求实数 a 的取值范围.

1 f ( y 2 ) ? f ( a)} ,若 A∩B≠Ф 2

10. 已知双曲线方程 x 2 ?

y2 π ? 1 ,是否存在过焦点的直线 l,交双曲线于 A、B 两点,使得∠AOB=2. 2

若存在,求出 l 的方程;若不存在,请说明理由。

11. 数列{an}满足对任意 n∈N*, ? ai ? 1 ? ? (ai ? 1) ,求 ? ai ? i 的最小值.
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

2003

2013 年全国高中数学联赛模拟卷(7)答案
? 2a ? 1 ? 3 1、由条件知 A ? B , ① A=Ф , 2a+1>3a+5, ② A≠Ф , ?3a ? 5 ? 22 , 解得 a<-4 或 1?a?9. ? ?3a ? 5 ? 2a ? 1 ?
2、由题意知, m, n??1,2,3,4,5,6? ,则事件总数为 36,而方程有实根等价于 m ? 4n , 即: n ?
2

m2 , 4

19 据此可列出 n 的值:1, 2, 3, 4, 5, 6。 m 的个数为:5, 4, 3, 3, 2, 2。即 5+4+3+3+2+2=19,故概率为 36 3、过 D 作平面 ABC 的垂线,垂足为 H ,作 DE ? AB ,垂足为 E , DF ? AC ,垂足为 F , 则 HE ? AB, HF ? AC , 且有 AE ? AF ? AD cos45? ? 6 。 由于 ? AEH ?? AFH , ?HAE ? 30? , 则

AH ?

AE ? 2 2 ,DH ? AD2 ? AH 2 ? 2 ,因此 DH 为半径为 1 的球的直径,从而四面体 ABCD cos 30?
2

???? ? ??? ? 由 3 , AM ? ? AC , ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? 1 ??? ??? ? ? ? CB CA 可得:CM ? ?1 ? ? ? CA ,又 CP ? 3 , 是 ? PCE 边上的中线,CN ? ? CE ,则有 CA ? CE ? CP , 2 ???? 1 ? ? ???? 3 ?1 ? ? ? ??? ? ? ???? 1 ???? 3 ??? ? ? 1 CM ? CN ? CB ,整理得:CM ? CN ? CB ,因为当 B,M,N 三点共线时, 即: 1? ? 2? 2 2? 2 ???? ? ???? ??? ? 1 ? ? 3 ?1 ? ? ? 3 ? ? 1 ,解得 ? ? 存在实数 t 使得 CM ? ?1 ? t ? CN ? tCB ,故 2? 2 3
4、 延长 EA, 交于 P, CB 设正方形边长为 1, 易知 PB=2, 为 EP 的中点, A EA=AP=

的外接球的球心 O 在 DH 的延长线上,于是有 r 2 ? ? r ? 2? ? 2 2

?

? ,解得 r ? 3 .
2

?

?

5、∵ f ( x ) 是偶函数, ∴ f (? x) ? f ( x) , 即 x2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b ? x 2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 3a ? b ,

(b ? 4 ? a2 ) x ? 0 , b ? 4 ? a2 . f ( x) 的图像与 y 轴交点的纵坐标是 3a ? b ? 3a ? 4 ? a2 ,
设 a=2cosθ, b=2sinθ, θ∈[0, π], 3a-b=6cosθ-2sinθ, 当 θ=π 时,最大为 6 6、 2[( x ? t ? 2) ? ( x ? at ) ] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )] ? [( x ? t ? 2) ? ( x ? at )]
2 2 2 2 2 2 2

2[( x ? t 2 ? 2)2 ? ( x ? at )2 ] ? (2x ? t 2 ? 2 ? at )2 ? (t 2 ? 2 ? at )2 1 1 2 2 2 2 2 2 即 (2 x ? t ? 2 ? at ) ? (t ? 2 ? at ) ? 恒成立, 则 (t ? 2 ? at ) ? , 4 4 3 3 3 5 2 t2 ? t2 ? t2 ? t2 ? 1 1 2 ? 6, 2 2 2? 2 或a ? 2. ∵ 即 t ? 2 ? at ? 或 t ? 2 ? at ? ? . a ? t t 2 2 t t 3 t2 ? 3 6 2 2) ? 6 . 当且仅当 t ? , 即 t ? ? [1, 2] .故 a ? ( min 2 2 t 5 5 5 5 t2 ? t2 ? 12 ? 2 ? t ? 2 在 [1, 2] 单调递减, 故 a ? ( 2) ? 2?7. 又易知函数 max t t t 1 2 7 综上可知, 实数 a 的取值范围是 ( ??, 6) ? ( , ??) . 2 3 3 1 a ?c 3 ) , 猜想当 a ? c 时, 角 B 达到最大值, 由余弦定理知, 7. 解:注意到条件 b ? ( 2

a3 ? c3 3 a3 ? a3 3 ) a2 ? c2 ? ( ) a ?c ?b 1 ? 2 2 ? ? ? , 得到 B= . 此时 cos B ? 2 2ac 2ac 2a 2 3 3 3 2 a ?c 3 a2 ? c2 ? ( ) 1 1 2 ? , cos B ? . 即证明 cos B ? 为此只需证明 2ac 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 即 4(a ? ac ? c ) ? (a ? c ) ? [(a ? c)(a ? ac ? c )] ,
2 2 2

a2 ? c2 ? (

2

2

即 4(a2 ? ac ? c2 ) ? (a ? c)2 , 即 3(a ? c)2 ? 0 . 显然. 8、因为 v ? 1 ,所以 u ? w ? 3 v ? 3 ,于是 u 对应的点 P 在以 w 对应的点 M 为圆心, 3 为半经的圆 C 上,当 u 的辐角主值最小时,OP 与圆 C 相切,而 OM ? 5 , PM ? 3 , 则 OP ? 4 ,于是 所以

w u

?

w 4 3 5 ,又 的辐角主值 ? ? ?POM , cos ? ? , sin ? ? , 5 5 u 4

u 16 12 w 5?4 3 ? 3 ? i ? ? ? i ? ? 1 ? i ,故 ? w 25 25 u 4?5 5 ? 4

9、由条件③令 m=0 得 f(0)=0;再令 m=x,n=-x 得:f(-x) =-f(x);所以 f(x)在 R 上是奇函数. 设 x1,x2∈R,且 x2>x1,则 x2-x1>0,由①和③知: f ?x2 ? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?? x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? 0 ,所以 f ?x ? 在 R 上是增函数. > 由 f(1)=2 及③可得:24=12f(1)=f(12),所以 f(3x2)+f(4y2)?24,
2 2 即 f(3x2+4y2)?f(12),从而 A ? ? x, y ? 3 x ? 4 y ? 12 ;

?

?

由 f(x) -f(ay)+f(3)=0 得:f(x-ay+3)=f(0),从而 B ? 由 f ?x ? ?

?? x, y ? x ? ay ? 3 ? 0? ;

1 f y 2 ? f ?a ? 得: f ? 2 x ? a ? ? f ? y 2 ? ,从而 C ? ? x, y ? y 2 ? 2 x ? 2a ; 2 13 15 ? a ? 2; 由 A∩B≠Ф 可求得: a ? ;由 A∩C≠Ф 可求得: ? 6 3 ? 13 15 ? ? 15 ? ,2? . 所以实数 a 的取值范围是: ?? ,? ??? 3 ? ? 3 ? 6 ? 2 y 2 ? 1 .①, 焦点坐标 ? 3,0 ,不防设 l 过右焦点 F: 3,0 . 10、 x ? 2 2 ? 若 l ? x 轴,则 A,B 坐标为 3 ,?2 , 3 ,?2 ? ?AOB ? 2 arctan > ,矛盾! 3 2

? ?

?

?

?

?

? ??

?

?

?

故可设 l 的方程为 y ? k x ? 3 .② ∵ ?AOB ?

?
2

?

?

设 A: 1,y1),B(x2,y2). (x ③

,∴

y1 y 2 ? ? ?1 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 . x1 x2

2 2 2 2 2 2 由①、②,得 2 x ? k x ? 3 ? 2 ? k ? 2 x ? 2 3k x ? 3k ? 2 ? 0 . k2=2 时,④只有一个根,至多只能对应一个交点,不可能.故 k2≠2.

?

?

2

?

?

?

?



2 3k 2 , ⑤ k2 ?2 3k 2 ? 2 x1 x2 ? 2 . ⑥ k ?2 由②、⑤、⑥,得 y1 y2 ? k 2 x1 ? 3 x2 ? 3 ? k 2 x1 x2 ? 3?x1 ? x2 ? ? 3
由韦达定理得

x1 ? x2 ?

?

??

?

?

?

? 3k 2 ? 2 6k 2 3k 2 ? 6 ? 4k 2 ? 2 ??? 2 . ⑦ ?k ? ? 2 ? 2 ? k ?2 ? k ?2 k ?2 k ?2 ? 3k 2 ? 2 4k 2 2?k2 ? 2 ?0? 2 ? 0 ,矛盾! 由③、⑥、⑦,得 2 k ?2 k ?2 k ?2 故不存在过右焦点的直线 l ,同时满足条件(1)(2) 、 .同理,也不存在过左焦点的直线满足题意.
2

11、由已知:

? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1? ,从而还有 ? ai ? 1 ? ? ?ai ? 1?
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n ?1

n ?1

以上两式相减,得 ?a n ?1 ? 1? (1)若数列中所有项均为 1,则

? ai ? an?1 ? 1 , 故 an?1 ? 1或? ai ? 1 . ①
i ?1 2003 i ?1

n

n

?a
i ?1

i

. ? i ? ? 1 ? i ? ? j ? 2005003
i ?1 j ?0

2003

2002

(2)若数列中所有项不均为 1,设 a1=a2=?am?1=1(m=1 时该式省去),am≠1. ①中,取 n=m, 有 am+1=1 或 a1a2?am?1am=1. 由前面所设,a1a2?am-1am=am ≠1∴am+1=1.设 am+k=am+k-1=?am+1=1, 则①中,取 n=m+k, 有 am+ k+1=1 或 a1a2?am+k=1,同理,只可能是 am+ k+1=1. 另外,由下式②可说明,当 am ≠1,n?m 时,可以保证条件成立:

? ai ? am ? ai ? am ? ?am ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1? ? 1 ? ? ?ai ? 1? .②
i ?1 1?i ? n i?m 1?i ? n i?m i ?1

m

n

当 m>2003 时,归为(1)的情形.
2003

若 1?m?2003,则

? ai ? i ? ? j ? am ? m ? 1 ? m ? ? j ? 0 ? 2002 ? 2003001.
i ?1 j ?0 j ?0

2002

2002

综上,当 a1=a2=?a2002=1,a2003=2003 时,取最小值,等于 2003001.


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