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等差数列前N项和(第一课时)


第一课时

复习回顾
1.等差数列的定义:

?an? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2)
2.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d .

an ? am ? ?n ? m?d
3.重要性质:

m ? n ? p ? q ? am ?

an ? a p ? aq
特殊情况: m ? n ? 2 p ? am ? an ? 2a(等差中项) p

情境导入

高斯(Gauss,1777— 1855),德国著名数学 家,他研究的内容涉及 数学的各个领域,是历 史上最伟大的数学家之 一,被誉为“数学王 子”.

著名数学家高斯小的时候,勤于思考,善于动脑,这 一点在班级是有名的。他遇到问题总是问“为什么”;用 一种方法解决问题之后,他还考虑有没有其他别的更有效 的方法,老师和同学们都喜欢他。一天,老师给同学们出 了一道“1+ 2+ 3+……+ 99+ 100的和等于多少?” 的数学题,同学们都觉得没什么难的,于是便十分认真地 用一个数加另一个数慢慢求和的方法来计算。不一会,小 高斯便举手示意他做完了。老师和同学们都觉得特别奇怪 :别人连一半还没加完,小高斯怎么就算完了呢?

你知道高斯是怎么计算的吗?

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? 97 ? 98 ? 99 ? 100
+ + + +

? 50 ?101 ? 5050 .

如何计算 S=1+2+3+· · · · · · +100=?

?1 ? 100 ? 2 ? 99 ? 3 ? 98 ? ? ? ? ? 50 ? 51 ? 1 ? 100?100 ? S ? 101? 50 ? ? 5050 2
由等差数列的性质: m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq,

?an ?为等差数列, a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? ? 得:

问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1 n( n ? 1) ? 2 S ? n( n ? 1) ? S ? 2
上述求解过程带给我们什么启示? (1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示; (2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都 等于首项与末项的和。

思考:
(1) 高斯是如何快速求和的?他抓住了问题的什么特征?

(2) 如果换成1+2+3+…+200=?我们能否快速求和? 如何求?
(3) 根据高斯的启示,如何计算18+21+24++27…+624=? (4) 等差数列{an}的首项为a1,公差为d,如何计算

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ? ?

新课
一般的,我们称

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

为数列 {an} 的前n项和,用Sn表示,即

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an .
对于公差为d的等差数列,如何求它的前n项和?

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].

公式推导
用两个式子表示前n项和

倒序相加法


Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ? ? ? ? [a1 ? (n ?1)d ].
由①+②得到

Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ? ? ? ? [an ? (n ?1)d ]. ② 2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? ? ? (a1 ? an ). ? n(a1 ? an ).
n个

由此得到等差数列{an} 的前n项和的公式

n( a1 ? an ) Sn ? . 2

n( a1 ? an ) Sn ? . 2
在已知首项和尾项时使用此公式。 用 an ? a1 ? (n ?1)d 代入上面的公式,得到

n[a1 ? a1 ? (n ? 1)d ] n(n ? 1)d Sn ? ? na1 ? . 2 2
n(n ? 1)d S n ? na1 ? . 2
在已知首项和公差时使用此公式。

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标:从2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校 通”工程中的总投入是多少?

解: 根据题意,从2001~2010年,该市每年投入“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元。所以,可以建立一 个等差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中

a1 ? 500 , d ? 50.
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
S10 ? 10 ? 500 ? 10 ? (10 ? 1) ? 50 ? 7250 (万元 ). 2

答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的 总投入是7250万元。

典例

? n的 例2:根据下列条件,求相应的等差数列 ?anS
(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10 10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;
S50

50 (50 ? 1) ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

(3)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.
32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, ? S 26 0.7

26 ? (14 .5 ? 32 ) an ? a ? (n ? ? ?1604 .5 . 1)d 2

例3、已知一个等差数列的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项 和的公式吗?
解:由于S10=310,S20=1220,将它们代 入公式 n(n ? 1) 可得 所以

2 ?a1 ? 4 ? 10a1 ? 45d ? 310 于是, ? ? d ?6 ? 20 a ? 190 d ? 1220 ? 1 n(n ? 1) 2 Sn ? n ? 4 ? ? 6=3n ? n 2

Sn ? na1 ?

d

例3、已知一个等差数列的前10项的和是310, 前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和 的公式吗?
10( a ? a ) 1 10 另解: S10 ? ? 310 ? a1 ? a10 ? 62 ① 2 20(a1 ? a20 ) S 20 ? ? 1220 ? a1 ? a20 ? 122② 2

两式相减得

?d ? 6

a20 ? a10 ? 60 ?10d ? 60

( n n ?1 ) S n ? a1n ? d ? 3n 2 ? n 2

a1 ? 4

例3. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 2 为 sn ? n ? 1 , 求这个数列的通项公 2n 式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项 与公差分别是什么?

例4.己知等差数列
2 5, 7 4 4 , 3 7

,…

的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的序号n的值.
2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
n 5 为? ,所以sn= 2 7
5 [2×5+(n-1)( ? 7

)]

7 5n ? 5n 2 = 14

=?

5 14

(

15 21125 n- 2 ) + 56

例2 等差数列-10,-6,-2,2, …的前多少项的和为54? 解: 设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn. 则a1=-10,d=-6-(-10)=4,Sn=54. 由等差数列前n项和公式,得
n(n ? 1) ? 10 n ? ? 4 ? 54. 2

解得

n1=9,n2=-3(舍去).

因此,等差数列的前9项和是54.

1.等差数列的前n项和公式
公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ? 1) d

公式2

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

2.等差数列前n项和公式的函数特征:
1 d 2 ? d? Sn ? na1 ? n ? n ? 1? d ? n ? ? a1 ? ? n 2 2 2? ?
d d 设A ? , B ? a1 ? , 则Sn ? An 2 ? Bn ? A, B是常数 ? 2 2

特征:
当A ? 0 ?即d ? 0 ?时, Sn是关于n的二次函 数式,即Sn ? An 2 ? Bn的图象是抛物线 y ? Ax 2 ? Bx上的一群孤立的点.

举例
例1、计算:

n( n ? 1) (1)1 ? 2 ? 3 ? ?? ? n; ? 2 2 ? n (2)1 ? 3 ? 5 ? ?? ? (2n ? 1);

( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

(3)2 ? 4 ? 6 ? ?? ? 2n; ? n(n ? 1) (4)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ?? ? (2n ? 1) ? 2n.
(4)解:原式 ? [1 ? 3 ? 5 ? ??? (2n ?1)] ? (2 ? 4 ? 6 ? ??? 2n).
又解:原式 ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? (5 ? 6) ? ?? [(2n ?1) ? 2n].

例2、 等差数列 ? 10, ?6, ?2, 2,?前多少项的和是54? 解:设该等差数列为 ?an ? , 其前n项和是Sn ,
则a1 ? ?10, d ? ?6 ? ( ?10) ? 4, Sn ? 54. 根据等差数列前项和公式,得 n( n - 1) - 10n ? ? 4 ? 54 2 整理得 n2 ? 6n ? 27 ? 0 解得 n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍去)
( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

因此,等差数列 - 10, - 6, - 2, 2, ? 前9项的和是54

注:本题体现了方程的思想.

例3、数列?an ? 为等差数列,若a1 ? a2 ? a3 ? 12,
a8 ? a9 ? a10 ? 75, 求 S10 .

10 ? 9 ? S10 ? 10a1 ? d ? 145. 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? 12, 又解: ? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8 ? 87. 由? ?a8 ? a9 ? a10 ? 75
Sn ?

?a1 ? a2 ? a3 ? 12, ?a1 ? d ? 4, ?a1 ? 1, 解: ?? ?? 由? ?a1 ? 8d ? 25 ?d ? 3. ?a8 ? a9 ? a10 ? 75

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

? a1 ? a10 ? a2 ? a9 ? a3 ? a8,
?3(a1 ? a10 ) ? 87即(a1 ? a10 ) ? 29.

整体运算 的思想!

10(a1 ? a10 ) S10 ? ? 5(a1 ? a10 ) ? 5 ? 29 ? 145. 2

例4、在等差数列?an ? 中,

已知a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36, 求S16 .

解: a2 ? a5 ? a12 ? a15 ? 36

? a2 ? a15 ? a5 ? a12 ? a1 ? a16 ? 18 ?
16(a1 ? a16 ) S16 ? ? 8(a1 ? a16 ) 2 ? 8 ? 18 ? 144.

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 Sn ?

例5、求集合M ? ?m | m ? 7n, n ? N * , 且m ? 100? 的元素,并求些元素的和.

?an ?, Sn ? n ? 2n, 求通项公式an . 例6. 已知数列
2

?S1,n ? 1; an ? ? ?Sn ? Sn-1,n>1.

巩固练习

1、一个等差数列前4项的和是24,前5项的和
与前2项的和的差是27,求这个等差数列的通

项公式。
解: ? S4 ? 24, ? 4a1 ? 6d ? 24, ?? ? ?(5a1 ? 10d ) ? (2a1 ? d ) ? 27 ? S5 ? S2 ? 27 ? a1 ? 3, ?? ? an ? 3 ? 2( n ? 1) ? 2n ? 1. ?d ? 2

2、已知等差数列?an ?中,a6 ? 20, 求S11 .
解: a6 ? 20 ? a1 ? a11 ? 2a6 ?
11(a1 ? a11 ) S11 ? ? 11a6 ? 220. 2

( n a1 ? an ) 2 ( n n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 Sn ?

小结
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) S n ? 2 n( n ? 1) (?? )Sn ? na1 ? d 2
3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;已知首项、公差用公式Ⅱ.

②应用求和公式时一定弄清项数n. ③当已知条件不足以求出a1和d时,要认真观察,

灵活应用等差数列的性质,看能否用整体思想求
a1+an的值.

4、已知数列{a n }前n项和Sn,求通项公式a n的方法;

?S1,n ? 1; an ? ? ?Sn ? Sn-1,n>1.

热身练习

1.若一个等差数列前3项和为34,最 后三项和为146,且所有项的和为 390,则这个数列共有______项。

2.已知两个等差数列{an},{bn}, 它们的前n项和分别是Sn,Tn,若

整体思想

S n 2n ? 3 a9 ? ,求 . Tn 3n ? 1 b9

比值问题

例 1 在等差数列 ?an ? 中, S10 ? 30 , S20 ? 100 , 求 S30 。
方法二: 方法一:方程思想

S10, S20 ? S10,S30 ? S20

成等差数列

例 2.在等差数列中, a1 ? ?60 , a17 ? ?12 , (1)该数列第几项开始为正? (2)前多少项和最小,并求其最小值? (3)求 ?an ? 前 n 项和 Sn? (4)求 ? an ? 前 n 项和 Tn?

对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 an : 当 a1 >0,d<0,前n项和有最大值

王新敞
奎屯

新疆

(可由 an ≥0,且 a n?1 ≤0,求得n的值) 当 a1 <0,d>0,前n项和有最小值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(可由 an ≤0,且 a n?1 ≥0,求得n的值 )
王新敞
奎屯 新疆

d 2 d (2) 利用 S n :由 S n ? 2 n ? (a 1 ? 2 )n 二次函数

配方法求得最值时n的值

王新敞
奎屯

新疆

1 例1:求数列{ } 的前n项和 n(n ? 1) 1 1 1 Sn ? ? ?? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

变式:等差数列{an }中,a1 ? 3, d ? 2 1 1 1 Sn为前n项和,求 ? ? ? S1 S2 Sn


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