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2.2等差数列学案


第二章 数列 2.2 等差数列
一、 【课标要求】 1.理解等差数列的概念,探索并掌握等差数列的通项公式. 2. 会用通项公式解决一些简单的问题. 3. 能在具体问题中发现数列的等差关系, 并能用有关知识解决相应问题.体会等差数列与 一次函数的联系. 4.概括通项公式推导过程中体现出的数学思想. 二、 【知识梳理】 1.等差数列 一般的,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么这个数 列就叫做等差数列.等差数列的定义用式子可表示为 an?1 ? an ? d . 2.公差 在等差数列中,每一项与它前一项的差是同一个常数,这个常数叫做等差数列的公差, 常用字母 d 表示. 3.等差数列的通项公式 等差数列的通项公式可写成 an ? a1 ? ? n ? 1? d ,或 an ? am ? ? n ? m ? d ,递推公式为

an?1 ? an ? d .
4.等差数列的通项公式的两个应用 (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项; (2)已知等差数列中的任意两项,就可以确定等差数列中的任意一项. 5.推导通项公式的过程 方法 1: (归纳法) ∵ ?an ? 是等差数列,则有:

a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d , a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d ,?, an ? an?1 ? d ? a1 ? ?n ?1? d , ?an ? a1 ? ? n ?1? d .
当 n ? 1 时,上面的等式两边均为 a1 ,所以等式也是成立的.这就是说当 n? N 时,
*

an ? a1 ? ? n ? 1? d 总成立.
方法 2: (叠加法) 则有 an ? an?1 ? d , an?1 ? an?2 ? d ,?, a2 ? a1 ? d , 以上各式两边相 ??an ? 为等差数列, 加,得 an ? a1 ? ? n ?1? d , ∴ an ? a1 ? ? n ?1? d .

方法 3: (迭代法)

??an ? 是等差数列,则有 an ? an?1 ? d ? an?2 ? d ? d ? an?2 ? 2d ? an?3 ? d ? 2d ? an?3 ? 3d ? ? ? a1 ? ? n ?1? d ,
∴ an ? a1 ? ? n ?1? d . 6.对公式的理解 (1)从函数的角度思考等差数列的通项公式:

an ? a1 ? ? n ?1? d ? d ? n ? a1 ? d , 当 d ? 0 时,an 是关于 n 的一次函数,所以等差数列
的通项公式也可以表示为 an ? pn ? q (设 p ? d , q ? a1 ? d ). (2)从图象上看,表示这个数列的各点 ? n, an ? 与一次函数 y ? px ? q 有什么关系? 从图象上看,表示这个数列的各点 ? n, an ? 均在一次函数 y ? px ? q 的图象上. 由两点确定一条直线可知,任意两项可确定一个等差数列. 三、 【基础练习】 1.体育场一角的看台的座位是这样排列的:第一排有 15 个座位,从第二排起每一排都 比前一排多 2 个座位.你能用 an 表示第 n 排的座位吗?第 10 排能坐多少个人?

2.判断下列是否为等差数列? (1)2,4,6,8,…,2 ? n ?1? , 2n, …; (2)1,1,2,3,4,…, n ,…; (3) a , a , a , …, a, ….

四、 【方法归纳】 例 1 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?3n ? 2 ,试问该数列是否为等差数列. 解:数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ?3n ? 2 ,

? an ? an ?1 ? ? ?3n ? 2 ? ? ? ?3 ? n ? 1? ? 2 ? ? ?3 ( n ? 2 且 n?N*). ? ?
由等差数列的定义知数列为等差数列. 总结升华:定义法是判定数列为等差数列的常用方法. 例 2 等差数列 ?an ? 中, a5 ? 11, a8 ? 5, 求 an .

解: 设数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d .由已知, a5 ? 11 ? a1 ? 4d , a8 ? 5 ? a1 ? 7d . 得 解得: a1 ? 19, d ? ?2.?an ? a1 ? ? n ?1? d ? 19 ? ? n ?1?? ?2? ? 21 ? 2n. ? 等差数列. 总结升华:本题也可由 an ? a5 ? ? n ? 5? d 求解. 五、 【高考链接】 1、(2011· 江苏南通、扬州、泰州高三调研)设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3 =15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=________. 2、(2011· 湖北文,9)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自上而下各节 的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升, 下面 3 节的容积共 4 升, 则第 5 节的容积为( A.1 升 47 C. 升 44 1.[答案]105 2.[答案] B 67 B. 升 66 37 D. 升 33 )


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