坐标系与参数方程高考常考题型及解析-论文

．

＞　 ； 由 ｇ 　 （ 　 一２ 一 　 ＜０ ， 解得 ０ ＜　 ， ＜　 ． 所 以　 ） 上 递减 ． 　

ｇ（ 　） 在 区间 （ 　 ， 　 上递增 ， 在 区间 （ 百 １
， 　

坐 标系 与 参数 方程 　

所以函数 ｇ （ 　 一 ， ） 在 　 一÷或　 ’

一２ 处取得最大值． 　

考常 考题 型及 解析 　
◇　 山 东　 杜 兆 洲 　

又 ｇ （ ２ ） 一 号 ， ｇ ‘ 　 １ ） 一 ３ 。 故 ２ ｎ ＜ 号 一 ， “ ＜ 号 ． 　
所 以实 数 “的取 值范 同是 （ …一 ， ７ － 　 ） ． 　

随 着 高 考 改 革 的不 但 深 入 ， 考 试 内容 也 不 断 改　

彝曩 　 装 　
使ｎ ＞． ／ 　 （ － 丁 ） 成 立㈢“ ＞厂 　（ 　） ＿ 　 ． 　 ： 　 例 ７ 　 ｔ Ｚ知 函数 ＿ 厂 （ 　） 一ｄ ｊ ? ＋ｌ ｎ 　 （ “ ∈Ｒ） ． 　
（ １ ）水 ｌ ， （ 　） 的单 调 区问 ； 　

： 　

革． 分 为必修 和选 修 两 部 分 ， 选修 部 分 义 分 为高 考必　 考 部分 和选 考部分 ， 笔 者 以多 年 的 教学 经 验将 坐标 系　 与参数方 程选 讲 部分 高考 常 弩题 型作 如 下总结 ． 　 类型 １ 　 求直 线或 圆锥 曲线 的参数 或极 坐标 方 程问题　
一 　

， 　

（ ２ ）设 ｇ（ 　 ’ ） 一　 的取值 范 围． 　

２ Ｊ ’ ＋２ 。 若对任 意 ． ｒ 　Ｅ － （ ０ ， 　 ｛ 　

例 １ 　 （ ２ ０ １ ３年 汀两 卷 ）没 曲线 （ 　 的 参数 方程 为　
　７ ｆ 　＝ ＝ ，． 　

＋一 ） ， 均存 在　 ｒ 　 Ｅ － 　 ｉ ｏ ．１ ］ ， 使得 ＿ ／ ’ （ 　 － ／ ’ 　 ） ＜ 　（ 　 ） ， 求“ 　

（ １为参数 ） ， 符 以 “角　 标 系的 原点 为檄点　 ’ 　

ｌ 　 —　

析㈩ 　 ， （ Ｉ 　

÷ ： 　

＞ ㈤ ． 　
ｌ ／ 　 在区 　

轴 的正 半轴 为极 轴建 立橄　 标 系 ， 则 曲线 （ 　的极 坐标　
方 程 为　
析　

． 　 本 题 考 杏 参 数 方 程　 檄 坐 标 方 程 的 转 化 ． 胁　

① 当“ ≥０时 ， 由于 ． ｒ ＞０ ． 故 “ ． ｒ ＋１ ＞０ ， ， 　 （ 　） ＞　 ０ ，所 以 ． ／ 　 （ 』 ’ ） 的 单渊 递增 区间 为 （ ０ ， ＋一 ） ． 　 ② 当“ ＜０时 ， 由 ， 　 （ 　） ：０ ， 得　一
间（ ０ ， 　

线Ｃ 的 普 通 方 程 为 　一 。 ７ ． 将｛ ａ 　ｐ ｃ ． ｏ ｓ 　 ’ 代 　 ｌ ｖ— 　 ｓＩ ｎ（ ， 　

） 上， ／ 　 （ 　） ＞０ ， 在　 问 （ ～ 　 ， ＋一 ） 上， 　

人　 — 　 ， 得 ｐ ｓ ｉ ｎ 　一 　Ｃ Ｏ Ｓ 　 ０ ， 即ｐ ｃ ｏ ｓ ！ 　一 ｓ ｉ ｎ 　 一０ ． 所　 以 曲 线　 的 极　 标 方 程 为 ｐ ｃ ｏ ｓ 　 一ｓ ｉ ｎ 　 ｃ ７ ＝ ＝ ０ ． 　

， 　 （ 　） ＜０ ，所 以　 数 ｌ ， （ ｊ ， ） 的 单 调 递 增　 问 为 （ ０ ， 　
一 ～

类型 ２ 在极 坐标 系下 求两 点距 离或 者点 到直 线 距离　
问 题　
§ 　 《， 　

１ ） ， 单 调递 减 区间为 （ 一　 ． ｑ － 一） ． 　 （ ２ ）原 命 题 可 转 化 为 ／ 　 （ ’ 丁） ＜ｇ 　 （ 　） ．义　 （ 　） ＝ ＝ ＝ ２ ，ｍ（ １ ） 知。 当“ ≥０时 ， ． ， ’ （ ＿ ? ） 在（ ０ ， 十一 ） 上　

。 　 例 ２ 　 （ ２ ０ １ ３年上 海理 ）在极 坐标 系 巾 ． 曲线 ｐ — 　 Ｃ Ｏ Ｓ 　＋ ｕ １ｌ 与ｐ ｃ ｏ ｓ 　一ｌ的公共 点 到极点 的距 离为　 ． 　

单调递 增 ， 值域 为 Ｒ， 故 不 符合 题意 ． （ 或 者举 Ｌ ｛ Ｊ 反例 ： 　 存在 ， ’ （ ｅ 。 ） ＝ａ ｅ 。 ＋３ ＞２ ， 故不符 合题 意 ） 　
．

析

联 立方　

（ ， 厂 １ ） 　 ＿
． 　

导 　一 　

， 　

当“ ＜ ０时 ， ／ ’ （ 　） 在 （ ０ ， 一　 ） 上 单 调递 增 ， 在　

又ｐ ≥ｏ ， 故所 求距 离 为　

变 式　 （ ２ Ｏ １ ３年 北 京 理 ）在 极 坐 标 系 巾， 点　

（ 一 ÷， ＋。 。 ） 上单 调递减， 故 　（ 　 ） 的极大值即为最大 　
（ ２ ， 　 ） 到 直线 ｐ ｓ ｉ ｎ 　一２的距 离等 ＝ Ｆ 　 ． 　 标 为　

值， ． ， ’ （ 一 　 ） 一一１ ＋Ｉ ｎ （ — Ｌ） ＝一ｌ —Ｉ ｎ （ 一“ ） ， 所 以　
析

在极坐 标 系 　

Ｊ ＇ ｒ ） 化 为直触

２ ＞ 一ｌ —ｌ ｎ （ ～ｎ ） ， 解得 “ ＜ 一÷ ． 　

（ 　 ， １ ） ， 直线 ｐ ｓ ｉ ｎ 　 ０ 　 ２化 为直 角坐标 方 程为 － ｙ 一２ 。 ［ 大 １ 　

彝柰 　

　。 １ ） 到－ ｙ ＝２ 的距离为 １ ， 所以点（ ２ ． 詈） 到直线 　 篡　理 请 关 　为（
ｐ ｓ ｉ ｎ 　 ｆ ） 一２ 的距 离 为 １ ． 　

总之， 含 参数 不等式 恒 成 立 问题 和 存 在性 问 题 因　 其覆 盖 知识 点 多 ， 方法也多种多样 ， 但 其 核 心 思 想 还　

是等 价转 化 ， 抓住 这点 ， 才 能“ 以不变 应万 变” ． 　

彝 　釜 袭 　
即 可． 　

蒜荔 量 　 蓑 　

ｃ 作 者 单 位 ： 　 ： ； ： 妻 　主 　 幸 ： ｛ 　分 校 ， 　
吖 救 １ ｏ 　

直 线方程． 然 后 求 直 角 坐 标 系下 的 点 到 直 线 的 距 离　

大 自然 把 － ＆ｆ ｔ ｌ 困在 黑 暗 之 中， 迫 使 人 们 永 远 向 往 光 明　

类型 ３ 　 参 数 方 程 与 极 坐 标 方 程 互 化 问题　

￣ ／ ２ ｂ ． 所以ｆ ＝ ＝ ＝ √ ２ ｂ ， 解得 “ 一√ ３ 　 ｂ ， 所 以离 心率　
一 　 一 　 一 　
． 　

誓 ｒ ＿ 　 ， ０ 　３ 例 　（ ２ ０ １ ３年新 课标 卷 ）已知 曲线 ｃ 　的 参数　

方 程 为』 为｛ 　 ｚ 一 ４ ＿ 卜 　 ． 　 ０ ． 　 　’ （ ｔ 为 参 数 ） ， 以 坐 标 原 点 为 极 　
ｌ Ｙ 一 　 十 ０ＳＩ ｎ　 ｔ 　

点， 　 轴 的正 半 轴 为极轴 建 立极 坐 标 系 ， 曲线 Ｃ 　的极　
坐 标方 程为 ｐ 一２ ｓ ｉ ｎ 　 ０ ． 　 （ １ ） 把 Ｃ 　的参 数方程 化为 极坐 标方 程 ； 　 （ ２ ） 求 （ 　 ｔ 与 Ｃ ｚ交点 的极坐标 （ ｐ ≥０ ， Ｏ ≤　 ＜２ 　 ７ ｃ ） ． 　

喜 　言 　
圆 锥 曲线 位 置 关 系 问 题　

麓　

裹 　

方 程化普 通 方程 ， 然后通 过 有 关直 线 与 圆锥 曲线 的 有　 关知识来 解决 ， 是 高考 的重 要考 点． 　 类型 ５ 　 以参 数 方 程 为载 体 。 考查 直 线 方 程及 直 线 与　

析

＋５ ｃ ｏ 　 ｓ 　 ｔ ’消 去参　 （ １ ）将 Ｉ ｘ 　 ＝４
十 ５ ｓ

化 为 普通　

例５ 　（ ２ ０ １ ３年 福 建 理 ）在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 　 以坐标 原 点为极 点 ， 　 轴 的 非负 半 轴 为 极 轴 建立 坐 标　

方程（ 工 ～４ ） 　＋ （ ３ Ｉ 一５ ） 　 一２ ５ ， 即Ｃ １ ： 工 。 ＋　 一 ８ ｘ—　

ｌ Ｏ ｙ ＋ １ ６ ： ０ ， 将 ｆ Ｉ 　 ： ｒ ： ｔ ｏ Ｃ ． Ｏ Ｓ 　 ’ 代 入 ｌ ｚ 　 ＋ 　 。 一 ８ 　 — ｌ Ｏ ｙ ＋ 　 ＝ｐ ｓ ｌ ｎ 　
１ ６ ＝０ － ， 得 Ｐ 　 一８ ｐ ｃ ｏ ｓ 　 一１ ０ ｐ ｓ ｉ ｎ 　＋ １ 　 ６ —０ ， 所以 Ｃ ｌ的　

系． 已知 点 Ａ 的 极 坐 标 为 （ √ ２， 　 ） ， 直 线 的极 坐 标 方　 程为 ｐ ｃ ｏ ｓ （ ０ －　 ） 一ａ ， 且点 Ａ 在直 线上 ． 　
（ １ ）求 ａ的值及 直线　 的直角 坐标 方程 ； 　

极坐标 方 程为 Ｐ 。 一８ ｐ ｃ ｏ ｓ 　一 １ ０ ｐ ｓ ｉ ｎ 　＋１ ６ —０ ． 　 （ ２ ）Ｃ ：的 普 通 方 程 为　 。＋ Ｙ 。 一２ ｙ＝ ０ ，由 　

｛ Ｉ 　 ｘ 　 ２ ＋ 　 ｙ 、 ， 　 Ｚ ＿ 一 　 ８ ２ ｘ ｙ ＝ ＿ ０ ｌ Ｏ ， 　 ＋ 　 一 。 ’ 解 … 得 一 ｛ ｌ 　 Ｙ 　’ 一 １ 　 或 一 ｛ ｌ 　。 　 一 ２ ： ， 　 数 ）， 试判 断直 线与 圆的位置 关 系． 　
所以 Ｃ 　与 Ｃ 　的交 点 的极 坐标 分别 为　
析 （ １ ） 　

（ ２ ） 圆Ｃ 的 参 数方 程为』 　 — Ｉ
－

￣Ｃ Ｏ Ｓ 　

．

（ 　 为 参　

ｌ Ｙ 　 Ｓ １ Ｙ Ｉ 　

Ａ（ 　 ， 　 ） 在直线 Ｐ ｃ Ｏ ｓ （ 　一 　

＝ｎ 　

（ 　， 孕） ， （ ２ ， 詈） ． 　
上， 可 得 ｎ一√ ２， 故 直 线 ｚ的 方 程 可 化 为 ｐ ｃ ｏ ｓ 　 ０ ＋　

彝 　
疆　 ，　

， 　

妻 　釜 差 　

ｐ ｓ ｉ ｎ 　＝ ＝ ＝ ２ ， 从 而直 线 ｚ 的直角 坐标方 程 为　
＋． ｙ～ ２— ０． 　

参 数方 程及极 坐标 方程 化为 普通 方程来 解决． 　
类型 ４ 以参数方 程 为载体 。 考 查 圆 锥 曲线 问 题　

（ ２ ）由 已 知 得 圆 Ｃ 的 直 角 坐 标 方 程 为 （ 　一１ ） 　 ＋　

一ｌ ， 所 以 圆心 为 （ １ ， Ｏ ） ， 半径 ｒ —ｌ ， 因为 圆心 到直 线　 ｚ 的距 离 ｄ一　 ＜１ ， 所 以直线 与 圆相交 ． 　

例 ４ （ ２ ０ １ ３年 湖北 理 ）在 直 角 坐 标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ， 　

椭 圆 Ｃ 的 参 数 方 程 为 ｛ 　 一 　 ’ （ 　 为 参 数 ， 。 ＞ ６ ＞ 　
Ｏ ） ． 在 极坐标 系 （ 与 直 角坐 标 系 ｘ Ｏ ｙ取 相 同 的长 度 单　 位， 且 以原 点 ０为 极 点 ， 以　 轴 正 半轴 为极 轴 ） 中， 直　

彝 　量 　

嚣　 冀 　

重点和 难 点 ， 本 题 既考 查 了参 数 方 程 、 极 坐标 方 程 与 　 普通方 程 的互化 问题 ， 又考 查 了直 线 － ０圆锥 曲线 的位　

线ｚ 与圆０的极坐标方程分别为』 Ｄ ｓ ｉ ｎ （ ０ ｆ季） 一 　
（ ｍ 为非零 常 数 ） 与ｐ —ｂ ． 若直线 ｌ 经 过 椭 圆 Ｃ 的 焦　
点， 且 与圆 Ｏ相切 ， 则椭 圆 Ｃ的离心 率为
．　
— —

置 关 系问题 ， 是 在 知 识 的交 汇 点 出题 ， 是 近 几年 高 考　
的热 点， 应该 引起 我们足 够 的 重视． 　 总之 ， 坐标 系 与 参 数 方 程 是 高 考 的选 讲 内 容 ， 考　 查题 型重 点 是求 直线 与 圆锥 曲线 的参 数 方 程 或 极 坐　

Ｑ　 本 题 考 查 参 数 方 程 、 极 坐 标 方 程 与 普 通 方 程 　
的转 化? 椭 圆 的 标 准 方 程 为　 ＋　 一 １ ?由 　

标方 程 、 参 数 方 程 与极 坐标 方 程 的 互 化 问 题 ， 通 过 普　 通方 程为 桥梁 ， 在极 坐标 系 下求 两 点 问 的距 离 或者 点　 到直 线 的距离 问题 往 往 需 要 理 解 Ｐ的几 何 意 义 以及　 直线 方程 ． 以参 数方 程为 载 体考 查 圆锥 曲线 有 关几 何　
量 问题及 求直 线 方 程 和直 线 与 圆锥 曲线 的位 置 关 系　 问题 ， 是 坐标 系 与 参 数 方 程 常 考 的 重 点 题 型 ， 只有 掌　 握这 些 ， 考生对 这 部分知 识解 答起 来 才会得 心 应手． 　

ｐ 　 ｉ ｎ （ ０ ＋ ４ ） － ｙ 　 ｍ ， 得 譬 （ Ｐ ｃ Ｏ 　 Ｏ ＋ ｐ 　 ， ／ 　 ｇ 　口 　 将极 坐标下 的点 、 直 线方程 化 为 直 角 坐标 系下 的点 及　
直线 方 程为 ａ Ｔ ＋ｙ － ｍ＝０ ． 由ｌ ０ 一ｂ ， 得ｌ Ｄ 　 ＝ｂ 　 ， 即　 ＋　 Ｙ 　 一６ 　 ， 所 以 圆 的标 准 方 程 为 ｚ 　 ＋Ｙ 　 一ｂ 　 ． 因 为直 线　

＋ｊ ， 一７ ７ ｚ 一０过椭 圆 的焦点 ， 代入得　 一 ±ｆ ． 直 线　＋　
ｙ －ｍ＝Ｏ ￣ Ｌ ｊ － 圆 ． ３ ２ ２ ＋Ｉ ｙ ｚ —ｂ 　相 切 ， 则　 ＝ｂ ， 即Ｊ 　 ｌ 一 　

（ 作 者单位 ： 山 东省平度 第一 中学） 　
化　

在这一人航海的人生浩瀚大海中， 理 想是 罗盘针 ， 热情是疾风