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坐标系与参数方程高考常考题型及解析-论文




>  ; 由 g   (   一2 一   <0 , 解得 0 <  , <  . 所 以  ) 上 递减 .  

g(  ) 在 区间 (   ,   上递增 , 在 区间 ( 百 1
,  

坐 标系 与 参数 方程  

所以函数 g (   一 , ) 在   一÷或  ’

一2 处取得最大值.  

考常 考题 型及 解析  
◇  山 东  杜 兆 洲  

又 g ( 2 ) 一 号 , g ‘   1 ) 一 3 。 故 2 n < 号 一 , “ < 号 .  
所 以实 数 “的取 值范 同是 ( …一 , 7 -   ) .  

随 着 高 考 改 革 的不 但 深 入 , 考 试 内容 也 不 断 改 

彝曩   装  
使n >. /   ( - 丁 ) 成 立㈢“ >厂  (  ) _   .   :   例 7   t Z知 函数 _ 厂 (  ) 一d j ? +l n   ( “ ∈R) .  
( 1 )水 l , (  ) 的单 调 区问 ;  

:  

革. 分 为必修 和选 修 两 部 分 , 选修 部 分 义 分 为高 考必  考 部分 和选 考部分 , 笔 者 以多 年 的 教学 经 验将 坐标 系  与参数方 程选 讲 部分 高考 常 弩题 型作 如 下总结 .   类型 1   求直 线或 圆锥 曲线 的参数 或极 坐标 方 程问题 
一  

,  

( 2 )设 g(   ’ ) 一  的取值 范 围.  

2 J ’ +2 。 若对任 意 . r  E - ( 0 ,   {  

例 1   ( 2 0 1 3年 汀两 卷 )没 曲线 (   的 参数 方程 为 
 7 f  = = ,.  

+一 ) , 均存 在  r   E -   i o .1 ] , 使得 _ / ’ (   - / ’   ) <  (   ) , 求“  

( 1为参数 ) , 符 以 “角  标 系的 原点 为檄点  ’  

l   — 

析㈩   , ( I  

÷ :  

> ㈤ .  
l /   在区  

轴 的正 半轴 为极 轴建 立橄  标 系 , 则 曲线 (  的极 坐标 
方 程 为 
析 

.   本 题 考 杏 参 数 方 程  檄 坐 标 方 程 的 转 化 . 胁 

① 当“ ≥0时 , 由于 . r >0 . 故 “ . r +1 >0 , ,   (  ) >  0 ,所 以 . /   ( 』 ’ ) 的 单渊 递增 区间 为 ( 0 , +一 ) .   ② 当“ <0时 , 由 ,   (  ) :0 , 得 一
间( 0 ,  

线C 的 普 通 方 程 为  一 。 7 . 将{ a  p c . o s   ’ 代   l v—   sI n( ,  

) 上, /   (  ) >0 , 在  问 ( ~   , +一 ) 上,  

人  —   , 得 p s i n  一  C O S   0 , 即p c o s !  一 s i n   一0 . 所  以 曲 线  的 极  标 方 程 为 p c o s   一s i n   c 7 = = 0 .  

,   (  ) <0 ,所 以  数 l , ( j , ) 的 单 调 递 增  问 为 ( 0 ,  
一 ~

类型 2 在极 坐标 系下 求两 点距 离或 者点 到直 线 距离 
问 题 
§   《,  

1 ) , 单 调递 减 区间为 ( 一  . q - 一) .   ( 2 )原 命 题 可 转 化 为 /   ( ’ 丁) <g   (  ) .义  (  ) = = = 2 ,m( 1 ) 知。 当“ ≥0时 , . , ’ ( _ ? ) 在( 0 , 十一 ) 上 

。   例 2   ( 2 0 1 3年上 海理 )在极 坐标 系 巾 . 曲线 p —   C O S  + u 1l 与p c o s  一l的公共 点 到极点 的距 离为  .  

单调递 增 , 值域 为 R, 故 不 符合 题意 . ( 或 者举 L { J 反例 :   存在 , ’ ( e 。 ) =a e 。 +3 >2 , 故不符 合题 意 )  




联 立方 

( , 厂 1 )   _
.  

导  一  

,  

当“ < 0时 , / ’ (  ) 在 ( 0 , 一  ) 上 单 调递 增 , 在 

又p ≥o , 故所 求距 离 为 

变 式  ( 2 O 1 3年 北 京 理 )在 极 坐 标 系 巾, 点 

( 一 ÷, +。 。 ) 上单 调递减, 故  (   ) 的极大值即为最大  
( 2 ,   ) 到 直线 p s i n  一2的距 离等 = F   .   标 为 

值, . , ’ ( 一   ) 一一1 +I n ( — L) =一l —I n ( 一“ ) , 所 以 


在极坐 标 系  

J ' r ) 化 为直触

2 > 一l —l n ( ~n ) , 解得 “ < 一÷ .  

(   , 1 ) , 直线 p s i n   0   2化 为直 角坐标 方 程为 - y 一2 。 [ 大 1  

彝柰  

 。 1 ) 到- y =2 的距离为 1 , 所以点( 2 . 詈) 到直线   篡 理 请 关  为(
p s i n   f ) 一2 的距 离 为 1 .  

总之, 含 参数 不等式 恒 成 立 问题 和 存 在性 问 题 因  其覆 盖 知识 点 多 , 方法也多种多样 , 但 其 核 心 思 想 还 

是等 价转 化 , 抓住 这点 , 才 能“ 以不变 应万 变” .  

彝  釜 袭  
即 可.  

蒜荔 量   蓑  

c 作 者 单 位 :   : ; : 妻  主   幸 : {  分 校 ,  
吖 救 1 o  

直 线方程. 然 后 求 直 角 坐 标 系下 的 点 到 直 线 的 距 离 

大 自然 把 - &f t l 困在 黑 暗 之 中, 迫 使 人 们 永 远 向 往 光 明 

类型 3   参 数 方 程 与 极 坐 标 方 程 互 化 问题 

 ̄ / 2 b . 所以f = = = √ 2 b , 解得 “ 一√ 3   b , 所 以离 心率 
一   一   一  
.  

誓 r _   , 0  3 例  ( 2 0 1 3年新 课标 卷 )已知 曲线 c  的 参数 

方 程 为』 为{   z 一 4 _ 卜   .   0 .    ’ ( t 为 参 数 ) , 以 坐 标 原 点 为 极  
l Y 一   十 0SI n  t  

点,   轴 的正 半 轴 为极轴 建 立极 坐 标 系 , 曲线 C  的极 
坐 标方 程为 p 一2 s i n   0 .   ( 1 ) 把 C  的参 数方程 化为 极坐 标方 程 ;   ( 2 ) 求 (   t 与 C z交点 的极坐标 ( p ≥0 , O ≤  <2   7 c ) .  

喜  言  
圆 锥 曲线 位 置 关 系 问 题 

麓 

裹  

方 程化普 通 方程 , 然后通 过 有 关直 线 与 圆锥 曲线 的 有  关知识来 解决 , 是 高考 的重 要考 点.   类型 5   以参 数 方 程 为载 体 。 考查 直 线 方 程及 直 线 与 



+5 c o   s   t ’消 去参  ( 1 )将 I x   =4
十 5 s

化 为 普通 

例5  ( 2 0 1 3年 福 建 理 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,   以坐标 原 点为极 点 ,   轴 的 非负 半 轴 为 极 轴 建立 坐 标 

方程( 工 ~4 )  + ( 3 I 一5 )   一2 5 , 即C 1 : 工 。 +  一 8 x— 

l O y + 1 6 : 0 , 将 f I   : r : t o C . O S   ’ 代 入 l z   +   。 一 8   — l O y +   =p s l n  
1 6 =0 - , 得 P   一8 p c o s   一1 0 p s i n  + 1   6 —0 , 所以 C l的 

系. 已知 点 A 的 极 坐 标 为 ( √ 2,   ) , 直 线 的极 坐 标 方  程为 p c o s ( 0 -  ) 一a , 且点 A 在直 线上 .  
( 1 )求 a的值及 直线  的直角 坐标 方程 ;  

极坐标 方 程为 P 。 一8 p c o s  一 1 0 p s i n  +1 6 —0 .   ( 2 )C :的 普 通 方 程 为  。+ Y 。 一2 y= 0 ,由  

{ I   x   2 +   y 、 ,   Z _ 一   8 2 x y = _ 0 l O ,   +   一 。 ’ 解 … 得 一 { l   Y  ’ 一 1   或 一 { l  。   一 2 : ,   数 ), 试判 断直 线与 圆的位置 关 系.  
所以 C  与 C  的交 点 的极 坐标 分别 为 
析 ( 1 )  

( 2 ) 圆C 的 参 数方 程为』   — I


 ̄C O S  



(   为 参 

l Y   S 1 Y I  

A(   ,   ) 在直线 P c O s (  一  

=n  

(  , 孕) , ( 2 , 詈) .  
上, 可 得 n一√ 2, 故 直 线 z的 方 程 可 化 为 p c o s   0 + 

彝  
疆  , 

,  

妻  釜 差  

p s i n  = = = 2 , 从 而直 线 z 的直角 坐标方 程 为 
+. y~ 2— 0.  

参 数方 程及极 坐标 方程 化为 普通 方程来 解决.  
类型 4 以参数方 程 为载体 。 考 查 圆 锥 曲线 问 题 

( 2 )由 已 知 得 圆 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 (  一1 )   + 

一l , 所 以 圆心 为 ( 1 , O ) , 半径 r —l , 因为 圆心 到直 线  z 的距 离 d一  <1 , 所 以直线 与 圆相交 .  

例 4 ( 2 0 1 3年 湖北 理 )在 直 角 坐 标 系 x O y中 ,  

椭 圆 C 的 参 数 方 程 为 {   一   ’ (   为 参 数 , 。 > 6 >  
O ) . 在 极坐标 系 ( 与 直 角坐 标 系 x O y取 相 同 的长 度 单  位, 且 以原 点 0为 极 点 , 以  轴 正 半轴 为极 轴 ) 中, 直 

彝  量  

嚣  冀  

重点和 难 点 , 本 题 既考 查 了参 数 方 程 、 极 坐标 方 程 与   普通方 程 的互化 问题 , 又考 查 了直 线 - 0圆锥 曲线 的位 

线z 与圆0的极坐标方程分别为』 D s i n ( 0 f季) 一  
( m 为非零 常 数 ) 与p —b . 若直线 l 经 过 椭 圆 C 的 焦 
点, 且 与圆 O相切 , 则椭 圆 C的离心 率为
. 
— —

置 关 系问题 , 是 在 知 识 的交 汇 点 出题 , 是 近 几年 高 考 
的热 点, 应该 引起 我们足 够 的 重视.   总之 , 坐标 系 与 参 数 方 程 是 高 考 的选 讲 内 容 , 考  查题 型重 点 是求 直线 与 圆锥 曲线 的参 数 方 程 或 极 坐 

Q  本 题 考 查 参 数 方 程 、 极 坐 标 方 程 与 普 通 方 程  
的转 化? 椭 圆 的 标 准 方 程 为  +  一 1 ?由  

标方 程 、 参 数 方 程 与极 坐标 方 程 的 互 化 问 题 , 通 过 普  通方 程为 桥梁 , 在极 坐标 系 下求 两 点 问 的距 离 或者 点  到直 线 的距离 问题 往 往 需 要 理 解 P的几 何 意 义 以及  直线 方程 . 以参 数方 程为 载 体考 查 圆锥 曲线 有 关几 何 
量 问题及 求直 线 方 程 和直 线 与 圆锥 曲线 的位 置 关 系  问题 , 是 坐标 系 与 参 数 方 程 常 考 的 重 点 题 型 , 只有 掌  握这 些 , 考生对 这 部分知 识解 答起 来 才会得 心 应手.  

p   i n ( 0 + 4 ) - y   m , 得 譬 ( P c O   O + p   , /   g  口   将极 坐标下 的点 、 直 线方程 化 为 直 角 坐标 系下 的点 及 
直线 方 程为 a T +y - m=0 . 由l 0 一b , 得l D   =b   , 即  +  Y   一6   , 所 以 圆 的标 准 方 程 为 z   +Y   一b   . 因 为直 线 

+j , 一7 7 z 一0过椭 圆 的焦点 , 代入得  一 ±f . 直 线 + 
y -m=O  ̄ L j - 圆 . 3 2 2 +I y z —b  相 切 , 则  =b , 即J   l 一  

( 作 者单位 : 山 东省平度 第一 中学)  
化 

在这一人航海的人生浩瀚大海中, 理 想是 罗盘针 , 热情是疾风 


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