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上海市金山中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题


金山中学 2015 学年度第一学期高二年级数学学科期中考试卷
(考试时间:90 分钟 满分:100 分 ) 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分。 1.已知向量 a ? (1, k ), b ? (9, k ? 6). 若 a / / b ,则实数 k ? ____

____.

?

?

?

?

开始 输入 i
n ?1

1 2 3
2.行列式 4

5 6 中,6 的代数余子式的值是_______. 7 8 9

S ?0

3.若向量 a ? (1, x), b ? (2,1), 且 a ? b ,则 | a ? b | ?

?

?

?

?

? ?? ?



n ? n ?1

4.直线 l 经过点 P(?2,1) ,且点 A(?1,?2) 到 l 的距离为 1 ,则直线 l 的 方程为 . .

S ? S ?n
n?i?
否 是

5.执行右图的程序框图,如果输入 i ? 6 ,则输出的 S 值为
2 2

输出 S 第 5 题图 结 束

6.已知直线 l : x ? 2 y ? 0, 圆 C : x ? y ? 6 x ? 2 y ? 15 ? 0 ,直线 l 被圆所截得的线段长为 .

7.如图 | OA |?| OB |? 1, OA 与 OB 的夹角为 120? , OC 与 OA 的夹角 为 30 , | OC |? 5 ,则 OC ?
?

. (用 OA和OB 表示)

C

B

O

A

第 7 题图

2 2 8.过点 M ( 3, y0 ) 作圆 O : x ? y ? 1 的切线,切点为 N ,如果 ?OMN ?

?
6

,那么 y0 的取

值范围是_________. 9.在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l : ax ? y ? 3 ? 0 ,点 A(0,2) ,若直线 l 上存在点 M , 满足 | MA |2 ? | MO |2 ? 10 ,则实数 a 的取值范围是__________. 10.已知点 P (a, b) 关于直线 l 的对称点为 P?(b ? 1, a ? 1) ,则圆 C : x 2 ? y 2 ?6 x ? 2 y ? 0 关于 直线 l 对称的圆 C ? 的方程为 .

? ? ? ? ? ? ? ? 11.已知向量 a 、 b ,满足 | a |? 1 , (a ? b) ? (a ? 2b) ? 0 ,则 | b | 的最小值为_________.
12.在圆 x ? y ? 25 上有一点 P(4,3) ,点 E , F 是 y 轴上两点,且满足 | PE |?| PF | ,直线
2 2

PE , PF 与圆交于 C , D ,则直线 CD 的斜率是________.
二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在
-1-

答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分。 13. “ a ? 2 ”是直线“ ax ? 2 y ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行的 ( )

A . 充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要

-2-

14.如果命题“坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,那么下列命题正 确的是 ( )

A .坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都不在曲线 C 上; B .曲线 C 上的点的坐标不都满足方程 F ( x, y) =0;

C .坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点,有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上;
D .至少有一个不在曲线 C 上的点,它的坐标满足 F ( x, y) ? 0.
15.直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是 ( )

? ? ? 5? A .[ , ) ? ( , ] 6 2 2 6 5? C . [ 0, ] 6

? 5? B . [0, ] ? [ , ? ) 6 6 ? 5? D .[ , ] 6 6

16. 已知 A, B, C 为圆 O 上三点, CO 的延长线与线段 AB 的延长线交于圆 O 外 D 点。若

OC ? mOA ? nOB, 则 m ? n 在以下哪个范围内
A.(0,1) B.(?1,0) C.(??,?1) D.(1,??)

(

) D

O 第 16 题图

B

C

A

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤。 17. (本题满分 8 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分。 已知 a ? (2,1), b ? (?1,3) ,向量 c 满足: a ? c ? 4, b ? c ? ?9 ,求: (1)向量 a 在向量 b 上的投影; (2)向量 c 的坐标.

?

?

-3-

18. (本题满分 8 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分。 已知圆 C 在 x 轴上的截距为 ? 1 和 3 ,在 y 轴上的一个截距为 1 . (1)求圆 C 的标准方程; (2)求过原点且被圆 C 截得的弦长最短时的直线 l 的方程.

-4-

19. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分。
' ? x ? ? a b ?? x ? ?a b? 设 2 阶方矩阵 A ? ? ? ,则矩阵 A 所对应的矩阵变换为: ? y ? ? ? c d ? ? ? '? ? ,其意 ? ? ? ?? y ? ?c d ?

义是把点 P( x, y ) 变换为点 Q( x' , y ' ) ,矩阵 A 叫做变换矩阵。 (1) 当变换矩阵 A1 ? ?

?1 2 ? 1 (?1,1) ,P 2 (?3,1) 经矩阵变换后得到点分别是 Q 1 ,Q2 , ? 时,点 P ? 2 1?

求过点 Q1 , Q2 的直线的点方向式方程. (2)当变换矩阵 A2 ? ?

?1 3 ? ? 时,若直线上的任意点 P( x, y ) 经矩阵变换后得到的点 Q 仍在 ? 8 ? 1?

该直线上,求直线方程.

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。 设直线 l 为公海的分界线,一巡逻艇在 A 处发现了北偏东 60 的海面 B 处有一艘走私船, 走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮 C 航行,以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走 私船航速的 2 倍, A 与公海相距约为 20 海里, 走私船可能向任一方向逃窜, 请回答下列问题: (1)如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行,那么走私船能被截获的点是哪些? (2)根据截获点的轨迹,探讨“可截获区域”和“非截获区域”.
?

-5-

y

B ?
O

x

? A


-6-

21. (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第,3 小 题满分 5 分。 现代城市大多是棋盘式布局(如上海道路几乎都是东西 和南北走向) 。在这样的城市中,我们说的两点间的距离 往往不是指两点间的直线距离(位移) ,而是实际路程 (如图) 。在直角坐标平面内,我们定义 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? 两点间的“直角距离”为: D? AB? ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。 (1)在平面直角坐标系中,写出所有满足到原点的“直角距离” 为 2 的“格点”的坐标; (格点指横、纵坐标均为整数的点) (2) 定义: “圆” 是所有到定点 “直角距离” 为定值的点组成的图形, 点 A(1,3), B(1,1), C (3,3) , 求经过这三个点确定的一个“圆”的方程,并画出大致图像; (3)设 P( x, y ) ,集合 B 表示的是所有满足 D( PO) ? 1的点 P 所组成的集合, 点集 A ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} ,求集合

Q ? {( x, y) | x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面积.

-7-

金山中学 2015 学年度第一学期高二年级数学学科期中考试参考答案 (考试时间:90 分钟 满分:100 分 命题人:康晨弘 审核人:陈繁球) 一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律得零分。 1.已知向量 a ? (1, k ), b ? (9, k ? 6). 若 a / / b ,则实数 k ? ___ ?

?

?

?

?

3 _____. 4

开始 输入 i
n ?1

1 2 3
2.行列式 4

5 6 中,6 的代数余子式的值是__ 6 _____. 7 8 9

S ?0

3.若向量 a ? (1, x), b ? (2,1), 且 a ? b ,则 | a ? b | ?

?

?

?

?

? ?? ?

10



n ? n ?1

4.直线 l 经过点 P(?2,1) ,且点 A(?1,?2) 到 l 的距离为 1 ,则直线 l 的 方程为

S ? S ?n
n?i?
否 是

x ? ?2 或 4 x ? 3 y ? 10 ? 0 .
21


输出 S 第 5 题图 结 束

5.执行右图的程序框图,如果输入 i ? 6 ,则输出的 S 值为

6.已知直线 l : x ? 2 y ? 0, 圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 15 ? 0 ,直线 l 被 圆所截得的线段长为

4 5


?

7.如图 | OA |?| OB |? 1, OA 与 OB 的夹角为 120 , OC 与 OA 的夹角 为 30 , | OC |? 5 ,则 OC ?
?

10 3 5 3 OA ? OB 3 3

. (用 OA和OB 表示)

C

B

O
2 2 8.过点 M ( 3, y0 ) 作圆 O : x ? y ? 1 的切线,切点为 N ,如果 ?OMN ?

A

第 7 题图

?
6

,那么 y0 的取

值范围是_____ ? 1 ? y0 ? 1 ____. 9.在平面直角坐标系 xoy 中,已知直线 l : ax ? y ? 3 ? 0 ,点 A(0,2) ,若直线 l 上存在点 M , 满足 | MA | ? | MO | ? 10 ,则实数 a 的取值范围是__ a ? ? 3 _或 a ?
2 2 2

3 ____. 10.已知点 P (a, b) 关于直线 l 的对称点为 P?(b ? 1, a ? 1) ,则圆 C : x ? y ?6 x ? 2 y ? 0 关于 2 2 直线 l 对称的圆 C ? 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 10 . ? ? ? ? ? ? ? ? 1 11.已知向量 a 、 b ,满足 | a |? 1 , (a ? b) ? (a ? 2b) ? 0 ,则 | b | 的最小值为__ ____. 2
2

-8-

12.在圆 x 2 ? y 2 ? 25 上有一点 P(4,3) ,点 E , F 是 y 轴上两点,且满足 | PE |?| PF | ,直线

PE , PF 与圆交于 C , D ,则直线 CD 的斜率是__

4 ______. 3

二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 3 分,否则一律得零分。 13. “ a ? 2 ”是直线“ ax ? 2 y ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行的 (

C

)

A . 充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要

14.如果命题“坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,那么下列命题正 确的是 (

D

)

A .坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点都不在曲线 C 上; B .曲线 C 上的点的坐标不都满足方程 F ( x, y) =0;

C .坐标满足方程 F ( x, y) ? 0 的点,有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上;
D .至少有一个不在曲线 C 上的点,它的坐标满足 F ( x, y) ? 0.
15.直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的范围是 (

B

)

? ? ? 5? A .[ , ) ? ( , ] 6 2 2 6 5? C . [ 0, ] 6

? 5? B . [0, ] ? [ , ? ) 6 6 ? 5? D .[ , ] 6 6

16. 已知 A, B, C 为圆 O 上三点, CO 的延长线与线段 AB 的延长线交于圆 O 外 D 点。若

OC ? mOA ? nOB, 则 m ? n 在以下哪个范围内
A.(0,1) B.(?1,0) C.(??,?1) D.(1,??)

(

B

) D

O 第 16 题图

B

C

A

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤。 17. (本题满分 8 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分。
-9-

已知 a ? (2,1), b ? (?1,3) ,向量 c 满足: a ? c ? 4, b ? c ? ?9 ,求: (1)向量 a 在向量 b 上的投影; (2)向量 c 的坐标. 解: (1)

?

?

a ?b |b|

?

1 10

?

10 . 10

(2)设 c ? ( x, y) 则

? 2x ? y ? 4 ? x?3 ?? ? ?? x ? 3 y ? 9 ? y ? ?2

? c ? (3,?2).

18. (本题满分 8 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分。 已知圆 C 在 x 轴上的截距为 ? 1 和 3 ,在 y 轴上的一个截距为 1 . (1)求圆 C 的标准方程; (2)求过原点且被圆 C 截得的弦长最短时的直线 l 的方程. 解: (1)设 A(?1,0) ,B(3,0) ,D(0 ,1) , 则 AB 中垂线为 x ? 1 , AD 中垂线为 y ? ?x ,

? x ? 1, ∴圆心 C ( x, y ) 满足 ? ? y ? ?x,

∴ C (1,? 1) ,半径 r ? CD ? 1 ? 4 ? 5 ,

∴圆 C 的标准方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 5 . (2) l ? OC 时,截得的弦长最短,

l : x ? y ? 0.
19. (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分。 设 2 阶方矩阵 A ? ?
' ? x ? ? a b ?? x ? ?a b? A ? ,则矩阵 所对应的矩阵变换为: ? ? ? ? ?? ' ? ? ? ,其意 ? y ? ?c d ?? y ? ?c d ?

义是把点 P( x, y ) 变换为点 Q( x , y ) ,矩阵 A 叫做变换矩阵。 (1) 当变换矩阵 A1 ? ?

'

'

?1 2 ? 1 (?1,1) ,P 2 (?3,1) 经矩阵变换后得到点分别是 Q 1 ,Q2 , ? 时,点 P ? 2 1?

求过点 Q1 , Q2 的直线的点方向式方程. (2)当变换矩阵 A2 ? ?

?1 3 ? ? 时,若直线上的任意点 P( x, y ) 经矩阵变换后得到的点 Q 仍在 ? 8 ? 1?

该直线上,求直线方程.

- 10 -

解: (1) ? ?

? ? 1? ? 1 2 ?? x ' ? ? x ' ? 2 y ' ? ? ? ? ,则 ? ? ??? ? ?? '? ? '??? ' ? 1 ? ? 2 1 ?? y ? ? 2 x ? y ?

' ' ' ? ? x ? 2 y ? ?1 ? x ? 1 ?? ' ? ' ' ? ? y ? ?1 ? 2x ? y ? 1

? 点 Q1 (1,?1) .

同理点 Q2 ( ,? ).

5 3

7 3

4? ?2 Q1Q2 ? ? , ? ? 3? ?3
x ?1 y ?1 x ?1 y ?1 ? ? ,即 . 2 4 1 ?2 ? 3 3

直线 Q1Q2 的点方向式为

? x ? ? 1 3 ?? x ' ? ? x ' ? 3 y ' ? ? ? ?, (2) ? ? ? y? ??? ? ?? '? ? '??? ' ? ? ? 8 ? 1?? y ? ? 8 x ? y ?
? ' x ? 3y ?x ? x' ? 3y ' ? x ? 25 ? ? ? ' ' 8x ? y ? y ? 8x ? y ?y' ? 25 ?
.

设 l1 : ax ? by ? c ? 0

( a , b 不全为 0 ) 即

l2 : a

x ? 3y 8x ? y ?b ?c ?0 25 25

(a ? 8b) x ? (3a ? b) y ? 25c ? 0

由题知 l1 与 l 2 重合得 D ?

a b 4 ? 3a 2 ? 2ab ? 8b 2 ? 0 , ? a ? 2b 或 a ? ? b 3 a ? 8b 3a ? b
c ? 0.

Dx ?

?c b ? 0 ,得 ? 25c 3a ? b
或 或

Dy ?

a ?c ?0 a ? 8b ? 25c

? 2bx ? by ? 0


4 (? b) x ? by ? 0 3

2x ? y ? 0

4x ? 3 y ? 0 .

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。 设直线 l 为公海的分界线,一巡逻艇在 A 处发现了北偏东 60 的海面 B 处有一艘走私船, 走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮 C 航行,以便上海轮后逃窜.已知巡逻艇的航速是走 私船航速的 2 倍, A 与公海相距约为 20 海里, 走私船可能向任一方向逃窜, 请回答下列问题: (1) 如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行,那么走私船能被截获的点是哪些? (2)根据截获点的轨迹,探讨“可截获区域”和“非截获区域”.
?

- 11 -

解:以 A 为原点,以正东方向为 x 轴,并以海里为单位 建立直角坐标系,设 | AB |? 2t , (t ? 0) ,则 B ? ( 3t , t ) (1) 设截获点为 P( x, y ) ,则 | PA |? 2 | PB | , 即 x ? y ? 2 ( x ? 3t ) ? ( y ? t )
2 2 2 2

化简的 ( x ?

4 3 2 4 4 t) ? ( y ? t)2 ? ( t)2 . 3 3 3 4 3 4 t , t ) 为圆心, 3 3

截获点的轨迹是以 D(

4 t 为半径的圆. 3
(2) 设点 Q( x, y ) 在圆 D 内部,则 ( x ?

4 3 2 4 4 t ) ? ( y ? t ) 2 ? ( t ) 2 ,化简的 3 3 3

x 2 ? y 2 ? 2 ( x ? 3t ) 2 ? ( y ? t ) 2

即 | QA |? 2 | QB | .

可截获区域为为领海上的圆 D 外部,非截获区域为为领海上的圆 D 内部。

- 12 -

21. (本题满分 14 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第,3 小 题满分 5 分。 现代城市大多是棋盘式布局(如上海道路几乎都是东西 y 和南北走向) 。在这样的城市中,我们说的两点间的距离 往往不是指两点间的直线距离(位移) ,而是实际路程 (如图) 。在直角坐标平面内,我们定义 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? 两点间的“直角距离”为: D? AB? ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。 (1) 在平面直角坐标系中, 写出所有满足到原点的 “直角距离” 为 2 的“格点”的坐标; (格点指横、纵坐标均为整数的点) (2)定义:“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成
O

B ?
x

? A


的图形,点 A(1,3), B(1,1), C (3,3) ,求经过这三个点确定的一个“圆”的方程,并画出大致图 像; (3)设 P( x, y ) ,集合 B 表示的是所有满足 D( PO) ? 1的点 P 所组成的集合, 点集 A ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} , 求集合 Q ? {( x, y) | x ? x1 ? x2 , y ? y1 ? y2 , ( x1 , y1 ) ? A, ( x2 , y2 ) ? B} 所表示的区域的面 积. 解: (1)

?0,2? 、 ?1,1?、 ?2,0? 、 ?1,?1? 、 ?0,?2? 、 ?? 1,?1?、 ?? 2,0? 、 ?? 1,1?

(2)设定点坐标为 (a, b), 定值为 r , “圆”的方程为 | x ? a | ? | y ? b |? r. 则

?| a ? 1 | ? | b ? 3 |? r ?a ? 2 ? ? ? | a ? 1 | ? | b ? 1 |? r ? ?b ? 2 . ?| a ? 3 | ? | b ? 3 |? r ?r ? 2 ? ?
“圆”的方程为 | x ? 2 | ? | y ? 2 |? 2 .

y

4 1
2
O 1 x

2

4

- 13 -

(3) B ? {( x, y) || x | ? | y |? 1}

? x ? x1 ? x2 ? x ? x ? x1 ?? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? y 2 ? y ? y1
? ( x2 , y2 ) ? B, ? | x2 | ? | y 2 |? 1
即 | x ? x1 | ? | y ? y1 |? 1

? 点集 A 表示以原点为中心,边长为 2 的正方形及其内部, ? 点集 Q 表示以点 A 内的点为定点, 1 为定长的“圆”及其内部.
面积 S ? 4 ? 4 ?

1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 14 . 2

- 14 -


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