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1.2空间几何体的结构、直观图、三视图


学案1 空间几何体的结构、 视 图和直观图

考 纲 解 读
1.认识柱、锥、台、球及其组合体的结构特征, 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的 结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、 圆锥、棱柱等的简单组合)的三视图,能识别 上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法 画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单

空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的 不同表示形式.
4.会画某些建筑物的三视图与直观图.

空间几
何体的 结构、

三视图
和直观 图

考 向 预 测
1.空间几何体的结构常常在小题中考查,有时也渗透 在解答题中考查某个几何体的结构特征. 2.直观图常常与三视图同时考查,由几何体的直观图 确定三视图或由几何体的三视图确定对应直观图. 3.三视图是新课标中新增加的内容,对考生要求较低, 一般不会直接考查作图,但经常会与立体几何中有关的 计算问题融合在一起,如面积、体积的计算,从而考查

考生的空间想象能力,因此要对常见的几何体的三视图
有所理解,并能够进行识别和判断.

1、多面体与旋转体 一般地,把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多 各个多边形 面体.围成多面体的 叫做多面体的面; 公共边 相邻两个面的 叫做多面体的棱;棱与棱 的 公共点 叫做多面体的顶点.

把由一个平面图形绕它所在平面内的 一条定直线 旋 转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转 体的轴.

2、棱柱的结构特征

一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面 两个互相平行 所围成的多面体叫做棱柱.棱柱中, 的面叫 做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相 侧棱与底面 邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱; 的公共顶

点叫做棱柱的顶点.
根据底面多边形的边数分为:三棱柱、四棱柱、五 棱柱等.

3、棱锥的结构特征 一般地,有一个面是多边形,其余各面都是有一个 公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有 公共顶点 的各 个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥 的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.

按照底面多边形的边数分为:三棱锥、四棱锥、…、 n棱锥.其中三棱锥也叫四面体.
4、棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面 去截棱锥,底面 与截面之间的部分,叫做棱台.原棱锥的底面和截面分别 叫做棱台的下底面和上底面,棱台也有侧面、侧棱、顶点, 上、下底面的距离叫棱台的高.

5、圆柱的结构特征

以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的 面所围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴 的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面; 平行于轴的边 旋 转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂 直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
6、圆锥的结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两 边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的 轴; 垂直于轴的直角边 旋转而成的圆面叫做圆锥的底 面;斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面;无论旋转到什么 位置,斜边都叫做圆锥侧面的母线.

7、圆台的结构特征 用 平行于圆锥底面的平面 去截圆锥,底面与 截面之间的部分叫做圆台.与圆柱和圆锥一样,圆台也有 轴、底面、侧面、母线.棱台与圆台统称为台体. 8、球的结构特征 以 半圆的直径 所在直线为旋转轴,半圆面旋 转一周形成的旋转体叫做球体,简称球.半圆的圆心叫做 球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球 的直径. 9、中心投影和平行投影 (1)中心投影: 光由一点向外散射 形成的投影.

(2)平行投影:在一束平行光线照射下 形成的投影.

10、三视图 一个物体的三视图的排列规则是:俯视图放 在 正(主)视图的下面 ,长度和正(主)视图一样, 侧(左)视图放在 正视图的右面 ,高度和主视图一样,宽 度与俯视图一样. 11、斜二测画法的步骤 (1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴、z轴,相 交于O点,画直观图时,画成相应的x′轴、y′轴、z′轴, 相交于O′点,使∠x′O′y′= , 45°(135°) 90° . ∠z′O′x′= (2)已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段,在直 观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴、z′轴 的线段.

(3)已知图形中平行于x轴、z轴的线段,在直观图 中 保持原长度不变 ,平行于y轴的线段,长度 为 原来的一半 .

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1、设有四个命题:①底面是矩形的平行六面体 是长方形;②棱长相等的直四棱柱是正方形; ③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是 直平行六面体; ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。 以上四个命题中,真命题的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:A

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2、给出下列命题: ①在圆柱的上下底面上各取一点,则这两点的连线是圆 柱的母线; ②圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的的连线是圆锥的 母线; ③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的 连线是圆台的母线; ④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的。 其中正确的是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 答案:D

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1、下列说法正确的是 ( ) A有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体 叫做棱柱 B有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几 何体叫叫做棱柱 C有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几 何体叫棱锥 D棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平 面与底面之间的部分

? ?

答案:D A有可能是台体,B有可能是组合体,C有可能 是台体

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2.下列结论正确的是 ( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两 边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此 棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都 是母线

【解析】A错误.如图所示,由两个结构相同的三棱

锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不
一定是棱锥. B错误.如图,若△ABC不是

直角三角形或是直角三角形,
但旋转轴不是直角边,所得

的几何体都不是圆锥.
C显然错误. 故应选D. 返回目录

解决这些问题必须充分理解柱、锥、台、球等

有关几何体的定义,抓住定义中的本质.

?

【例2】 (2008·海南、宁夏高考改编)如下的 三个图中,上面的是一个长方体截去一个角后 所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在 下面画出(单位:cm).
在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多 面体的俯视图.

?

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思路分析:根据正视图和侧视图可确定出点G、 F的位置,从而可以画出俯视图.

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解:如下图

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变式迁移 2 把本例中的几何体上下颠倒后如 图,试画出它的三视图.

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解:三视图:

(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图

分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮
廓线的正投影围成的平面图形,反映了一个几何体各个 侧面的特点.

(2)画几何体的三视图时,能看到的轮廓线画成
实线,看不到的轮廓线画成虚线.

1.中心投影法 投影线汇交于一点的投影法.
s A B a c b C

中心投影法

2.平行投影法 投影线相互平行的投影法. (1)斜投影法 投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法. (2)正投影法 投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.
斜 投 影 法
a c b

A

C B

A C

B
a b

正 投 影 法

c

平行投影法

?

? ? ? ?

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?

3.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个 圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:设母线为l,底面半径为r,则πl=2πr. ∴ ∴母线与高的夹角为30°.∴圆锥的顶角为 60°. 答案:C

?

4.如下图所示为长方体木块堆成的几何体的 三视图,此几何体共由________块木块堆成.

?

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解析:该几何体底层有3块木块,上层1块木 块. 答案:4

?

5.如下图,是一个正方体的展开图,在原正 方体中,相对的面分别是________.

?

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解析:将展开图还原为正方体,可得①与④相 对,②与⑥相对,③与⑤相对. 答案:①与④,②与⑥,③与⑤

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?
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6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为 上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一 些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的 平面图形,则标“”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解:展、折问题。易判断选B

考点4

三视图

7、[2010年高考广东卷]如图,△ABC为正三角形, AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′= 3 2 BB′=CC′=AB,则多面体ABC—A′B′C′的正(主)视 图是( )

【分析】根据图形和数据,按正(主)视图画法确定选项. 【解析】由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC,知BB′⊥平 面ABC.
3 又CC′= BB′,且△ABC为正三角形,故正(主)视图应为D 2 中的图形.

故应选D.

8、
[2010年高考辽宁卷]如图,网格纸的小 正方形的边长是1,在其上用粗线画出了 某多面体的三视图,则这个多面体最长的 2 3 一条棱的长为 . (由正(主)视图和俯视图 可知几何体是正方体切 割后的一部分(四棱锥 C1—ABCD),还原在正方 体中,如图所示.

多面体最长的一条棱即 为正方体的体对角线,由 正方体棱长AB=2知最长 棱的长为 2 3 .)

9、 [2010年高考北京卷]一个长方体去

掉一个小长方体,所得几何体的正
(主)视图与侧(左)视图分别如图 所示,则该几何体的俯视图为( )

【分析】由正(主)视图和侧(左)视图探讨几何体直观图,

并由直观图画出俯视图.
【解析】由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几何

的直观图如图所示,所以该几何体的俯视图为C.
故应选C.

本题考查了三视图的知识,解题的关键是理解、掌握
三视图与直观图的关系,特别是应明确三视图是从几何体 的哪个方向看到的.

?

10.将正三棱柱截去三个角(如图1所示分别是三边 的中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所 示方向的侧视图(或称左视图)为 ( )
H B I A C G 侧视 B A C B B B B

E F

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

?

答案:A
图1

【13】 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是 一个边长为 a 的正方形,则原平面四边形的面积等于 ( 2 2 A. 4 a 2 2 C. 2 a B.2 2a2 2 2 2 D. 3 a )

解析: 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规 则,可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的 2 面积 S′之间的关系是 S′= 4 S,本题中直观图的面
2 a 积为 a2,所以原平面四边形的面积等于 =2 2a2. 2 4

解决这类题的关键是根据斜二测画法求出原三角

形的底边和高,将水平放置的平面图形的直观图还原成
原来的实际图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是 使平行于x轴的线段的长度不变,而平行于y轴的线段

的长度变为直观图中平行于y′轴的线段长度的2倍.

对于直观图,除了了解其画图规则外,还要了解 原图形面积 S 与其直观图面积 S′之间的关系 S′= 2 4 S,能进行相关问题的计算.

1.正棱锥问题常归结到它的高、侧棱、斜高、底面 正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面边长的一 半构成的直角三角形中解决.

2.圆柱、圆锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这一
特点,弄清旋转轴、旋转面、轴截面. 3.台体可以看成是由锥体截得的,但一定强调截面与 底面平行.

4.在绘制三视图时,若相邻两物体的表面相交,表面

的交线是它们的分界线.在三视图中,分界线和可见轮廓
线都用实线画出,被挡住的轮廓画成虚线,并做到“正侧 一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”. 5.在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行 于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段

平行性不变,长度减半”.

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1.要明确柱体、锥体、台体和球的定义,定 义是处理问题的关键;认识和把握几何体的几 何结构特征,是我们认识空间几何体的基础; 对于几何体的结构特征要从其反映的几何体的 本质去把握,有利于从中找到解题突破点.

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2.三视图和直观图是空间几何体的不同的表 现形式,空间几何体的三视图可以使我们很好 地把握空间几何体的性质.由空间几何体可以 画出它的三视图,同样由三视图可以想象出空 间几何体的形状,两者之间可以相互转化.

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3.利用斜二测画法,我们可以画出空间几何 体的直观图,求直观图面积的关键是依据斜二 测画法,求出相应的直观图的底边和高,也就 是在原来的实际图形中的高线,在直观图中变 为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的 线段,以此为依据来求出相应的高线即可.将 水平放置的直观图还原成原来的实际图形,其 作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x 轴的线段的长度不变,而平行于y轴的线段的 长度变为原来的2倍. 4.平行投影的投影线互相平行,中心投影的 投影线相交于一点.


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