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四川省成都外国语学校2013届高三9月月考 数学文




成都外国语学校高 2013 级高三第一次月考试题
数学试题(文科) 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中。只有一项 是符合题目要求的。 1. 若集合 A ? { ? 1, 1} ,B ? { 0 , 2 } ,则集合 { z | z ? x ? y , x ? A , y ? B } 中的元素的个数为( A.5 B. 4 2.下列命题正确的是(
? ? ? ? ? ? ?

)

C. 3 ).
? ?

D.

2
? ?

A.若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;
?

B. a ? b 的充要条件是 a ? b ? 0
? ?

C. 若 a 与 b 的夹角是锐角的必要不充分条件是 a ? b ? 0 ; D. a // b 的充要条件是 a ? ? b 3. 已知三条不重合的直线 m 、 n 、 l ,两个不重合的平面 ? 、 ? ,有下列命题: ①若 m ∥ n , n ? ? ,则 m ∥ ? ; ②若 l ? ? , m ? ? ,且 l ∥ m ,则 ? ∥ ?
? ? ? ?

③若 m ? ? , n ? ? , m / / ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ④若 ? ? ? , ? ? ? = m , n ? ? , n ? m ,则 n ? ? 其中正确命题的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4、如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线 的两顶点,若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的 比值是 A、3 B、2 C、 3 D、 2

5、如右图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A、16 B、24 C、34 D、48 6 如果数列 a 1 ,
a2 a1



a3 a2

,?,

an a n ?1

,?是首项为 1,公比为 ? 2 的

等比数列,则 a 5 等于( A.32 B.64
1 2

) C.-32
1 3
·1·

D.-64

7、某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 S 的值是( ) A、-3 B、- C、 D、2



8. 曲线 C 的直角坐标方程为 x +y -2x=0,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲 线 C 的极坐标方程为( ) A. ? ? 2 sin ? 9. 已知 f ? x ? ? a
x?2

2

2

B.

? ? co s ?

C.

?

2

? 2 co s ?

D. ? ? 2 cos ?

, g ? x ? ? lo g a x ? a ? 0, a ? 1 ? ,若 f

? 4 ? ? g ? ?4 ? ? 0 ,则 y= f ? x ? ,y= g ? x ? 在

同一坐标系内的大致图象是(


y

y 1 -1 o 1 2
A

y 1 o 1 2 x
C

y 1 -1


x

1 -1 x o 1 2
B

-1

x o 1 2

10.函数 f ( x ) 满足 f / ( x 0 ) ? 0 是函数 f ( x ) 在点 x ? x 0 处存在极值的( A. 充分不必要条件

D

B.必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
??? ? ??? ? ???? ?
S ?AOB S ?AOC ?

11. 已知 O 是正三角形 ABC 内部一点,满足 O A ? 2 O B ? 4 O C ? 0 ,则
3 2 5 3
/

A.

B. 5

C. 2

D.

12.设函数 f ( x ) 是定义在 (0, ? ? ) 的非负可导的函数, 且满足 xf ( x ) ? f ( x ) ? 0 , 对任意的正数 a , b , 若 a ? b ,则必有( A. a f ( b ) ? b f ( a ) ) B. b f ( a ) ? a f ( b ) C. a f ( a ) ? f ( b ) D. b f ( b ) ? f ( a )

二、填空题(本大题共 4 题,每小题 4,共 16 分) 13.设 a,b ? R,a+bi= 14.已知 c o s (? ? ? ) ?
1 3 11 ? 7i 1 ? 2i

(i 为虚数单位) ,则 a+b=_______.
1 2 , 则 lo g

, c o s (? ? ? ) ?

5

(tan ? ? tan ? ) ? _________.

15.若实数 x,y 满足 ? y ≥ ?

? 2 x ? y ≥ 0, x,

且 z ? 2 x ? y 的最小值为 4,则实数 b 的值为______

? y ≥ ? x ? b, ?

3 ? 4 ? 8 | x ? |,1 ? x ? 2 ? ? 2 16. 已知定义在 [1, ? ? ) 上的函数 f ( x ) ? ? ,给出下列结论: 1 x ? f ( ), x ? 2 ? ? 2 2

①函数 f ( x ) 的值域为 [ 0 , 4 ] ;②关于 x 的方程 f ( x ) ? ( ) 有 6 个不相等的实根;
2

1

③当 [1, 2 ] 时,函数 f ( x ) 的图象与 x 轴围成的图形的面积为 S ,则 S ? 2 ;

·2·



④存在 x 0 ? [1, 8 ] ,使得不等式 x 0 f ( x 0 ) ? 6 成立。 其中你认为正确的所有结论的序号为_________. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17(本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 cos
2

?x
2

? cos( ? x ?

?
3

), (其中 ? ? 0 ) 的最小正周期为 ? 。

(Ⅰ)求 ? 的值,并求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,若 f ( A ) ? ?
? ABC 的面积为 6 3 ,求 ? ABC 的外接圆面积。
1 2 , c ? 3,

18、 (本小题满分 12 分) 某研究性学习小组对昼夜温差与某种子发芽数的关系进行研究,他们分别记录了四天中每天昼 夜温差与每天 100 粒种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:

(I)求这四天浸泡种子的平均发芽率; (II)若研究的一个项目在这四天中任选 2 天的种子发芽数来进行,记发芽的种子数分别为 m,n(m <n) ,则(m,n)的形式列出所有的基本事件,并求“m,n 满足 ? 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知正三棱柱 A B C
? A1 B 1 C 1 各棱长都为 a

?m ? 30 ?n ? 40

”的事件 A 的概率。
A1

, P 为线段 A1 B 上的动点. ; 的大小;

B1

C1

(Ⅰ)试确定 A1 P : P B 的值,使得 P C (Ⅱ)若 A1 P : P B ? 2 : 3 ,求二面角 P 20.(本题满分 12 分)函数
2

? AB

P

? AC ? B

A
f ( x ) ? (1 ? x ) ? ln (1 ? x )
2



B

C

(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若关于 x 的方程
f (x) ? x ? x ? a
2

在 [0 , 2 ] 上恰有两个零点,求实数 a 的取值范围。

21、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的右焦点为 F(1,0) ,且点(-1,

2 2

)在椭圆 C 上。

(I)求椭圆 C 的标准方程;
·3·



(II)已知动直线 l 过点 F,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,试问 x 轴上是否存在定点 Q,使得
??? ??? ? ? 7 QA ?QB ? ? 恒成立?若存在 16

,求出点 Q 的坐标,若不存在,请说明理由。
1 2

22.己知函数 f ( x ) ? lo g 3 是 M,N 的中点。

3x 1? x

, M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) 是 f ( x ) 图像点的两点,横坐标为

的点 P

(1)求证: y 1 ? y 2 的定值; (2)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (
n n
an ? 1 4 ( S n ? 1 ? 1)( S n ? 2 ? 1) ? 1

1

2

n ?1 n

)( n ? N *, n ? 2 ), 求 S n ;
17 52

(3).设

, Tn 为数列{ a n }前 n 项和,证明: T n ?



成都外国语学校高 2013 级高三第一次月考试题
数学试题(文科)参考答案: 一、选择题: 题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 D 8 D 9 B 10 C 11 C 12 A

二、填空题: 13.___8____; 三、解答题:

14.____-2_____;

15._____3_______;16.____①③________

·4·



? ABC 的外接圆半径等于

a 2 sin A

?

7 3

?

7 3

3

则 ? ABC 的外接圆面积等于

49 ? 3

???(12 分)

19。 法一】 Ⅰ) P C 【 ( 当

? AB

时, P 在 A B 上的射影 D . 连结 C D .则 A B ? 平面 P C D , A B 作 ∴
?1.

? CD



∴ D 是 A B 的中点,又 P D // A A1 ,∴ P 也是 A1 B 的中点,即 A1 P : P B

反之当 A1 P : P B

?1

时,

取 AB 的中点 D ? , 连接 C D ? 、P D ? .∵ ? A B C 为正三角形, C D ? ? A B . ∴
P D ? // A1 A

由于 P 为 A1 B 的中点时,

∵ A1 A

?

平面 A B C ,∴ P D ? ? 平面 A B C ,∴ PC ? AB .??6′(Ⅱ)当 A1 P : P B ? 2 : 3
? AC

时,作 P 在 A B 上的射影 D . 则 P D ? 底面 A B C .作 D 在 A C 上的射影 E ,连结 P E ,则 P E ∴ ?DEP 为 二 面 角
P ? AC ? B

.

的 平 面 角 . 又 ∵ P D // A A1 , ∴

BD DA

?

BP PA 1

?

3 2

,∴ A D ?

2 5

a .∴

D E ? A D ? sin 6 0 ?

?

3 5

a

,又∵

PD A A1

?

3 5

,∴ PD ? a .∴ ta n ? P E D ?
5

3

PD DE

?

3

,∴ P

? AC ?B

的大

小为 ? P E D ? 6 0 ? .?12【法二】以 A 为原点, A B 为 x 轴,过 A 点与 A B 垂直的直线为 y 轴, A A1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 如图所示, P ? x , 0 , z ? , B ? a ,0,0 设 则

? 、A1 ? 0 , 0 , a ? 、C ? ?
1 2

?a ?2

,

3a 2

? ,0 ? ? ?

.

(Ⅰ)由 C P ? A B

??? ??? ? ?

? 0

得? x ? ?
?

?

a 2

,?

3a 2

? , z ? ? ? a , 0, 0 ? ? 0 ? ?

,即 ? x ?
?

?

a? ??a ? 0 2?

,∴ x ?

a

,即 P 为 A1 B 的

·5·



中点,也即 A1 P : P B
3a ? ? 2a , 0, ? ? 5 ? ? 5
?? ???? m ? A C ? 3, ?

?1

时, PC ? AB .????4′ (Ⅱ)当 A1 P : P B ? 2 : 3 时, P 点的坐标是 取
?? m ? 3, ?

.

?

3 , ?2

?

.



?? ??? ? m ? A P ? 3, ?

?

3a ? ? 2a 3, ?2 ? ? , 0, ?? 0 5 ? ? 5

?



?

?a 3, ?2 ? ? , ? 2 ?

?

3a 2

? ,0 ? ? 0 ? ?

.∴ m 是平面 P A C 的一个法向量.又平面 A B C 的一个法向量为

??

?? ? ?? ? ? m ?n 1 n ? ? 0 , 0 ,1 ? .∴ c o s ? m , n ? ? ?? ? ? 2 m ? n

,∴二面角 P ? A C ? B 的大小是 6 0 ? .??

·6·



·7·





3


1




1

S n ?1 ?

n 2
?

, S n?2 ?
1 n?2

n ?1 2
1 n?3









an ?

4 ( S n ? 1 ? 1)( S n ? 2 ? 1) ? 1

?

( n ? 2 )( n ? 3) ? 1

?

T n ? a1 ? (

1 4

?

1 5

)?(

1 5

?

1 6

)?? ? (

1 n?2

?

1 n?3

) ?

1 13

?

1 4

?

1 n?3

?

17 52

·8·


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