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浙江省金华十校2008—2009学年高三第一学期期末考试-数学(理)


浙江省金华十校 2008—2009 学年高三第一学期期末考试 数 学 试 题(理科)
注意事项: 1.考试时间为 2 小时,试卷总分为 150 分。 2.全卷分“试题卷”和“答题卷”各一张,本卷答案必须做在答题卷的指定位置上。 3.答题前请在“答题卷” 的密封线内填写学校、班级、姓名、学号、座位号。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知 P ? {x |

x ? 0, x ? R}, Q ? {x | x ? x 2 , x ? R}, 则" x ? P " 是 " x ? Q " 的 ( x ?1
B.充分不必要条件 D.不充分也不必要条件 (



A.充要条件 C.必要不充分条件 2.已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x ) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1, ( x ? N * ) ,猜想 f (x) 的表达式为 f ( x) ? 2
2 x ?1 2 D. f ( x ) ? 2x ? 1
B. f ( x ) ?



4 2 ?2 1 C. f ( x ) ? x ?1
x

3.给定性质:①最小正周期为 ? ,②图象关于直线 x ? 的是 A. y ? sin(

?

3

对称,则下列四个函数中,同时具有性质①② ( )

x ? ? ) 2 6

B. y ? sin( 2 x ? D. y ? sin( 2 x ?

? ?
6 6

) )

C. y ? sin | x |

4.若函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 2 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下:

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

f (1.375) ? ?0.260
3 2

f (1.4375 ? 0.162 )

f (1.40625 ? ?0.054 )
( D.1.5 ( ) )

那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确到 0.1)为 A.1.2 B.1.3 5.给出右边的程序框图,那么输出的数是 A.2450 B.2550 C.5050 D.4900 C.1.4

6.已知随机变量 ? ~ B(n, p)且E? ? 2.4, D? ? 1.44,

则参数 n, p 的值为





1

A. n ? 4, p ? 0.6 C. n ? 6, p ? 0.4

B. n ? 6, p ? 0.6 D. n ? 24, p ? 0.1

7.对于集合 M、N,定义 M ? N ? {x | x ? M

且x ? N}, M ? N ? (M ? N ) ? ( N ? M ).
设 A ? { y | y ? x 2 ? 3x, x ? R}, B ? { y | y

? ?2x , x ? R}, 则A ? B ?
9 ,0] 4 9 B. [? ,0) 4 9 C. (?? ,? ) ? [0,?? ) 4 9 D. (?? ,? ] ? (0,?? ) 4
A. (?





8.如图,在 ?ABC中, AB ? BC, 若AD ? BC, 则AB2 ? BD ? BC ;类似地有命题:在三棱锥 A—BCD
2 中, AD ? 面 ABC,若 A 点在 BCD 内的射影为 M,则有 S ?ABC ? S ?BCM ? S ?BCD 。上述命题是





A.真命题 B.增加条件“ AB ? AC ”才是真命题 C.增加条件“ M为?BCD 的垂心”才是 真命题 D.增加条件“三棱锥 A—BCD 是正三棱锥”才是真命题

x2 y2 ? ? 1 上的一点,F1,F2 为左、右焦点, ?F1 PF2 ? 60 °,则 ?PF1 F2 的面积为 9.P 为椭圆 25 16
( A. 16 3 B. 8 3 C. )

16 3 3

D.

8 3 3

10.已知点 P (a, b) 与点 Q(1,0)在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法中:

b 有最小值,无最大值; a b ③ ?M ? 0, 使 a 2 ? b 2 ? M 恒 成 立 ; ④ a ? 0且a ? 1, b ? 0时, 的 取 值 范 围 a ?1 1 2 (?? ,? ) ? ( ,?? ) ,正确的应该是 ( ) 3 3
① 2a ? 3b ? 1 ? 0; ② a ? 0时,
2

A.①② B.②③ C.①④ 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.复数 (

D.③④

1 ? i 10 ) 的值是 1? i

。 。

12.已知 ?角的终边经过点2a 2 ? 8, a 2 ? 1)且 cos? ? 0, sin ? ? 0, 则a 的取值范围是 ( 13.已知数列 {a n }( n ? N * )满足 : a n ? ?

?n(n ? 1,2,3,4,5,6)

, 则a2009 ? * ?? an?3 (n ? 7且n ? N )



14.设二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60°, m, n 为异面直线,且 m ? ? , n ? ? ,则 m, n 所成角的大小 为 15.已知 ? 。

?( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 , 则z ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ?x ? y ? 3



16.多项飞碟是奥运会的竞赛项目,它是由抛靶机把碟靶(射击的目标)在一定范围内从不同的方向飞出, 每抛出一个碟靶,就允许运动员射击两次。一运动员在进行训练时,每一次射击命中碟靶的概率 P 与 运动员离碟靶的距离 S(米)成反比,现有一碟靶抛出后 S(米)与飞行时间 t(秒)满足 S=15(t+1),(0 2 ≤t≤4)。 假设运动员在碟靶飞出后 0.5 秒进行第一次射击, 且命中的概率为 0.8, 如果他发现没有命中, 0 则 通 过 迅 速 调 整 , 在 第 一 次 射 击 后 经 过 0.5 秒 进 行 第 二 次 射 击 , 则 他 命 中 此 碟 靶 的 概 率 0 为 。 9 0 a 17.对正整数 n,设曲线 y ? xn (1 ? x)在x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 an ,则数列 { n } 的前 n 2 n ?1 1 项和的公式是 。 2 三、解答题:本大题共 5 小题,18—20 题每题 14 分,21—22 题每题 15 分,共 72 分。解答应写出文字说 明,证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 已知向量 a ? (cosx, sin x), b ? (? cos x, cos x), c ? (?1,0). (I)若 x ?

?
6

, 求向量 a, c 的夹角; , ] 时,求函数 f ( x) ? 2a ? b ? 1 的最大值

(II)当 x ? [

? 9?
2 8

19. (本题满分 14 分) 甲、乙两人独立解某一道数学题,已知甲独立解出的概率为 0.6,且两人中至少有一人解出的概率为 0.92 (I)求该题被乙独立解出的概率; (II)求解出该题的人数 ? 的分布列与数学期望。

20. (本题满分 14 分) 如图,多面体 ABCDS 中面 ABCD 为矩形, SD ? AD, 且SD ? AB, AD ? a(a ? 0),
3

AB ? 2 AD, SD ? 3AD.
(I)求多面体 ABCDS 的体积; (II)求 AD 与 SB 所成角的余弦值。 (III)求二面角 A—SB—D 的余弦值。

21. (本题满分 15 分) 已知离心率为

2 5 x2 y2 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 P 到左焦点 F 的最短距离为 5 ? 2. 5 a b

(I)求椭圆的方程; (II)如图,过椭圆的左焦点 F 任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB,若点 M 在 x 轴上,且使得 MF 为 ?AMB 的一条内角平分线,则称点 M 为该椭圆的“左特征点” ,求椭圆的“左特征点”M 的坐 标。

22. (本小题满分 15 分) 设 f ( x) ? ln x ?

x?a x

(其中a ? 0), g ( x) ? 2( x ? 1) ? ( x 2 ? 1) ln x.

(I)已知 f ( x)和g ( x)在[1,??) 上单调性一致,求 a 的取值范围; (II)设 b ? 1 ,证明不等式

2 ln b 1 ? ? . 2 b ?1 1? b b

4

参考答案
一、选择题;本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1—5ABDCA 6—10CCACD 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.-1 12. [?2,?1) ? (1,2]

13.5 14.60° 15.15 16.0.92 17. 2
n ?1

?2

三、解答题:本大题共 5 小题,18—20 题每题 14 分,21—22 题每题 15 分。共 72 分。 18.解: (I)当 x ?

?
6

时,

cos ? a, c ??
? cos

a?c ? cos x ? ? ? ? cos x ? ? cos | a |?| c | 6 cos2 x ? sin 2 x ? (?1) 2 ? 0 2

5? ????4 分 6

? 0 ? a, c ?? ? ,?? a, c ??

5? . ????7 分 6

(II) f ( x) ? 2a ? b ? 1 ? 2(? cos2 x ? sin x cos x) ? 1 ? 2 sin x cos x ? (2 cos2 x ? 1)

? sin 2 x ? cos 2 x

? 2 sin( 2 x ?

?
4

) ????10 分

? 9? ? x ?[ . ] 2 8 ? 3? ? 2 x ? ? [ ,2? ] , 4 4
故 sin(2 x ?

?
4

) ? [?1,

2 ] ????12 分 2

?当2 x ?

?
4

?

3? ? ,即x ? 时, f ( x) max ? 1. ????14 分 4 2

19.解: (I)设甲、乙分别解出此题的事件为 A,B,则 P(A)=0.6

P ? 1 ? P( A ? B) ? 1 ? 0.4 ? P(B) ? 0.92 ????3 分
解得 P( B) ? 0.2,? P( B) ? 0.8 ????7 分 (II) P(? ? 0) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.2 ? 0.08 ????8 分

P(? ?) ? P( A) ? P( B) ? P( A) ? P(B) ? 0.44 ????9 分

5

P(? ? 2) ? P( A) ? P( B) ? 0.48????10 分

? ? 的分布列:

?
P

0 0.08

1 0.44

2 0.48

? E? ? 0 ? 0.08 ? 1? 0.44 ? 2 ? 0.48 ? 1.4 ????14 分
20.解: (I)多面体 ABCDS 的体积即四棱锥 S—ABCD 的体积。 所以 VS ? ABCD ?

1 1 2 3a 3 S ? ABCD ? | SD |? ? 2a ? a ? 3a ? . ????4 分 3 3 3

(II)由题可知 DA、DA、DC 两两互相垂直, ? 如图建立空间直角坐标系

? S ( 3a,0,0), A(0, a,0), B(0, a,2a),C(0,0,2a), D(0,0,0)

? AD ? (0,?a,0), SB ? (? 3a, a,2a)
? cos ? AD , SB ?? AD ? SB | AD | ? | SB | ?? 2 4

? AD 与 SB 所成的角的余弦为

2 . ????9 分 4

(III) DS ? ( 3a,0,0), DB ? (0, a,2a) 设面 SBD 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

?n ? DS ? 0 ? 3a ? 0 ? ?? ?? ? n ? (0,?2,1), ?n ? DB ? 6 ?ax ? 2az ? 0 ?
又? AB ? (0,0,2a), SA ? (? 3a, a,0)

? 设面 SAB 的一个法向量为 m ? ( x, y, z )
?m ? AB ? 0 ?2az ? 0 ? ?? ?? ? m ? (1, 3,0), ????11 分 ? 3ax ? ay ? 0 ?m ? SA ? 0 ? ?

? cos ? m, n ??

m?n 15 , ? | m|?| n| 5
15 ????14 分 5

所以所求的二面角的余弦为 解法二: (I)同解法一 (II)? 矩形 ABCD, ? AD//BC,即 BC=a, =

6

? 要求 AD 与 SB 所成的角,即求 BC 与 SB 所成的角。????6 分
在 ?SBC 中,由(1)知 SD ? 面 ABCD。

? Rt ?SDC 中, SC ? ( 3a) 2 ? (2a) 2 ? 7a

? CD 是 CS 在面 ABCD 内的射影,且 BC ? CD,
? SC ? BC

tan?SBC ?

SC 7a ? ? 7, CB a 2 , 4 2 , ????9 分 4

? BC 与 SB 所成的角的余弦为

从而 SB 与 AD 的成的角的余弦为

(III)? ?SAD中SD ? AD, 且SD ? AB,

? SD ? 面 ABCD。

? 面SDB?面ABCD, BD 为面 SDB 与面 ABCD 的交线。
? 过A作AE ? DB与E ? AE ? 面 SDB 又过A作AF ? SB 于 F,连接 EF
从而得: EF ? SB ? ?AFE 为二面角 A—SB—D 的平面角????11 分 在矩形 ABCD 中,对角线 BD ?

a 2 ? ( 2 a ) 2 ? 5a ,

?在?ABD 中, AE ?

AB ? CD a ? 2a 2 5 ? ? a. BD 5 5a
( 7a) 2 ? (2a) 2 ? 8a.

由(2)知在 Rt ?SBC 中, SB ?

而 Rt?SAD中, SA ? 2a, 且AB ? 2a.

? SB2 ? SA2 ? AB2 ,
? ?SAB 为等腰直角三角形且 ?SAB为直角 ,

? AF ?

2 AB ? 2a 2

7

AE ? sin ?AFE ? ? AF

2 5 a 10 5 , ? 5 2a

所以所求的二面角的余弦为

15 . ????14 分 5

?a ? c ? 5 ? 2 ? , 21.解: (I)由题意: ? c 2 ? ?a 5 ?
解得: ?

?a ? 5 ?c ? 2

, 故椭圆方程为:

x2 ? y 2 ? 1????5 分 5

(II)设 M (m,0)为椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左特征点,椭圆的左焦点为 F(-2,0) , 5

可设直线 AB 的方程为 x ? ky ? 2(k ? 0) ,

x2 ? y 2 ? 1得 : 并将它代入 5

(ky ? 2) 2 ? 5 y 2 ? 5,即 : (k 2 ? 5) y 2 ? 4ky ? 1 ? 0.
设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则y1 ? y 2 ?

4k ?1 , y1 y 2 ? 2 , ????7 分 k ?5 k ?5
2

? ?AMB被x 轴平分,

? k AM ? k BM ? 0. ????9 分


y1 y2 ? ? 0, y1 ( x2 ? m) ? y 2 ( x1 ? m) ? 0. x1 ? m x2 ? m

即 y1 (ky2 ? 2) ? y 2 (ky1 ? 2) ? ( y1 ? y 2 )m ? 0,

? 2ky1 y2 ? ( y1 ? y2 )(m ? 2) ? 0. ????13 分
于是: 2k ? (?

?1 4k )? 2 (m ? 2) ? 0. k ?5 k ?5
2

? k ? 0,?1 ? 2(m ? 2) ? 0, ????14 分
即m ? ?

5 5 ,? M (? ,0). ????15 分 2 2
2

22.解: (I)由 g ( x) ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1) ln x,

8

1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1)2 ?( x) ? 2 ? [2 x ln x ? ( x 2 ? 1) ? ] ? ?2 x ln x ? g ? ?[2 x ln x ? ]. ?2 分 x x x 2 当 x ? 1时,x ln x ? 0,
故 g ?( x) ? 0, 所以 g ( x)在[1,??) 上为减函数。????4 分

( x ? 1) 2 ? 0, x

? f ( x)在[1,??) 上为减函数,
由 f ( x) ? ln x ?

x?a x

, 则:
1 a 1 a x? 1? ( x? ) 2 2 x 1 2 2 x 2 x ? ? ? ? 0. ?6 分 x x x 1

f ?( x) ?

1 ? x

x ? ( x ? a) ? x

在 [1,??) 上恒成立,即 1 ? (

1 a x? ) ? 0在[1,??) 上恒成立; 2 2 x

即(

1 a x? ) min ? 1, 2 2 x

由基本不等式得: a ? 1. ????8 分 (II)证明:因为 g ( x)在[1,??) 上为减函数, 又? b ? 1, g (b) ? g (1), 即 2(b ? 1) ? (b 2 ? 1) ln b ? 0, ①????11 分 又当 a ? 1 , f ( x)在[1,??) 上为减函数。 时

? b ? 1,? f (b) ? f (1)
即 ln b ?

b ?1 b

? 0,?

ln b 1 ? ② b ?1 b

由①②可得

2 ln b 1 ? ? . 得证。????15 分 2 b ?1 1? b b

9



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